KOLOKWIUM 2

1

1/1

………… ……………………………………………………….

Warszawa …………...

nr albumu

.

Nazwisko i imię student(a/ki)

grupa ..……….

..

godz. rozp. ……..

Analiza matematyczna II

1

2

3

4

5

6

Uwaga. 1) Praca bez danych wskazanych w wykropkowanych polach – nie będzie oceniana.

Dane te trzeba wpisać zaraz po otrzymaniu tej karty z zadaniami.

2) Oddając pracę nauczycielowi należy okazać swój dokument ze zdjęciem.

3) Nie wolno używać: kalkulatorów, komórek, komputerów itp. urządzeń elektronicznych.

Na kolokwium urządzenia te muszą być wyłączone i schowane.

Zad. 1.

Wyznaczyć funkcję holomorficzną

)

,

(

)

,

(

)

(

y

x

v

i

y

x

u

z

f





gdy dana jest funkcja

........

)

,

(



y

x

u

(lub funkcja

........

)

,

(



y

x

v

.)

Zad. 2.

Wyznaczyć residuum funkcji

1

)

sin(

2



z

z

i

w punkcie z = 1 (wskazówka

i

2

e

e

)

sin(

i

i

z

z

z







).

Odp.

)

1

(

sh

2

2

e

e

2

2

)

sin(

1

)

sin(

1

2

1

















i

i

i

z

z

i

res

Zad. 3.

Obliczyć całkę





C

z

z

z

i

1

d

)

sin(

2

, gdzie C jest ujemnie zorientowanym okręgiem |z| = 2.

Odp.

)

1

(

sh







Zad. 4.

Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji przedstawionej na rysunku

Rozw.





)

(

)

(

)

(

)

(

a

t

H

A

a

t

H

t

H

t

a

A

t

f





















)

(

)

(

)

(

a

t

H

a

t

t

H

t

a

A















.





















sa

s

s

a

A

s

F

e

1

1

)

(

2

2

Zad. 5.

Wyznaczyć transformatę Laplace’a oryginału

)

(

sh

)

(

t

a

t

t

g





(sh – sinus hiperboliczny).

Rozw. Funkcja

)

(

sh

)

(

at

t

f



ma transformatę

2

2

a

s

a



.

Funkcja

)

(

sh

)

(

)

(

t

a

t

t

f

t

t

g









ma transformatę





2

2

2

2

2

2

d

d

a

s

s

a

a

s

a

s









.

Zad. 6.

Wyznaczyć oryginał f(t) którego transformata Laplace’a

s

s

s

s

s

F

3

2

e

5

2

7

)

(













.

2

2

2

2

2

2

)

1

(

2

2

7

2

)

1

(

5

2

7





















s

s

s

s

s

s

,

transformata

2

2

2

2

2

2

2

7

2









s

s

s

ma oryginał

)

(

)]

2

sin(

)

2

[cos(

2

7

t

H

t

t







, więc

2

2

2

2

2

2

)

1

(

2

2

7

2

)

1

(

5

2

7





















s

s

s

s

s

s

ma oryginał

)

(

)]

2

sin(

)

2

[cos(

e

2

7

t

H

t

t

t











zatem

s

s

s

s

s

F

3

2

e

5

2

7

)

(













ma oryginał





)

3

(

)]

3

(

2

sin[

)]

3

(

2

cos[

e

2

7

)

3

(



















t

H

t

t

t

.