Wyższa Szkoła Technologii Informatycznych

Elektronika dla informatyków — laboratorium

Ćwiczenie nr 1 — badanie obwodów prądu stałego

Data wykonania ćwiczenia: . . .

Wykonujący: . . .

. . .
. . .

1

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie praw obowiązujących w obwodach prądu
stałego, sprawdzenie zasadności stosowania niektórych twierdzeń i metod obliczeniowych
oraz obserwacja wpływu rezystancji wewnętrznej mierników i konfiguracji układu pomia-
rowego na błędy pomiarów prądów i napięć. Ćwiczenie składało się z trzech niezależnych
części.

2

Pomiary dużych i małych prądów

2.1

Procedura pomiarowa

Schematy układów badanych przedstawiają poniższe rysunki:

Zasilacz

I

U

0

R

Układ 1.

Zasilacz

I

0

R

U

Układ 2.

Po przyjęciu wartości rezystancji R

o

= 50Ω podano napięcie zasilające U

zas

= 2, 9V, a na-

stępnie odczytano wartości prądu i napięcia wskazywane przez mierniki — dla układu 1
oraz dla układu 2. Następnie zmieniono wartość rezystancji na R

o

= 1MΩ, podano na-

pięcie zasilające U

zas

= 31V i ponownie zmierzono wartości prądu i napięcia wskazywane

przez mierniki. Wyniki pomiarów przedstawia tabela:

R

0

= 50Ω

R

0

= 1MΩ

Układ

1

2

1

2

U

2,904V

2,808V

31,00V 31,01V

I

60,5mA 60,4mA 31,2µA 34,3µA

1

2.2

Wnioski z pomiarów

Z przeprowadzonych pomiarów widać, że zmiana układu pomiarowego spowodowała zmia-
nę wartości prądów i napięć odczytanych z amperomierza i woltomierza. Przyczyną tego
zjawiska jest rezystancja wewnętrzna mierników. W przypadku włączanego w szereg
amperomierza powinna być ona jak najmniejsza (w idealnym przypadku — zerowa),
natomiast w przypadku włączanego równolegle woltomierza powinna być jak najwięk-
sza (w idealnym przypadku — nieskończenie duża). W rzeczywistości rezystancja we-
wnętrzna amperomierza R

weA

wynosi kilka omów, zaś rezystancja wewnętrzna woltomie-

rza R

weV

jest rzędu megaomów.

W układzie 1 woltomierz mierzy sumę spadków napięć na rezystancji obciążenia

R

o

oraz na rezystancji R

weA

. Jeżeli wartość rezystancji R

o

jest zbliżona do wartości

R

weA

, to pomiar spadku napięcia na R

o

jest obarczony dużym błędem. Z kolei w ukła-

dzie 2 amperomierz mierzy sumę prądów przepływających przez R

o

oraz przez rezystan-

cję R

weV

. Jeżeli wartość rezystancji R

o

jest zbliżona do wartości R

weV

, to pomiar prądu

płynącego przez R

o

jest obarczony dużym błędem.

Z przeprowadzonych pomiarów wynika, że opisane układy nie powinny być stosowane

zamiennie - układ 1 powinien być stosowany do pomiaru dużych rezystancji, natomiast
układ 2 powinien być stosowany do pomiaru małych rezystancji.

3

Sprawdzenie metod transfiguracji obwodu

3.1

Procedura pomiarowa

Schemat badanego układu przedstawia rysunek:

R

A

B

R

R

F

E

R

U

A

I

F

I

D

R

C

R

Na początku pomiarów przy pomocy omomierza zmierzono wartości rezystorów w ukła-
dzie. Następnie, po załączeniu napięcia zasilającego wykonano pomiary napięć i prądów
mierzonych przez mierniki. Wyniki wszystkich pomiarów zapisano w poniższej tabeli:

U[V]

I

A

[mA]

I

F

[mA]

R

A

[Ω]

R

B

[Ω]

R

C

[Ω]

R

D

[Ω]

R

E

[Ω]

R

F

[Ω]

20,06

17,85

6,12

46,3

9, 91 · 10

3

985

533

983

517

2

3.2

Opracowanie wyników

3.2.1

Wyznaczenie rezystancji zastępczej układu

R

obl

metodą techniczną

W metodzie technicznej wartość nieznanej rezystancji R

x

wyznaczamy poprzez jedno-

czesny pomiar prądu I

x

płynącego przez tą rezystancję i napięcia U

x

panującego na tej

rezystancji; nieznana rezystancja — na mocy prawa Ohma — jest więc równa

R

x

=

U

x

I

x

W naszym przypadku R

obl

wyliczamy jako

R

obl

=

U

I

A

Po podstawieniu U = 20, 06V , I

A

= 17, 85mA otrzymujemy R

obl

= 1123, 8Ω.

3.2.2

Obliczenie teoretycznej rezystancji zastępczej

R

teor

metodą transfigu-

racji układu

Metoda transfiguracji (przekształcania) obwodu polega na wykorzystaniu zależności doty-
czących połączenia szeregowego i równoległego elementów oraz przekształceń połączenia
elementów w gwiazdę na połączenie w trójkąt i odwrotnie. Dzięki tym przekształceniom
układ stopniowo się upraszcza. Przekształceń dokonujemy dopóty, dopóki cały układ nie
zostanie zastąpiony jednym elementem zastępczym.

Po zastąpieniu amperomierzy zwarciami a woltomierzy rozwarciami układ ma postać

jak na rysunku:

R

F

R

B

R

D

R

C

E

R

R

A

Zaznaczone linią przerywaną połączenie rezystorów R

B

, R

F

, R

D

jest połączeniem w trój-

kąt. Połączenie to zamieniamy na gwiazdę złożoną z rezystorów R

BD

, R

BF

, R

DF

:

R

C

E

R

R

B

R

DF

F

R

BD

A

R

3

Wartości tych rezystorów są równe:

R

BD

=

R

B

· R

D

R

B

+ R

D

+ R

F

= 481, 9Ω

R

BF

=

R

B

· R

F

R

B

+ R

D

+ R

F

= 467, 5Ω

R

DF

=

R

D

· R

F

R

B

+ R

D

+ R

F

= 25, 1Ω

Jak widać na ostatnim rysunku, mamy trzy układy połączeń szeregowych, które można
uprościć:
— połączone szeregowo rezystory R

BF

i R

C

zastępujemy rezystancją R

BFC

równą

R

BFC

= R

BF

+ R

C

= 1452, 5Ω

— połączone szeregowo rezystory R

DF

i R

E

zastępujemy rezystancją R

DFE

równą

R

DFE

= R

DF

+ R

E

= 1008, 1Ω

— połączone szeregowo rezystory R

A

i R

BD

zastępujemy rezystancją R

ABD

równą

R

ABD

= R

A

+ R

BD

= 528, 2Ω

Po tych zmianach układ redukuje się do postaci następującej:

R

R

BF C

DF

R

ABD

E

Ostatecznie rezystancja zestępcza obwodu R

teor

będzie równa sumie rezystancji R

ABD

oraz rezystancji zastępczej połączenia równoległego R

BFC

i R

DFE

, co wyraża się wzorem

R

teor

= R

ABD

+

R

BFC

· R

DFE

R

BFC

+ R

DFE

= 528, 2 + 595, 1 = 1123, 3Ω

3.2.3

Obliczenie rozpływu prądu w obwodzie metodami analizy obwodów

Dla obliczenia rozpływu prądu w obwodzie przyjęto metodę prądów oczkowych. Metoda
ta polega na wyznaczeniu wartości prądów oczkowych, tzn. umyślonego prądu płynącego
przez wszystkie gałęzie danego oczka. Z prądów oczkowych wyznacza się wartości prądów
gałęziowych

, czyli prądów płynących przez poszczególne gałęzie obwodu.

W celu wyznaczenia wartości rozpływu prądów metodą prądów oczkowych wykonuje

się następujące czynności:

1. dla danego obwodu wybieramy b

− v + 1 oczek, gdzie b - liczba gałęzi, v - liczba

węzłów

4

2. ustalamy zwroty obiegowe oczek oraz — zgodnie z nimi — ustalamy zwroty prądów

oczkowych; zwroty obiegowe oczek muszą być takie same we wszystkich oczkach,
np. zgodne z ruchem wskazówek zegara

3. w gałęziach ustalamy zwroty prądów gałęziowych

4. wyznaczamy rezystancje własne oczek (rezystancja własna oczka jest równa sumie

rezystancji wszystkich gałęzi tworzących oczko)

5. wyznaczamy rezystancje wzajemne oczek (rezystancja wzajemna oczka 1 z oczkiem

2 jest równa rezystancji gałęzi wspólnej obu oczek; jeżeli zwroty obiegowe tych oczek
są zgodne, to rezystancję wzajemną przyjmujemy jako dodatnią, jeżeli przeciwne —
jako ujemną; jeżeli oczka się nie stykają, to rezystancja wzajemna jest równa zeru)

6. wyznaczamy napięcia źródłowe oczek (napięcie źródłowe oczkowe jest równe sumie

napięć źródłowych wszystkich gałęzi oczka)

7. piszemy równania oczkowe zawierające związki między prądami oczkowymi a na-

pięciami źródłowymi oczek

8. z powyższych równań obliczamy prądy oczkowe

9. z wyznaczonych prądów oczkowych wyznaczamy prądy gałęziowe przyjmując, że

prąd w gałęzi wspólnej dla dwóch oczek jest równy sumie prądów oczkowych odpo-
wiadającym tym oczkom z uwzględnieniem zwrotu prądów oczkowych.

Czynności te wykonujemy dla naszego obwodu:

1. ponieważ w obwodzie mamy 6 gałęzi i 4 węzły, więc wybieramy 3 oczka

2. ustalamy zwroty obiegowe oczek i zwroty prądów gałęziowych (zgodnie z ruchem

wskazówek zegara), prądy gałęziowe oznaczamy jako I

1

,

I

2

,

I

3

3. ustalamy zwroty prądów gałęziowych I

A

,

I

B

,

I

C

,

I

D

,

I

E

,

I

F

R

B

R

C

R

E

R

D

R

F

R

A

E

I

A

I

I

I

C

E

B

I

D

I

F

(1)

E

U

A

U

C

U

B

U

F

U

(2)

U

D

(3)

5

4. wyznaczamy rezystancje własne oczek:

R

11

= R

A

+ R

D

+ R

E

= 1562, 3Ω

R

22

= R

B

+ R

F

+ R

D

= 10960Ω

R

33

= R

C

+ R

E

+ R

F

= 2485Ω

5. wyznaczamy rezystancje wzajemne oczek:

R

12

= R

21

= −R

D

= −533Ω

R

23

= R

32

= −R

F

= −517Ω

R

31

= R

13

= −R

E

= −983Ω

6. wyznaczamy napięcia źródłowe oczek:

E

11

= E = 20, 06V

E

22

= 0

E

33

= 0

7. piszemy równania oczkowe:

E

11

= R

11

I

1

+ R

12

I

2

+ R

13

I

3

E

22

= R

21

I

1

+ R

22

I

2

+ R

23

I

3

E

33

= R

31

I

1

+ R

32

I

2

+ R

33

I

3

8. w celu obliczenia niewiadomych wartości prądów I

1

,

I

2

,

I

3

powyższe równania

przepisujemy w postaci macierzowej:






E

11

E

22

E

33






=






R

11

R

12

R

13

R

21

R

22

R

23

R

31

R

32

R

33











I

1

I

2

I

3






i rozwiązujemy metodą wyznaczników:

I

1

=

∆

1

∆

I

2

=

∆

2

∆

I

3

=

∆

3

∆

gdzie:

∆ =









R

11

R

12

R

13

R

21

R

22

R

23

R

31

R

32

R

33









=

= R

11

R

22

R

33

+R

21

R

32

R

13

+R

12

R

23

R

31

−R

31

R

22

R

13

−R

21

R

12

R

33

−R

32

R

23

R

11

6

∆

1

=









E

11

R

12

R

13

E

22

R

22

R

23

E

33

R

32

R

33









=

= E

11

R

22

R

33

+E

22

R

32

R

13

+R

12

R

23

E

33

−E

33

R

22

R

13

−E

22

R

12

R

33

−R

32

R

23

E

11

∆

2

=









R

11

E

11

R

13

R

21

E

22

R

23

R

31

E

33

R

33









=

= R

11

E

22

R

33

+R

21

E

33

R

13

+E

11

R

23

R

31

−R

31

E

22

R

13

−R

21

E

11

R

33

−E

33

R

23

R

11

∆

3

=









R

11

R

12

E

11

R

21

R

22

E

22

R

31

R

32

E

33









=

= R

11

R

22

E

33

+R

21

R

32

E

11

+R

12

E

22

R

31

−R

31

R

22

E

11

−R

21

R

12

E

33

−R

32

E

22

R

11

Po podstawieniu wartości

R

11

= 1562, 3Ω

R

12

= R

21

= −533Ω

E

11

= 20, 06V

R

22

= 10960Ω

R

23

= R

32

= −517Ω

E

22

= 0

R

33

= 2485Ω

R

31

= R

13

= −983Ω

E

33

= 0

otrzymujemy :

∆

= 3, 0294 · 10

10

∆

1

= 5, 4098 · 10

8

∆

2

= 3, 6764 · 10

7

∆

3

= 2, 2165 · 10

8

Prądy oczkowe są więc równe:

I

1

=

∆

1

∆

= 17, 8576 · 10

−3

A

I

2

=

∆

2

∆

= 1, 2136 · 10

−3

A

I

3

=

∆

3

∆

= 7, 3165 · 10

−3

A

9. z prądów oczkowych wyznaczamy prądy gałęziowe:

I

A

= I

1

= 17, 8576 mA

I

B

= I

2

= 1, 2136 mA

I

C

= I

3

= 7, 3165 mA

I

D

= I

1

− I

2

= 16, 644 mA

I

E

= I

1

− I

3

= 10, 5411 mA

I

F

= I

3

− I

2

= 6, 1029 mA

7

3.3

Porównanie wartości zmierzonych z wartościami uzyskanymi
z obliczeń

Rezystancja zastępcza obwodu R

zast

zmierzona metodą techniczną

R

obl

1123, 8Ω

obliczona metodą transfiguracji obwodu R

teor

1123, 3Ω

Wartość prądu I

F

płynącego przez rezystor R

F

zmierzona amperomierzem

I

F(A)

6, 12 mA

obliczona metodą analizy obwodów

I

F(obl)

6, 1029 mA

3.4

Wnioski z pomiarów

Porównując wartości rezystancji zastępczej R

zast

obwodu zmierzonej metodą techniczną i

obliczonej przez przekształcenie obwodu widzimy, że obie te wartości są do siebie bardzo
zbliżone. Wynika stąd wniosek, że nasze pomiary i obliczenia były prawidłowe. Została
także potwierdzona prawidłowość przyjętej metody transfiguracji obwodu.

Z porównania wartości prądu I

F

zmierzonego przez amperomierz i obliczonego metodą

analizy obwodów również wynika, że obie te wartości są bardzo podobne. Oznacza to po-
prawność procedury obliczenia rozpływu prądów w obwodzie metodą prądów oczkowych.

Niewielkie różnice pomiędzy porównywanymi wartościami R

zast

i I

F

wynikają z błę-

dów pomiarowych pomiaru napięć, prądów i rezystancji oraz z zaokrągleń liczb podczas
wykonywania obliczeń.

4

Sprawdzenie zasady superpozycji

4.1

Procedura pomiarowa

Schemat badanego układu przedstawia rysunek:

R

C

I

C

R

D

I

D

E

R

I

E

R

B

A

I

A

R

1

E

I

B

2

E

1

I

I

I

2

3

Na początku pomiarów ustawiono wartości napięć źródłowych E

1

= 10V i E

2

= 10V,

a następnie zmierzono natężenia prądów I

1

,

I

2

,

I

3

, tzn. prądów płynących przez rezystory

R

A

,

R

B

,

R

E

. Potem odłączono źródło napięcia E

2

, zwarto po nim zaciski i zmierzono war-

tości prądów. Następnie ponownie podłączono źródło E

2

, odłączono i zwarto zaciski po

źródle E

1

oraz zmierzono wartości prądów. Wyniki pomiarów prądów przedstawia poniż-

sza tabela:

8

I

1

= I

A

I

2

= I

B

I

3

= I

E

[mA]

[mA]

[mA]

Włączone źródła E

1

i E

2

18, 30

7, 46

1, 18

Włączone tylko źródło E

1

(I

E1

)

28, 73

−10, 43

12, 61

Włączone tylko źródło E

2

(I

E2

)

−10, 42

17, 87

−11, 42

Suma prądów I = I

E1

+ I

E2

18, 31

7, 44

1, 19

Dodatkowo zmierzono omomierzem wartości rezystancji w obwodzie:
R

A

= 46, 3Ω , R

B

= 200Ω , R

C

= 533Ω , R

D

= 985Ω , R

E

= 517Ω

Wartość napięcia zasilającego obwód była równa:
E = E

1

= E

2

= 10, 00V

4.2

Opracowanie wyników

W tym punkcie obliczymy teoretyczne wartości prądów I

1

,

I

2

,

I

3

płynących w gałęziach

R

A

,

R

B

,

R

E

. Będziemy wykorzystywać zasadę superpozycji.

Przy zwartym źródle E

2

prądy płynące przez R

A

,

R

B

,

R

E

wyliczamy następująco (Uwaga:

G

X

jest oznaczeniem przewodności rezystancji R

X

):

R

DB

=

R

D

· R

B

R

D

+ R

B

= 166, 24Ω

R

EDB

= R

E

+ R

DB

= 683, 24Ω

R

CEDB

=

R

C

· R

EDB

R

C

+ R

EDB

= 299, 42Ω

R

zast

= R

A

+ R

CEBD

= 345, 72Ω

I

A(E1)

=

E

1

R

zast

= 28, 92mA

I

E(E1)

= I

A(E1)

·

G

EDB

G

EDB

+ G

C

= 12, 67mA

I

B(E1)

= I

E(E1)

·

G

B

G

B

+ G

D

· (−1) = −10, 53mA

Natomiast przy zwartym źródle E

1

prądy płynące przez R

A

,

R

B

,

R

E

wyliczamy następu-

jąco:

R

AC

=

R

A

· R

C

R

A

+ R

C

= 42, 60Ω

R

ACE

= R

AC

+ R

E

= 559, 60Ω

R

ACED

=

R

ACE

· R

D

R

ACE

+ R

D

= 356, 86Ω

R

zast

= R

ACED

+ R

B

= 556, 86Ω

I

B(E2)

=

E

2

R

zast

= 17, 95mA

I

E(E2)

= I

B(E1)

·

G

ACE

G

ACE

+ G

D

· (−1) = −11, 44mA

I

A(E2)

= I

E(E2)

·

G

A

G

A

+ G

C

· (−1) = −10, 52mA

9

Prądy płynące przez R

A

,

R

B

,

R

E

przy jednoczesnym działaniu źródeł E

1

i E

1

są równe —

na mocy zasady superpozycji — sumie prądów płynących przez te elementy gdy działa
tylko jedno źródło:

I

A

= I

A(E1)

+ I

A(E2)

= 18, 4mA

I

B

= I

B(E1)

+ I

B(E2)

= 7, 42mA

I

E

= I

E(E1)

+ I

E(E2)

= 1, 23mA

4.3

Porównanie wartości zmierzonych z wartościami uzyskanymi
z obliczeń

I

1

= I

A

I

2

= I

B

I

3

= I

E

[mA]

[mA]

[mA]

Włączone źródła E

1

i E

2

Z pomiarów:

18, 30

7, 46

1, 18

Z obliczeń:

18, 40

7, 42

1, 23

Włączone tylko źródło E

1

(I

E1

)

Z pomiarów:

28, 73

−10, 43

12, 61

Z obliczeń:

28, 92

−10, 53

12, 67

Włączone tylko źródło E

2

(I

E2

)

Z pomiarów:

−10, 42

17, 87

−11, 42

Z obliczeń:

−10, 52

17, 95

−11, 44

4.4

Wnioski z pomiarów

Porównując wartości prądów I

1

,

I

2

,

I

3

zmierzonych przez mierniki z wartościami obliczo-

nymi teoretycznie widzimy, że ich wartości różnią się niewiele. Niewielkie różnice wynikają
z błędów pomiaru wartości prądów, napięć i rezystancji oraz (w mniejszym stopniu) z
zaokrągleń liczb podczas obliczania wyników. Nie zmienia to jednak faktu, że wyniki
teoretyczne były zgodne z wartościami mierzonymi.

Porównanie wartości prądów dla przypadku działających obydwu źródeł do przypad-

ków działających pojedyńczych źródeł prowadzi do wniosku, że prądy płynące w obwodzie
zasilanym dwoma źródłami są sumą prądów płynących w obwodzie zasilanym jednym
źródłem przy wyeliminowaniu drugiego źródła. Oznacza to doświadczalne potwierdzenie
zasady superpozycji, mówiącej że odpowiedź obwodu elektrycznego na jednoczesne dzia-
łanie kilku wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna. Zasada
ta obowiązuje tylko w obwodach liniowych. Badany obwod był obwodem liniowym.

5

Podsumowanie ćwiczenia

Podczas ćwiczenia doświadczalnie potwierdzono prawa obowiązujące w obwodach elek-
trycznych (prawo Ohma, prawa Kirchhoffa) oraz potwierdzono zasadność stosowania nie-
których twierdzeń (zasada superpozycji) i metod obliczeniowych (metoda prądów oczko-
wych, transfiguracja obwodu). Zaobserwowano także wpływ rezystancji mierników na
błędy pomiarów prądów i napięć.

10