Lista nr 2 - funkcja kwadratowa

Zadanie 1. Funkcja kwadratowa y ax

bx c

=

+

+

2

ma dokładnie jedno miejsce zerowe i do je wykresu należą punkty A

=

(0; 1) i B

=

(2; 9). Wyznacz a, b, c i podaj ilustrację graficzną rozwiązania zadania.

Zadanie 2. Dana jest funkcja kwadratowa f x

ax

bx c

( )

=

+

+

2

. Wykaż, że jeśli f(1) = 0 i f(2) = 1 i f(3) = 4, to f(x) jest kwadratem

pewnego dwumianu.

Zadanie 3. Dla jakich wartości parametru m funkcja

f x

m

x

x mx

( ) (

)

=

−

−

+

+

2

3

1

2

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego?

Zadanie 4. Wyznacz wszystkie wartości parametru k

∈

R, dla których funkcja

f x

k

k

x

k

x

( ) (

)

(

)

=

+

−

−

−

+

2

2

4

5

2

1

2

przyjmuje wartości dodatnie dla każdej wartości x

∈

R

Zadanie 5. a) Dla jakich wartości parametru m, funkcja kwadratowa

y

m

m

x

m

x

=

+

−

−

−

−

(

)

(

)

2

2

5

6

1

2 jest stale ujemna?

b) Wykaż, że jeżeli w trójmianie y ax

bx c

=

+

+

2

a≠

0 oraz a i c są różnych znaków, to trójmian ma zawsze miejsce

zerowe.

Zadanie 6. a) Dla jakich wartości parametru m, funkcja: f x

m

x

m

x

m

( ) (

)

(

)

=

−

−

+

−

−

2

2

1

2

2

ma dwa miejsca zerowe dodatnie?

b) Określ zbiór rozwiązań nierówności: (

)

(

)

m

x

m

x

m

−

−

+

−

−

<

2

2

1

2

0

2

w zależności od parametru m.

Zadanie 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie kwadratowe (

)

(

)

m

x

m

x

−

−

−

+ =

3

2

1 0

2

ma wspólny pierwiastek z

równaniem mx

+ =

3 0 ?

Zadanie 8. Dla jakich wartości parametru k trójmian kwadratowy (

)

(

)

2

1

7

2

3

2

k

x

k

x

k

−

+

+

−

ma dla każdego x

∈

R wartość

większą niż trójmian (

)

(

)

(

)

k

x

k

x

k

+

+

+

−

+

3

5

1

4

1

2

?

Zadanie 9. Wyznacz wartości parametru m tak, aby trójmian y

m

x

m

x m

=

−

−

+

+

+

(

)

(

)

1

1

1

2

miał dwa miejsca zerowe.

Zadanie 10. Dla jakich wartości parametru a równanie (

)

2

1

2

3 0

2

a

x

ax

a

−

+

+

− =

ma nie więcej niż jeden pierwiastek?

Zadanie 11. Dla jakich wartości parametru m równanie x

m

x m

m

2

2

5

6

5 0

−

−

+

−

+ =

(

)

ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych

znaków?

Zadanie 12. Dla jakich wartości parametru m równanie (

)

(5

)

2

1

6 0

2

2

m

m

x

m x

+ −

+

−

− =

ma dwa różne pierwiastki jednakowych

znaków?

Zadanie 13. Dla jakich wartości parametru m równanie (

)

m

x

mx

m

+

−

+

− =

2

4

4

1 0

2

ma dwa pierwiastki dodatnie?

Zadanie 14. Dane jest równanie (

)

(

)

k

x

k

x k

−

−

+

− =

2

1

0

2

o niewiadomej x. Wyznacz zbiór wartości k, dla których równanie to

ma tylko ujemne rozwiązania.

Zadanie 15. Dla jakich wartości parametru m równanie

−

+

−

+

− =

x

mx m

m

2

2

2

1 0 ma dwa rzeczywiste pierwiastki takie, że ich

suma jest o 1 większa od ich iloczynu?

Zadanie 16. Funkcja f x

x

px q

( )

=

−

+

2

ma dwa miejsca zerowe, których suma kwadratów równa się 15. Dla x

= −

5 funkcja

przyjmuje wartość 5. Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f?

Zadanie 17. Dla jakich wartości parametru t pierwiastki równania x

t

x t

2

2

1

0

+

+

=

są odpowiednio równe sinusowi i cosinusowi

tego samego kąta ostrego?

Zadanie 18. Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów miejsc zerowych funkcji f x

x

k

x k

( )

(

)

=

+

−

+

−

2

2

2

1 jest

mniejsza od 1?

Zadanie 19. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania 4

4 1 2

9

8

2

mx

m x

m

−

−

+

−

(

)

spełniają warunek

1

1

4

1

2

x

x

+

≥ −

?

Zadanie 20. Niech x

1

, x

2

będą pierwiastkami równania x

x

2

1 0

+ − =

i niech n

x

x

x

x

=

+

1

2

2

1

. Dla jakich wartości parametru m

nierówność

x

m n x m

x

x

n

2

2

2

1

+

+

+

+ −

≤

(

)

jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x.