EWR 2010 Zasady zachowania /

1

ZASADY ZACHOWANIA

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

ZASADA ZACHOWANIA

MOMENTU PĘDU

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU

ZASADY ZACHOWANIA

LICZBY LEPTONOWEJ I LICZBY BARIONOWEJ

EWR 2010 Zasady zachowania /

2

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

•

Pojedyncza cząstka

0

0

const.

d p

F

p

d t

=

⇒

=

⇒

=

r

r

r

Gdy na cząstkę nie działa żadna siła lub suma działających sił
jest równa zeru to pęd cząstki pozostaje stały.

d p

F

d t

=

r

r

EWR 2010 Zasady zachowania /

3

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

•

Układ

n

punktów materialnych.

Siła działająca na i-ty punkt układu:

( )

1

n

z

i

i

ji

i

j
j

i

d p

F

F

F

d t

=

≠

=

+

=

∑

r

r

r

r

Suma wszystkich sił w układzie:

( )

,

1

1

1

n

n

n

z

i

ji

i

i j

i

i

i

j

d p

F

F

dt

=

=

=

≠

+

=

∑

∑

∑

r

r

r

0

1

,

=

∑

=

n

j

i

ij

F

r

( )

1

1

1

n

n

n

z

i

i

i

i

i

i

dp

d

F

p

dt

dt

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

r

r

r

Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne, lub

0

ij

ji

F

F

+

=

r

r

( )

1

1

0 to

0

n

n

z

i

i

i

i

d

F

p

dt

=

=

=

=

∑

∑

r

r

EWR 2010 Zasady zachowania /

4

ŚRODEK MASY

•

Położenie środka masy

∑

∑

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

m

r

m

R

1

1

r

r

•

Prędkość środka masy

dt

R

d

V

r

r

=

•

Pęd środka masy

∑

=

=

=

n

i

i

p

V

M

P

1

:

r

r

r

dla dwóch mas

2

1

2

2

1

1

m

m

m

r

r

m

R

+

+

=

r

r

r

EWR 2010 Zasady zachowania /

5

RUCH ŚRODKA MASY

∑

=

i

z

i

F

dt

P

d

)

(

r

r

Środek masy porusza się w taki sposób, jak gdyby w nim była

skupiona masa całego układu i do niego była przyłożona suma

wszystkich sił działających na układ.

EWR 2010 Zasady zachowania / 6

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

0

)

(

=

∑

z

i

F

r

⇒

const.

P

=

r

r

Jeżeli suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa

zeru to pęd układu nie ulega zmianie.

Ś

rodek masy porusza się wówczas ruchem jednostajnym

prostoliniowym.

EWR 2010 Zasady zachowania / 7

MOMENTY

Względem

punktu

O

Moment pędu

p

r

J

r

r

r

×

=

[ ]

r

J

kg m

s

=

⋅

2

Moment siły

F

r

M

r

r

r

×

=

2

2

s

m

kg

]

M

[

⋅

=

r

O

O

EWR 2010 Zasady zachowania / 8

MOMENTY

Względem

punktu

O

Moment pędu

p

r

J

r

r

r

×

=

[ ]

r

J

kg m

s

=

⋅

2

Moment siły

F

r

M

r

r

r

×

=

2

2

s

m

kg

]

M

[

⋅

=

r

EWR 2010 Zasady zachowania / 9

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

∑

=

=

n

i

z

i

M

dt

J

d

1

)

(

r

r

Jeżeli całkowity moment sił zewnętrznych działających na układ
jest równy zeru to moment pędu układu nie ulega zmianie.

Dotyczy to układów, w których spełniona jest III zasada dynamiki
Newtona

Wszystkie momenty sił muszą być liczone względem tego samego punktu !

EWR 2010 Zasady zachowania / 10

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie ulegająca zmianie
podczas różnorodnych przemian, które zachodzą w przyrodzie.

Energia może występować w różnych postaciach. Mamy energie grawitacyjną,
kinetyczną, sprężystą, cieplną, elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową
i energię masy.

Energia jest miarą zdolności układu do wykonania pracy i podobnie

jak praca mierzona jest w dżulach

1J = 1Nm

EWR 2010 Zasady zachowania / 11

POLE SIŁ

Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym każdemu punktowi P jest
jednoznacznie przyporządkowana pewna wielkość A(P).

Pole sił - obszar przestrzeni, w którym każdemu punktowi
przyporządkowany jest pewien wektor określający, jaka siła działałaby na
dane ciało gdyby umieszczono je w tym punkcie.

Stacjonarne pole sił nie zmienia się w czasie

Przykłady:
pole grawitacyjne (pole sił grawitacji)
pole elektrostatyczne

EWR 2010 Zasady zachowania / 12

PRACA

W

F

r

∆ = ⋅ ∆

r

r

dla

tak malego, że

.

r

F

const

∆

=

r

r

Praca elementarna

dW

wykonana przez siłę

F

r

przy przesunięciu ciała

o element przyrostu drogi

dr

r

-

na tyle mały, że

F

r

= const.

( )

dW

F r

dr

=

⋅

r r

r

[1J =1Nm]

F

r

cos

W

F

s

F s

α

= ⋅ ∆ = ∆

r

r

α

EWR 2010 Zasady zachowania / 13

PRACA

Praca elementarna

( )

dW

F r

dr

=

⋅

r r

r

Całkowita praca

i

n

i

i

i

n

r

AB

r

r

F

W

i

r

r

r

r

∆

⋅

=

∑

=

∞

→

→

∆

1

0

)

(

lim

∫

=

B

A

AB

r

d

r

F

W

r

r

r

)

(

EWR 2010 Zasady zachowania / 14

PRACA W RUCHU JEDNOWYMIAROWYM

∆

W = F(x)

∆

x

0

1

lim

( )

i

n

AB

i

i

x

i

n

W

F x

x

∆ → =

→∞

=

∆

∑

dW = F(x) dx

∫

=

B

A

AB

dx

x

F

W

)

(

EWR 2010 Zasady zachowania / 15

PRACA - przykłady

F=const.

W

F s

= ⋅

2

1

2

F

kx

W

kx

=

=

EWR 2010 Zasady zachowania / 16

POLE ZACHOWAWCZE

W ogólnym przypadku praca wykonana przy przesunięciu z punktu A do
B zależy od drogi

A

W

s1

≠

W

s2

≠

W

s3

Siły, albo pola sił mające tę własność, że praca zależy tylko od położenia
punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od drogi po jakiej
została wykonana nazywamy zachowawczymi.

W zachowawczym polu sił praca po drodze zamkniętej jest równa zeru.
Przykładem sił zachowawczych są siły grawitacyjne lub elektrostatyczne.

0

)

(

=

∫

s

d

r

F

r

r

r

B

EWR 2010 Zasady zachowania / 17

SIŁY I POLA NIEZACHOWAWCZE

Ż

eby wykazać, że pole sił jest niezachowawcze wystarczy

znaleźć jedną drogę zamkniętą dla której praca sił pola jest różna
od zera

0

)

(

≠

∫

s

d

r

F

r

r

r

EWR 2010 Zasady zachowania / 18

ENERGIA POTENCJALNA

W każdym punkcie pola zachowawczego można określić energię potencjalną
jaką miałoby umieszczone tam ciało.

Energia potencjalna to energia zmagazynowana w ciele lub układzie ciał
wskutek jego położenia, kształtu lub stanu. Jest ona miarą zdolności układu
do wykonania pracy.

W polu zachowawczym energia potencjalna jest równa pracy, jaka trzeba
wykonać, żeby ciało umieścić w danym punkcie pola.
Ż

eby energia potencjalna była określona jednoznacznie trzeba ustalić jej

wartość w którymś punkcie, np. V(

∞

) = 0.

Zdefiniowana w ten sposób

energia potencjalna

wynosi

( )

A

A

V

F r ds

∞

=

∫

r r r

( )

( )

r

V r

F r dr

∞

=

∫

r

r

r

r

r

EWR 2010 Zasady zachowania / 19

SIŁA POTENCJALNA

Znając rozkład energii potencjalnej można znaleźć siłę działającą na ciało
umieszczone w danym punkcie

( )

( )

F r

V r

= −∇

r

r

r

r

)

(r

V

r

energia potencjalna

( )

F r

r r

siła potencjalna

- operator gradient

∇

r

ˆ

ˆ

ˆ

grad

x

y

z

x

y

z





∂

∂

∂

∇ ≡

=

+

+





∂

∂

∂





r

,

,

pochodne cząstkowe

V

V

V

x

y

z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

.

.

const

z

const

y

dx

dV

x

V

=

=

≡

∂

∂

EWR 2010 Zasady zachowania / 20

ENERGIA KINETYCZNA

Praca wykonana nad ciałem lub układem ciał przy przejściu od stanu A
do stanu B powoduje zmianę energii kinetycznej układu

W

AB

= T

B

- T

A

gdzie T

A

i T

B

całkowita

energia kinetyczna układu

w danym stanie:

( ),

( )

A

i

B

i

i

i

T

T A

T

T B

=

=

∑

∑

Energia kinetyczna

ciała

o masie m

i

:

2

1

2

i

i i

T

m v

=

gdzie v

i

prędkość i-tego ciała.

Energia kinetyczna jest energią ruchu

2

1

2

T

mv

=

EWR 2010 Zasady zachowania / 21

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

Dla dwóch dowolnych stanów układu w zachowawczym polu sił:

T

A

+ V

A

= T

B

+ V

B

= E

T

A

i T

B

energie kinetyczne układu odpowiednio w stanie A i w stanie B

2

2

1

1

( ),

( )

2

2

A

i i

B

i i

i

i

T

m v A

T

m v B

=

=

∑

∑

V

A

i V

B

energie potencjalne układu odpowiednio w stanie A i

w stanie B

( )

,

( )

A

B

A

B

V

F r ds

V

F r ds

∞

∞

=

=

∫

∫

r

r

r

r

r

r

Jeżeli siły działające na każdy z punktów materialnych układu odizolowanego
są siłami zachowawczymi, to całkowita energia mechaniczna (suma energii
kinetycznej i potencjalnej) układu nie ulega zmianie.

EWR 2010 Zasady zachowania / 22

ZASADY ZACHOWANIA A SYMETRIA W

PRZYRODZIE

•

Zasada zachowania pędu wynika z niezmienniczości względem
przesunięcia przestrzennego będącej konsekwencją
jednorodności przestrzeni

•

Zasada zachowania momentu pędu z niezmienniczości względem
obrotu przestrzennego – izotropowości przestrzeni

•

Zasada zachowania energii z niezmienniczości względem
przesunięcia w czasie – jednorodności czasu.

EWR 2010 Zasady zachowania / 23

Twierdzenie Noether

Każdemu rodzajowi symetrii w przyrodzie

odpowiada

określona zasada zachowania

Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń fizyki
współczesnej (Emma Noether 1918)

Najgłębszym poziomem poznania fizycznego są
ogólne zasady wyjawiające związki między
prawami fizyki.

Emma Noether

(23.03.1882 - 14.04.1935)