Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Wykład 33

33. Model atomu Bohra

33.1 Wstęp

Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że

atomy zawierają elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).
Ponieważ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one
mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.
Ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet
atomów oznaczało ponadto, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.
Tego typu rozważania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich
i ujemnych w atomie.
J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie nałado-
wane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły
ładunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”).

Ładunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10

-10

m. W tej kuli ładunki ujemne

byłyby rozłożone równomiernie (w wyniku sił odpychania).
W atomie znajdującym się w stanie o najniższej energii elektrony były nieruchome. Na-
tomiast w atomach o wyższej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej
temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wokół położeń równowagi.
Uwaga

: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poru-

szające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne

. Do-

wód wykracza poza ramy tego wykładu ale przypomnijmy sobie jeszcze raz antenę di-
polową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drgania ładunku (prąd zmienny)
i antena emituje falę elektromagnetyczną.
Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona
wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.
Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.
Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona otrzymał w 1911 r. jego uczeń
E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek

α na atomach.

Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest roz-
łożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym ją-
drem (o rozmiarze 10

-14

m) leżącym w środku atomu.

Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w sze-
regu doświadczeń.
Zgodnie z tym modelem:

33-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

• W środku atomu znajduje się jądro o masie w przybliżeniu równej masie całego

atomu,

• Ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e,
• Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak że cały atom jest obojętny.

Ważnym problemem pozostaje wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.
Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zo-
stałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. Jeżeli
dopuścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planety wokół Słońca w układzie sło-
necznym) to też natrafiamy na trudność interpretacyjną. Krążący elektron doznaje stale
przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyła energię
kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali osta-
tecznie spadając na jądro (model Thomsona).
Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowa-
nego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewi-
dywanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy.
Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm.

33.2 Widma

atomowe

Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych.
Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wy-
ładowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą, a na-
stępnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na
składowe o różnych długościach fal.

Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm.
W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrza-
nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawie-
ra tylko pewną liczbę długości fal. Każda z takich składowych długości fal nazywana
jest linią (bo taki jest obraz szczeliny).
Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.

33-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

360

400

440

480

520

560

600

640

680

λ

(nm)

To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego mo-
delu atomu. Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w spo-
sób prosty matematycznie.

33.3 Model Bohra atomu wodoru

Jak już mówiliśmy fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie bę-

dzie wypromieniowywał energię, tak że częstość elektronu a za tym także częstość wy-
syłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwu-
jemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).
Bohr uniknął tej trudności zakładając, że podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo

E

k

– E

j

= hv

(33.1)

atom wodoru może znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w któ-
rych nie wypromieniowuje energii. Emisja następuje tylko wtedy gdy atom przechodzi
z jednego stanu o energii E

k

do stanu o niższej energii E

j

. Ujmując to w postaci równa-

nia



gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia

energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając moż-

porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu ją-

•

(pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem

orzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy

F = ma

albo

wypromieniowany przez atom.
Teraz konieczna jest znajomość
liwe różnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emi-
towanego przez atom.
Założenia:
• elektron

dra,
jądro
protonu.

K

r

m

r

e

2

2

2

0

4

1

v

=

πε

(33.2)

33-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

względniliśmy tylko przyciągani

ym elektronem zaniedbując oddzia

łusznie?

U

pomiędzy dodatnim jądrem i ujem-

e elektrostatyczne

ływanie grawitacyjne. Czy s

n

Przykład 1

Obliczyć stosunek sił przyciągania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i

atomie wodoru. Masa elektronu m

e

= 9.1·10

-31

kg, masa protonu m

p

=

-19

-11

elektronu w

-27

1.7·10 kg, ładunek elementarny e = 1.6·10

C stała grawitacyjna G = 6.67·10

Nm

2

/kg

2

, a stała w prawie Coulomba 1/4

πε

0

= 8.99·10

9

Nm

2

/C

2

.

2

0

2

2

0

2

10

5

4

4

⋅

≈

=

=

m

m

G

r

m

Gm

F

e

p

e

p

G

πε

πε

39

−

e

e

r

F

E

Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania.

Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną

e

m

E

k

2

1

=

=

v

r

0

2

8

2

πε

(33.3)

nergia potencjalna układu elekt

E

równaniem

ron - proton jest dana

e

E

p

−

=

r

0

2

4

πε

C

(33.4)

ałkowita energia układu wynosi

r

e

E

E

p

k

0

2

8

πε

−

=

+

=

E

(33.5)

onieważ, promień orbity moż

yć dowolna. Ze wzoru (33.3) m

dkość liniową elektronu

P

wartość więc i energia też może

e przyjmować dowolną

ożemy wyznaczyć prę

b

e

2

=

v

mr

0

4

πε

a następnie częstotliwość

3

0

3

2

0

16

2

mr

e

r

v

ε

π

π

=

= v

Pęd dany jest równaniem

33-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

r

0

4

πε

me

m

p

2

=

= v

a moment pędu

0

4

πε

2

r

me

pr

L

=

=

(33.6)

ak więc, jeżeli jest dane r, to znane s

oraz L.

ku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parame-

łowej pod wpływem przyciągania ku-

onem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki

2.

tron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment

T

metry orbitalne: E

k

, E

p

, E,

v

, v

0

, p,

ą również para

Jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest

skwantowana

, to wszystkie muszą być skwan-

towane.
Na tym etapie Bohr nie miał żadnych zasad, którymi mógłby się posłużyć.
W związ
trów orbity i zastosował ją do momentu pędu L.
Postulaty Bohra były następujące:
1. Elektron w atomie porusza się po orbicie ko

lombowskiego pomiędzy elektr
klasycznej.
Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-
sycznej, elek
pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2

π.

,.....

3

,

2

,

1

=

=

n

h

n

L

(33.

2

π

kwantową. (Zwróćmy u

7)

gdzie stała n oznacza liczbę

wagę, że ponownie tak jak przy

opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, poja-

3.

uje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.

s

wia się stała Plancka h.)

Pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to

jednak nie wypromieniow

4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszają-

cy się po orbicie o całkowitej energii E

j

zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza

ię następnie po orbicie o energii E

k

. Częstotliwość emitowanego promieniowania

jest równa

h

E

E

v

k

j

−

=

(33.8)

Uwaga: To jest postulat Einsteina g

ęstotliwość fotonu promieniowania

lektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.

zą być

skwantowane.
Łącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy

łoszący, że cz

e
Drugi postulat opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak już mówiliśmy jeżeli ja-
kakolwiek z wielkości: E

k

, E

p

, E,

v

, v

0

, p, i L jest skwantowana, to wszystkie mus

33-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

2

0

2

2

=

h

ε

,.........

3

,

2

,

1

1

2

=

=

n

r

n

me

n

r

π

(33.9)

idzimy jak skwantowane jest

żenia na energię

ałkowitą (33.5) daje

W

r. Podstawienie tego równanie do wyra

c

.......

,

3

,

2

,

1

8

2

2

2

2

=

=

−

=

n

n

n

h

E

ε

(33.10)

1

0

4

E

me

Z tego równania otrzym

.

tan n =

∞ odpowiada stanowi

atom.

a rysunku poniżej są pokazane wybrane przeskoki między różnymi stanami stacjonar-

ujemy

wartości energii dozwolonych stanów stacjonarych

E = 0, w którym elektron jest c

S

ałkowicie usunięty poza

N
nymi.

n

3

2

1

seria Lymana

seria Balmera

seria Paschena

granica serii

granica serii

dej ze strzałek jest równa różnicy energii między dwom

i czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwo

ieniowania można obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotycz

ieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energi

∞

6

granica serii

4

5

Długość każ

a stanami stacjo-

narnym

ść emitowa-

nego prom

ącego czę-

stotliwości prom

ę (33.7)













−

=

2

2

3

2

0

4

1

1

8

k

j

h

me

v

ε

(33.11)

33-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

gdzie j, k są liczbami kwantowym

szy i wyższy stan stacjonarny.

a gruncie modelu Bohra można

jednoelektronowych. Można równie

a absorpcyjne. Ponieważ elektron

usi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stanu sta-

ślone

i opisującymi niż

łatwo zrozumieć wła

ż zrozumieć widm

N

sności widm emisyjnych atomów

m
cjonarnego) więc z padającego promieniowania może on absorbować tylko okre
porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi być równa różnicy
pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorpcyjnego mają te
same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego.
Na początku atom jest w stanie podstawowym n = 1 więc procesy absorpcji odpowiada-
ją serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy będą już w stanie n = 2
i możemy obserwować linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).

33-7