Wektorowy model atomu Bohra.
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru. Atom wodoru składa się z jednego elektrony związanego z jądrem- protonem poprzez przyciąganie kolombowskie. Dozwolone stany elektronu w atomie wodoru uzyskujemy rozwiązując równanie Schrödingera: L-ħ²/2m*Δ+UJΨ=ΕΨ, gdzie: U- energia potencjalna elektronu. Liczby kwantowe: W wyniku rozwiązania równania Sch. Dla atomu wodoru otrzymujemy liczby kwantowe i odpowiadające im wartości; n=1,2,3,...,(główne liczby kwantowe), l= 0,1,2,...,l=(n-1),orbitalne liczby kwantowe, m=±0,±1,±2,magnetyczne liczby kwantowe, m=(2l+1). Do opisania ruchu elektronu w przestrzeni potrzebne sa trzy liczby: l,n,m. Kolejnym wartościom liczb l odpowiadają stany elektronu: l=0 stan s, l=1 stan p, l=2 stan d , l=3 stan f. (rysunek )
Moment pędu atomu L˛=√[l*(l+1)] *ħ, gdzie ħ=h/2π. Moment magnetyczny atomu μ˛=√[l*(l+1)]*μb, gdzie:μb- magneton Bohra. Moment pędu elektronu w atomie jest skwantowany przestrzennie, tzn: wartość bezwzględna momentu pędu i jego rzut na oś przyjmują ściśle określone wartości, zależne od liczb kwantowych l i m. L˛¯=r¯×p¯, L˛=r me V=r² me ω. Ruch ładunku→ prąd elektryczny kołowy→dipol magnetyczny. μ˛=iΔS=-e/τ∗πr²=-er²/2*2π/τ=−er²ω/2, gdzie: delta S- jest powierzchnia jaką zatacza elektron w swoim ruchu. Stosunek żyromagnetyczny: γ1=−e/2 me. Minus oznacza że μ l i L˛ mają przeciwne zwroty. Kwantowanie przestrzenne- ustawianie się momentu pędu w określonych orientacjach ze względu na l. L˛z= m˛ħ , gdzie: m˛- magnetyczna liczba kwantowa. , m=±0,±1,±2,..., ±l, m=(2l+1).(rysunek)
Spin- własny moment pędu elektronu związany z ruchem wokół własnej osi. Ls=√[s(s+1)]*ħ.
Ls=İω=2/5 me re²ω, gdzie: İ- moment bezwładności, ω−prędkość kątowa. μs=-2/5e re²ω, gdzie: μs- moment spinowy. j¯e= L¯c+ L¯s, gdzie po kolei : całkowity moment pędu pojedynczego elektronu , moment orbitalny , moment spinowy. j¯e=√[(j+1)]*ħ, gdzie: je-wewnętrzna liczba kwantowa. (rysunek)
Energia wynikająca ze wzajemnego oddziaływania spin- orbital. Eso=-μ¯s*B¯l=μs Bl cos(μ¯s,B¯l). Sprzężenie spin- orbital . Dla cos <0, (gdy kąt μ¯s,B¯l>0) energia Es>0, dla cos>0, (gdy kąt μ¯s,B¯l<0) energia Es0<0. Es0=ξ(r)LsLl, wartość ξ- zależy od odległości elektronu od jadra. ξ(r)ħ²- stała sprzężenie spin- elektron. Enl(1,2)= Enl± Eso. Sprzężenie spinów daje całkowity spin: Sc¯=∑L¯si=√[S(S+1)]*ħ. 2S+1- multipletowość termu , gdy s=0 singlet ( 2s+1)=1, s=1/2 doblet (2s+1)=2, s=1 triplet , s=3/2 kwantet (2s+1)=4. J¯e=L¯ec+S¯e, gdzie po kolei: całkowity moment wypadkowy pędu całej powłoki elektronowej, wypadkowy moment pędu, suma spinów. J=(L+S), (L+S-1), (L+S-2),...,(L-S)=>J=0. J>0 Sprzężenie Russella-Somolersa L-S (małe at.) Tego typu sprzężenie, gdzie z orbitalnymi momentami pędów poszczególnych elektronów tworzy się wypadkowy moment pędu L, zaś ze spinów wypadkowych spin S, a następnie oba te wektory dają wypadkowy moment pędu J - nazywany sprzężeniem typu L-S. To sprzężenie dla małych atomów. Sprzężenie j-j dla dużych atomów. Dla pierwiastków o coraz większej masie atomowej sprzężenie między wektorami l¯ poszczególnych elektronów atomu staje się coraz słabsze. Podobnie dzieje się ze sprzężeniami między spinami. Zaczyna przeważać tendencja sprzężenia między wektorami l i s danego elektronu a w rezultacie daje wektor j. Każdemu elektronowi odpowiada określony wektor j1=l1+S1, j2=l2+S2. |Ll|=√[l(l+1)]*ħ=0, orbitalny moment pędu Lo¯. |Ls|=√[S(s+1)]*ħ, spinowy moment pędu Ls¯. |Lj|=√[J(J+1)]*ħ, całkowity moment pędu Lj¯.|μl¯| =ρl*√[l(l+1)]*μb, orbitalny moment magnetyczny. |μs¯|=ρs*√[S(S+1)]*μb, spinowy moment magnetyczny. |μJ¯|=√[J(J+1)]*μb, całkowity moment magnetyczny. ρ=1+[J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)]/2J(J+1)
Tunelowanie
Zjawisko tunelowania- zjawisko kwantowe polegające na przenikaniu cząstek przez obszar, barierę potencjału, który jest niedostępny z klasycznego punktu widzenia. Sytuacja taka występuje gdy wysokość bariery jest większa niż całkowita energia cząstki. Przejście cząsteczki przez barierę potencjalną. Rozważmy cząsteczkę poruszającą się w kierunku bariery potencjalnej o pewnej wysokości Uο i szerokości a. ( rysunek
Załóżmy, że energia cząsteczki E<Uο. Według mechaniki klasycznej cząsteczka ta nie powinna przejść na drugą stronę bariery, ponieważ podczas przechodzenia przez barierę musiała by mieć energię kinetyczną, co jest niemożliwe. Rozważmy to zagadnienie zgodnie z prawami MECHNIKI KWANTOWEJ. W tym celu skorzystamy zrównania Schrödingera. ∇²Ψ+(8Π2m/h²)*[E-U(x,y,z)]Ψ=0. Równanie Schrödingera bez czasu dla cząstki o masie m. Gdzie: ∇²Ψ-Laplasian funkcji Ψ, E-energia całkowita cząstki, U(x,y,z)-energia potencjalna cząstki zależna od jej położenia .-ħ/2m*d²Ψ/dx2²+U(x)Ψ=EΨ, gdzie: ħ=h/2Π. Zapisy dla każdego z obszarów; obszar pierwszy: U(x)=0 dla x<0;obszar drugi: U(x)=Uο dla 0< --> x[Author:u] ≤a; obszar trzeci; U(x)=0 dla x>a. W obszarach pierwszym i trzecim równanie Schrödingera przybiera postać: -ħ/2m*d²Ψ/dx²= EΨ. Natomiast w obszarze drugim przybiera postać: -ħ/2m*d²Ψ/dx²=(E-Uο)Ψ. Rozwiązując te równania otrzymujemy następujące równania na funkcję Ψ. W obszarze pierwszym Ψ1=A1e(ikx)+B1e(-ikx),w obszarze drugim Ψ2=Α2e(xx)+B2e(-xx), w obszarze trzecim Ψ3=Α3e(ikx)+B3e(-ikx). Gdzie: k=2Π/λ=2ΠΡ/h=2Π/h*√2m*E. Gdzie: x,k liczby falowe. B3e(-ikx) oznaczono falę bignącą w kierunku równym osi x. Cząstka podająca na barierę z lewej strony ma się od niej odbic na granicy obszarów pierwszego i drugiego oraz drugiego i trzeciego. Natomiast po przejściu bariery, gdy cząstka znajdzie się w obszarze trzecim, proces odbicia cząstki zajść może, a więc cząstka nie może wytworzyć fali biegnącej w ujemnym kierunku. Funkcja Ψbędzie opisywać przejścia cząsteczki przez barierę potencjalną wówczas, jeżeli funkcja ta oraz jaj pochodna będą ciągle w punktach x=0 i x=a. Warunki te możemy zapisać następująco:
(Ψ1)dlax=0 =(Ψ2)dlax=0 =>(dΨ1/dx)dlax=0 =(dΨ2/dx)dlax=0, oraz (Ψ2)dlax=a =(Ψ3)dlax=a =>(dΨ2/dx)dlax=a =(dΨ3/dx)dlax=a. Skąd wynika: A1+B1=A2=B2, A2e(xa)+B2e(-xa)=A3e(ika), ikA1-ikB1=xA2-xB2, xA2e(xa)-xB2e(-xa)=ikA3e(ika).
Wynoszenie (A3/A1)²= można interpretować jako prawdopodobieństwo tego, że cząstka padająca na barierę przejdzie przez nią. D (A2/A1)= WSPÓLCZYNNIK TRANSMISJI (przejścia). D=(A3/A1)²= 16k²x²/(k²+x²)²*(e(xa)-e(-xa))+16k²x², gdzie: k=2Π/h*√2mE, x=2Π/h√2m(Uο-E). Prawdopodobieństwo tego, że cząsteczka odbije się od bariery nazywamy współczynnikiem odbicia, R=1-D. Jeżeli bariera jest tak wysoka i tak szeroka że xa>>1 toD~~16k²x²/(k²-x²)²*e(-2xa). Im większy jest iloczyn x*a tym prawdopodobieństwo przejścia przez barierę jest mniejsze. Efekt tunelowy tłumaczy wiele zjawisk fizyki atomowej i jądrowej, np.: emisja elektronów z materii.