ARKUSZ 1. Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych.

Działania na zbiorach

1. Uprościć:

a)

q

x

3

√

y :

3

q

x

−2

√

y,

b)

3

q

1
9

a

−1

b

−2

:










3

√

81b

−

2
3

a

−2





−2






0,25

,

c)

"

x

−

1
2

r

a

−

3
4

x

3



a

1
4

x

−

1
2



1
3

#

1
2

:

"

x

−1

3

r

a

−1

x

−

3
2



a

−1

x

−

3
4



1
2

#

1
3

,

2. Obliczyć:

a)

q

x(1 − x) +

x

√

x

√

1−x



:



1

1+

√

x

+

√

x

1−x



, x ∈ (0, 1),

b)

q

x − 2

√

x + 1

√

x − 2

4

√

x + 1

:

4

√

x + 1

4

√

x − 1

+ 1, x ∈ (1, +∞).

3. Która z następujących liczb jest wymierna:

√

6,

q

3 + 2

√

2 −

√

2,

q

3 − 2

√

2 −

√

2,

q

11 + 6

√

2

3 +

√

2

,

q

11 − 6

√

2

3 −

√

2

.

4. Wykazać, że:

a)

3

q

√

5 + 2 −

3

q

√

5 − 2 = 1,

b)

s

a +

√

a

2

− b

2

2

+

s

a −

√

a

2

− b

2

2

=

√

a + b,

c)

s

a +

√

a

2

− b

2

2

−

s

a −

√

a

2

− b

2

2

=

√

a − b,

a > b,

d)

q

a + b + 2

√

ab +

q

a + b − 2

√

ab



2

= 4a, a ­ b ­ 0,

e) ∀

a,b6=0

a

6

b

2

+

b

6

a

2

­ a

4

+ b

4

.

5. Rozłożyć na czynniki następujące wyrażenia

a) x

4

− y

4

,

b) x

2

− 2xy + y

2

− 16,

c) x

4

+ x

2

+ 1,

d) x

8

+ x

4

+ 1,

e) (x − y)

3

+ (y − z)

3

+ (z − x)

3

,

f ) (x + y + z)

3

− x

3

− y

3

− z

3

.

1

6.

a) Zamienić ułamek zwykły

7
9

na ułamek dziesiętny.

b) Zamienić ułamek dziesiętny 0, 3(15) na ułamek zwykły.

7. Pokazać, że między każdymi dwoma liczbami wymiernymi różnymi le-

ży liczba wymierna, niewymierna, między niewymiernymi wymierna i
niewymierna.

8. Pokazać, że suma (iloczyn) dwóch liczb wymiernych jest wymierna,

suma (iloczyn) dwóch niewymiernych nie musi być niewymierna.

9. Wyznaczyć zbiory A ∪ B, A \ B, A ∩ B oraz (B \ A) ∩ C, jeżeli A =

(−∞, −2i, B = (−3, 6i, C = h−1, 1).

10. Niech A = h−3, 0)∪(5, 7), B = h−4, −2i∪(3, 6). Znaleźć zbiór

h

(A ∩ B) ∪ A

0

i

∩

(B \ A)

0

.

11. Znaleźć zbiory A ∪ B, A ∩ B, jeżeli A = {2n : n ∈ N} oraz B =

{3n : n ∈ N} .

12. Podać interpretację geometryczną zbiorów: A = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 1} ,

B = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

− 2x + y

2

¬ 3} . Wyznaczyć zbiory A ∩ B oraz

A \ B.

2