O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

1

T

ERMIN

1

CZERWIEC

2006

S

Ą TO ZADANIA Z UBIEGŁYCH EGZAMINÓW

,

JEŻELI DOSTRZEGACIE JAKIES BŁEDY PROSZĘ O

KONTAKT GG

: 7266656. P

OZDRAWIAM

:

P

Z

AD

1.

Podać definicje sygnału okresowego. Zdefiniować następujące

parametry takiego sygnału:
częstotliwość podstawową, wartość międzyszczytową, wartość średnią i
wartość skuteczną, podać interpretacje praktyczną tych parametrów oraz
obliczyć: a) dla syg. i(t) o podanym kształcie, oraz b) dla syg. u(t) opisanego

wzorem:

]

[

6

314

cos

325

)

(

V

t

t

u

























+

=

π

S

YGNAŁ OKRESOWY

– to taki, który powtarza swe wartości co pewien czas.

0

)]

(

)

(

[

)

;

(

=

−

+

+∞

−∞

∈

∧

∨

t

x

T

t

x

t

T

Najmniejsza z takich liczb T, dla których spełniona jest powyższa równość.

C

ZĘSTOŚĆ SYGNAŁU

– liczba cykli w jednostce czasu

T

f

o

1

=

. Pulsacja

podstawowa

o

o

f

π

ω

2

=

W

ARTOŚĆ MIĘDZYSZCZYTOWA

– to zakres zmienności wartości chwilowej

sygnału.

min

max

)]

(

[

)]

(

[

t

x

t

x

x

pp

−

=

W

ARTOŚĆ ŚREDNIA

– wartość sygnału stałego równoważnego danemu

sygnałowi zmiennemu, pod względem pola ograniczonego wykresem
ilustrującym zmienność wartości chwilowej w czasie.

∫

+

=

T

t

t

o

o

o

dt

t

x

T

x

)

(

1

W

ARTOŚĆ SKUTECZNA

– wartość sygnału stałego równoważnego danemu

sygnałowi zmiennemu pod względem przenoszonej mocy średniej.

∫

+

=

T

t

t

sk

o

o

dt

t

x

T

x

)

(

1

2

a)

10

1

10

=

=

o

f

T

3

min

max

10

15

)

3

(

12

)]

(

[

)]

(

[

−

⋅

=

−

−

=

−

=

t

x

t

x

x

pp

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

2

10

9

3

6

3

6

10

84

10

10

84

10

10

4

10

3

10

12

10

6

)

(

1

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

=

−

+

−

−

−

−

∫

T

t

t

o

o

o

dt

t

x

T

x

7

15

2

3

6

6

3

6

6

2

10

3

10

10

10

9

10

10

4

10

3

10

3

10

6

10

10

12

12

)

(

1

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

−

−

−

−

−

−

−

+

∫

T

t

t

sk

o

o

dt

t

x

T

x

...

6

314

cos

325

1

10

263

,

2

1093279

,

0

628

13

6

sin

6

50

1

314

sin

314

1

50

325

314

6

314

sin

325

1

6

314

cos

325

1

325

50

1

50

14

,

3

2

10

14

,

3

2

10

14

,

3

314

]

[

6

314

cos

325

)

(

3

0

0

2

2

=

























+

=

⋅

=

=

























−













+

=





































+

=













+

=

=

=

=

⋅

⋅

=

=

⋅

=

=

























+

=

∫

∫

−

T

o

sk

T

T

ś

r

pp

dt

t

T

u

t

T

dt

t

T

u

u

T

Hz

f

V

t

t

u

π

π

π

π

π

π

ω

ω

π

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

3

Z

AD

2. W

AŻNE

!

WARTO NARYSOWAĆ SCHEMATY ZASTĘPCZE

!

Napisać związki pomiędzy napięciem u(t) a natężeniem prądu i(t) dla

każdego z trzech podstawowych dwójników jednorodnych R, L, C
(skupionych, liniowych i stacjonarnych). Podać wyrażenie opisujące moc
chwilową p(t) i moc średnią Po dla każdego z tych dwójników zakładając, że
każdy z nich pobudzany jest pobudzeniem harmonicznym. Napisać i objaśnić
pełne wyrażenia opisujące związki między transformatami Laplace’a napięcie
i prąd dla każdego z omawianych dwójników.

O

PORNIK

R

I

R

U

⋅

=

-

wskazy prądu i napięcia są zgodnie skierowane

-

napięcie i prąd na oporze są w fazie

M

OC CHWILOWA

)

(

cos

)

2

2

cos(

2

1

cos

2

1

)

2

cos(

)

cos(

2

α

ω

ϕ

α

ω

ϕ

ϕ

α

ω

α

ω

+

=

=

−

+

+

=

−

+

+

=

⋅

=

t

I

U

t

I

U

I

U

t

t

I

U

i

U

P

m

m

m

m

m

m

m

m

M

OC ŚREDNIA

)

(

)

(

)

(

)

(

:

2

1

cos

2

1

s

i

R

s

U

t

i

R

t

U

ty

Transforma

I

U

I

U

P

m

m

m

m

⋅

=

⇒

⋅

=

=

=

ϕ

C

EWKA

L (

INDUKCYJNOŚĆ

)

I

L

j

U

dt

di

L

U

⋅

=

=

ω

Wskaz napięcia na indukcyjności ma argument o

2

π

większy niż argument wskazu prądu (napięcie na L

wyprzedza w fazie prąd o

2

π

)

M

OC CHWILOWA

)

(

2

sin

2

1

)

2

2

cos(

2

1

cos

2

1

α

ω

ϕ

α

ω

ϕ

+

=

−

+

+

⋅

=

t

I

U

t

I

U

I

U

P

m

m

m

m

m

m

M

OC ŚREDNIA

s

I

s

U

sL

s

I

I

L

s

I

sL

s

U

dt

t

di

L

t

U

ty

Transforma

I

U

P

o

L

L

o

L

L

L

L

m

m

+

=

⋅

−

⋅

=

⋅

=

=

=

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

:

0

cos

2

1

ϕ

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

4

K

ONDENSATOR

C –

POJEMNOŚĆ

I

t

j

U

idt

C

U

∫

−

=

=

ω

1

Prąd na pojemności wyprzedza w fazie napięcie o

2

π

.

M

OC CHWILOWA

)

(

2

sin

2

1

)

2

2

cos(

2

1

cos

2

1

α

ω

ϕ

α

ω

ϕ

+

−

=

−

+

+

⋅

=

t

I

U

t

I

U

I

U

P

m

m

m

m

m

m

M

OC ŚREDNIA

o

C

C

o

C

C

C

t

C

L

m

m

CU

s

U

sC

s

I

s

U

s

I

sC

s

U

U

d

i

C

t

U

ty

Transforma

I

U

P

−

⋅

=

+

=

+

⋅

=

=

=

∫

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

0

(

)

(

1

)

(

:

0

cos

2

1

0

0

τ

τ

ϕ

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

5

Z

AD

. 3

Obwód o danym schemacie opisać równaniami wynikającymi z metody
prądów oczkowych, a na podstawie ich rozwiązania obliczyć napięcie U

R

(t) na

rezystancji znajdującej się w obwodzie.

Ω

≅

Ω

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

3

02

,

0

1

,

0

7

,

1

8

,

0

333

,

0

5

)

0

exp(

12

~

)

5

cos(

12

)

(

2

1

2

1

β

β

ω

ε

R

R

F

C

F

C

H

L

H

L

A

A

V

t

t

e

1

2

2

1

2

2

4

~

5

,

1

10

5

,

8

~

5

,

8

7

,

1

5

~

4

8

,

0

5

~

10

02

,

0

5

~

2

1

,

0

5

~

3

~

1

2

2

2

1

2

1

I

I

I

I

I

I

j

j

j

Z

j

j

j

Z

j

j

Z

j

j

L

j

Z

j

j

Z

j

j

C

j

Z

Z

S

S

LC

C

L

L

L

C

C

R

−

=

=

+

=

−

=

−

=

−

=

=

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

=

=

−

=

⋅

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

=

ω

ω











 −

=

























+

−

−

−

+











 −

=



























+

−

−

−

+

S

S

S

S

C

L

LC

I

I

I

I

j

j

I

R

I

R

I

I

R

Z

R

R

R

Z

ε

β

β

ε

~

3

5

,

1

3

3

3

2

~

~

~

2

1

2

1

2

2

1

2

1

I

I

I

s

−

=







−

=

−

+

−

+

−

=

−

+

⇒







=

−

+

−

−

=

−

+

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

5

,

1

3

(

3

12

3

)

3

2

(

)

5

,

1

3

(

3

~

3

)

3

2

(

I

I

I

j

I

I

I

I

I

j

I

I

j

I

I

I

I

j

S

S

ε







=

−

+

−

=

−

+

0

)

5

,

1

4

(

4

12

4

)

4

2

(

2

1

2

1

I

j

I

I

I

j

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

6

j

I

I

j

I

I

j

I

I

j

j

I

I

j

j

j

j

I

j

I

j

I

4

,

7

11

12

)

5

,

0

75

,

0

(

12

4

)

5

,

0

75

,

4

(

12

4

)

375

,

0

1

)(

4

2

(

4

)

4

2

(

5

,

11

23

,

8

)

4

,

7

11

)(

375

,

0

1

(

)

375

,

0

1

(

)

1

375

,

0

(

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

−

=

=

+

=

−

+

=

−

−

+

=

−

+

−

=

−

−

=

−

=

−

−

=

(

)

(

)

(

)

j

I

j

I

j

I

j

j

I

j

I

I

j

j

I

I

j

I

I

I

j

I

j

I

I

I

j

I

I

I

j

I

I

I

I

I

j

I

I

I

s

4

,

2

2

,

7

8

,

7

4

,

5

9

12

)

05

45

,

1

(

0

9

12

)

5

,

0

_

5

,

3

(

2

0

6

1

)

5

,

1

2

(

2

6

1

6

)

1

(

0

)

5

,

1

2

(

2

12

2

)

2

2

(

)

5

,

1

3

(

3

~

3

)

3

2

(

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

−

=

−

=

−

=

+

=

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

−

+

=

=

−

+







=

−

+

−

=

−

+

⇒







−

=

−

+

−

+

−

=

−

+

−

=

ε

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

7

Z

AD

. 4

Zdefiniować pojęcia: moc dysponowana źródła oraz dopasowanie
energetyczne obciążenia do źródła i omówić je w przypadku:

a) obwód prądu stałego
b) obwód prądu sinusoidalnego

Obliczyć z jakich elementów należy zbudować
obciążenie źródła o podanym obok schemacie, aby
na obciążeniu tym wydzielała się maksymalna
moc. Obliczyć również wielkość tej mocy.


M

OC DYSPONOWANA ŹRÓDŁA

– to maksymalna moc, jaką z danego źródła można

przekazać do obciążenia:













=

=

w

w

ź

r

dysp

R

J

R

E

P

2

2

.

4

1

4

Moc wydzielana w obciążeniu jest zawsze mniejsza od mocy dysponowanej
źródła, a tylko w przypadku, gdy obciążenie jest dopasowane energetycznie
do źródła mocy wydzielana w nim jest równa mocy dysponowanej źródła:

ź

dysp

L

R

R

L

P

P

P

W

L

.

max

)

(

=

=

=

D

OPASOWANIE ENERGETYCZNE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA

– zapewnienie warunków

pozwalających na przekazywanie maksymalnej mocy ze źródła do obciążenia.

a) Obwód prądu stałego:

W

L

L

W

L

W

L

L

L

W

L

L

L

W

L

W

L

R

R

E

R

R

R

R

dR

dP

E

R

R

R

P

E

R

R

I

E

R

R

R

U

=

⇓

=

+

−

=

+

=

+

=

+

=

0

)

(

)

(

1

2

2

2

2

Warunek dopasowania energetycznego w obwodach prądu stałego:
równość rezystancji obciążenia i rezystancji wewnętrznej źródła.

b) Dla obwodów z pobudzeniem harmonicznym – dopasowanie ze względu

na maksimum mocy średniej (czyli mocy czynnej). (tego zad nie jestem
w 100% pewna)

]

)

(

)

[(

2

]

~

[

]

~

~

][

~

~

[

2

]

~

[

~

~

]

~

[

~

2

1

2

2

2

*

*

L

W

L

W

L

L

e

LC

L

W

L

W

L

L

X

X

R

R

E

R

P

R

P

Z

Z

Z

Z

E

E

Z

I

U

P

+

+

+

=

=

+

+

=

⋅

=

∗

M

OC CZYNNA BĘDZIE MAKSYMALNA

,

GDY

X

L

=-X

W

ORAZ

R

L

=R

W

.

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

8

(

)

[

]

dysp

W

Z

Z

LC

LC

P

R

E

P

P

w

L

=

=

=

=

8

2

*

]

~

[

~

max

Warunek dopasowania energetycznego w
obwodach prądu harmonicznego:
równość impedancji obciążenia i sprzężonej
wartości impedancji wewnętrznej źródła.

(

)

8

80

80

10

3

,

0

40

40

10

)

5

,

2

(

4

2

j

P

j

j

gU

j

j

U

d

s

s

−

=

−

=

⋅

⋅

=

−

=

−

=

j

j

j

C

j

Z

j

j

L

j

Z

j

H

L

H

C

g

t

t

j

C

L

5

,

2

4

,

0

04

,

0

10

30

3

10

~

2

2

2

2

~

3

04

,

0

10

2

,

0

4

exp

4

~

4

10

cos

4

)

(

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

=

⋅

⋅

=

=

−

=

=

=

=

=













−

=













−

=

ω

ω

ε

ω

π

ε

π

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

9

Z

AD

. 5

Zdefiniować pojęcia:

-

transmitancja napięciowa

układu
-

odpowiedz impulsowa

układu
-

odpowiedz skokowa układu

Podać i omówić związek między nimi. Obliczyć te wielkości dla obwodu o

schemacie pokazanym obok.

T

RANSMITANCJA

N

APIĘCIOWA

U

KŁADU

– inaczej funkcja przenoszenia układu.

Stosunek transformaty Laplace’a odpowiedzi obwodu do transformaty
Laplace’a wymuszenia przy zerowych warunkach początkowych.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

s

U

s

U

s

X

s

Y

s

H

=

=

|| H(s) zapisywany

również jako T

V

O

DPOWIEDZ

I

MPULSOWA

U

KŁADU

– odpowiedź układy na wymuszenie w postaci

impulsu Diraca. Odpowiedz impulsowa jest określona jako transformata
odwrotna transformaty Laplace’a transmitancji operatorowej.

impuls delta Diraca

)]

(

[

)

(

)]

(

[

)

(

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)]

(

[

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

0

0

0

)

(

1

1

)

(

)

(

s

H

L

t

h

t

h

L

s

H

s

H

L

t

h

t

y

s

H

s

H

s

X

s

H

s

Y

t

L

t

x

L

s

X

t

t

x

t

dla

t

dla

t

t

t

x

−

−

=

=

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

=

=

=

=







=

∞

≠

=

δ

δ

δ

δ

O

DPOWIEDZ

S

KOKOWA UKŁADU

– odpowiedz układu na wymuszenie w postaci

skoku jednostkowego Heaviside’a









=

=

=

=

=

=

=













>

=

<

=

−

=

s

s

H

L

t

r

t

y

s

s

H

s

Y

s

t

L

t

x

L

s

X

t

t

x

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

t

x

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)]

(

1

[

)]

(

[

)

(

)

(

1

)

(

0

1

0

2

1

0

0

)

(

1

1

)

(

1

)

(

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

10

Z

WIĄZEK MIĘDZY ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ A ODPOWIEDZIĄ JEDNOSTKOWĄ

:

[

]

[ ]

∫

∞

−

=

=

=

1

)

(

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

)

(

dt

t

t

t

dt

d

t

t

r

dt

d

t

h

δ

δ

Ls

L

R

s

C

sC

C

F

C

=

Ω

=

⋅

=

=

=

5

,

2

1

,

0

1

1

1

,

0

?

2

1

1

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

1

2

1

RsC

U

RsC

U

U

RsC

U

s

H

s

U

s

U

s

H

n

n

+

=

⋅

+

=

+

=

=

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

11

Z

AD

. 6

Do dwójnika o schemacie jak na

rysunku dopływa prąd harmoniczny

kHz

f

gdzie

A

ft

t

i

183

,

3

]

)][

2

cos(

3

,

0

)

(

=

=

π

obliczyć u

1,2,3

(t) na elementach. Narysuj

przebiec mocy chwilowej p(t) na
dwójniku(na tym samym rysunku podaj
u(t) i i(t)).

// Moc średnia wydziela się tylko na rezystorach!









⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

=

s

rad

f

kHz

f

A

ft

t

i

4

3

10

2

10

183

,

3

14

,

3

2

2

183

,

3

]

)][

2

cos(

3

,

0

)

(

π

ω

π

...

~

~

~

~

~

15

)

2

1

(

50

)

2

1

(

50

)

2

1

(

250

2

,

0

)

2

1

(

125

)

1

(

25

)

3

1

(

5

)

25

_

25

)(

15

5

(

)

1

1

(

50

50

15

5

)

)(

1

(

50

)

1

(

2500

15

5

)

1

(

50

2500

15

5

50

50

)

50

(

50

15

5

~

50

10

2

10

10

2

~

15

10

1500

10

750

10

2

~

50

~

5

~

2

2

2

1

2

1

2

6

4

2

6

4

=

+

+

−

=

−

=

−

+

=

=

−

=

+

⋅

+

−

=

+

−

=

+

−

−

+

+

=

+

−

+

−

+

+

=

−

−

+

+

=

−

−

+

+

=

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

−

=

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

=

=

−

−

−

−

C

R

C

R

L

Z

C

L

R

R

Z

Z

Z

Z

Z

j

j

U

j

j

U

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

Z

j

j

j

C

j

Z

j

j

L

j

Z

Z

Z

ω

ω

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

12

Z

AD

. 7

Kondensator stratny (C=10nF z upływnością G

c

=20µS) i stratny induktor

(L=10mH z rez. strat R

L

=20Ω) są połączone

a) szeregowo
b) równolegle
Zdefiniuj dla a i b i podaj: częstotliwość rezonansową, dobroć, trzy

decybelowe pasmo przenoszenia(3dB) i rezystancje dynamiczną. Narysuj
wykresy zależności(od częstotliwości) moduł impedancji każdego z tych
obwodów – z zaznaczeniem na wykresach uprzednio obliczonych: f

o

, R

D

, B

3dB

C

ZĘSTOTLIWOŚĆ

R

EZONANSOWA

-

π

ω

2

0

=

o

f

gdzie

LC

1

0

=

ω

ω

0

– pulsacja rezonansowa dwójnika – pulsacja dla której część urojona

immitancji dwójnika jest równa zeru, a więc immitancja jest liczbą
rzeczywistą.

D

OBROĆ

– stosunek maksymalnej wartości całkowitej energii

zmagazynowanej w obwodzie do wartości całkowitej energii traconej
w obwodzie w ciągu okresu odpowiadającego pulsacji rezonansowej obwodu
ze współczynnikiem

π

2

.

def.

[

]

0

)

,

(

)

(

)

(

2

0

0

max

ω

ω

π

=

+

+

⋅

=

T

t

t

W

t

W

t

W

Q

R

C

L

Wzór pozwalający na obliczenie dobroci:

Dla cewki indukcyjnej o indukcyjności L dobroć wynosi:

gdzie: ω - częstość wymuszonych zmian prądu,
R - oporność czynna cewki.

Dla kondensatora o pojemności C dobroć wyraża się wzorem:

gdzie: ω - częstość wymuszonych zmian prądu,
R - zastępcza szeregowa oporność kondensatora.

W obwodzie zawierającym cewkę i kondensator:

R

R

C

L

Q

ρ

=

=

Pulsacje graniczne wyznaczają T

RZYDECYBELOWE

P

ASMO

P

RZENOSZENIA

obwodu:

Q

B

o

d

g

dB

ω

ω

ω

=

−

=

3

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

13

R

EZYSTANCJA DYNAMICZNA

-

0

0

~

1

~

ω

ω

ω

ω

=

=

=

≅

Y

Z

R

d

W praktyce:

2

L

L

L

d

Q

R

R

R

≅

≅

Oporność dynamiczna informuje o wartości przyrostu prądu w elemencie
przy określonej zmianie napięcia. Dla elementów liniowych takich jak
rezystor jest ona stała i równa oporności statycznej, dla elementów
nieliniowych jest ona zmienna, zależy od wartości prądu i napięcia stałego
określającego punkt pracy elementu.

O

BWODY I

S

YGNAŁY ZADANIA EGZAMINACYJNE

14

a) szeregowe

20

5

100

'

10

5

50

50

10

20

'

50

2

100

2

10

10

10

10

10

1

2

6

2

10

6

5

0

0

5

0

=

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

=

=

−

C

C

C

C

R

GQ

G

G

C

RC

Q

LC

ω

ω

ω

3

5

0

3

3

5

10

4

25

10

25

4

100

10

4

10

10

10

40

2

20

'

⋅

=

=

=

=

=

⋅

⋅

⋅

=

Ω

=

−

=

=

+

=

Q

B

Q

R

R

R

dB

L

L

C

d

ω

b) równoległe

3

6

3

3

2

10

6

5

0

0

5

0

10

25

25

10

20

10

50

10

50

50

50

20

50

2

100

2

10

10

10

10

10

1

⋅

=

Ω

=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

=

≅

−

k

R

Q

R

R

G

C

RC

Q

LC

d

L

L

CL

C

C

ω

ω

ω

3

5

0

0

0

10

4

25

10

3

25

⋅

=

=

=

=

=

=

Q

dB

B

CR

L

R

Q

d

d

ω

ω

ω

wykres argumentu poszukać!