Egzamin

rok 2012/2013

Zadanie 3:

Dany jest szereg potęgowy

  















0

3

1

6

3

1

n

n

n

n

x

. Wyznaczyć promień zbieżności, przedział

zbieżności, zbadać zbieżność (i określić jej rodzaj) w prawym końcu przedziału zbieżności.

Rozwiązanie:



Szeregi

potęgowe mają postać:















n

n

n

x

x

a

0



Badanie zbieżności szeregu potęgowego z definicji:













1

)

(

lim

lub

1

)

(

lim

0

0

1

0

1



























x

g

x

x

a

x

g

x

x

a

x

x

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

)

(

1







x

g



Rozw

iązanie powyższej nierówności ukazuje przedział zbieżności, której rodzaj później badamy.

0

x

-

środek szukanego przedziału zbieżności

1) Wyznaczenie

promienia zbieżności i przedziału zbieżności szeregu potęgowego (z definicji).

2

0



x

 

 

  





  

 











1

3

6

2

1

1

1

3

6

lim

2

1

3

6

lim

2

1

6

3

1

lim

1

6

3

1

2

6

3

1

lim

lim

3

3

3

3

3

3

1

1

1

















 











 











































































x

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

x

x

n

n

x

x

f

x

f

g

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

3

1

)

2

3

7

:

(lub

3

5

2











R

-

promień zbieżności

3

5

3

7

5

3

7

1

3

6

1

1

3

6



























x

x

x

x

zbieżny bezwzg.

rozbieżny

rozbieżny

3

5

3

7

2

Przedział zbieżności

Szereg jest bezwzględnie zbieżny dla















3

7

;

3

5

x

.

2)

Badanie zbieżności (i określenie jej rodzaju) w prawym końcu przedziału zbieżności.

3

7



x

-

prawy koniec przedziału zbieżności

 

   

 





















































0

0

0

3

3

3

1

1

1

1

1

1

6

3

7

3

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Powstał szereg naprzemienny :

 









1

1

n

n

n

a



Konieczne jest sprawdzenie kryterium Leibniza:

Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg

 

n

a

jest

ciągiem malejącym, zbieżnym do 0 i większym od 0, to szereg ten (

 









1

1

n

n

n

a

) jest

zbieżny.

Sprawdzenie warunków powyższego kryterium:







3

1

1

n

a

n

jest ciągiem malejącym bo dzielimy ciąg stały (1) przez ciąg rosnący (

3

1



n

),

0

1

1

lim

3









n

n

i

0

1

1

3







n

a

n

a zatem wszystkie warunki zbieżności wg kryterium Leibniza zostały spełnione (szereg jest zbieżny).



Badamy rodzaj zbieżności (korzystamy z kryterium porównawczego):

3

3

3

1

1

1

2

1









n

n

n

n

Jest to szereg harmoniczny Dirichleta







1

1

2

1

n

n





rzędu

1

3

1







-

z tej nierówności wynika, że badany

szereg jest rozbieżny, a to znaczy że

 











0

3

1

1

n

n

n

również jest rozbieżny (kryterium porównawcze).

Ostatecznie ze względu na powyższą rozbieżność szereg

  















0

3

1

6

3

1

n

n

n

n

x

jest warunkowo zbieżny w

3

7



x

.

Odpowiedź:

Promień zbieżności:

3

1



R

, przedział zbieżności:















3

7

;

3

5

x

. W prawym końcu przedziału

zbieżności szereg jest warunkowo zbieżny.

Autor:

Agata Czarnecka

grupa

2

12.01.2014