Symulacja komputerowa

1. Wymień zalety i ograniczenia symulacji komputerowej.

Zalety:

niewielki koszt, co umożliwia badanie złożonych struktur,

łatwość wielokrotnego powtarzania symulacji dla różnych wartości parametrów,

łatwość adaptacji do rozwiązań różnych problemów,

możliwość badania urządzeń nieistniejących fizycznie,

dostępność różnych programów symulacyjnych z różnych dziedzin nauki i techniki,

efektywne wyznaczanie rozwiązań problemów, których opis analityczny jest zbyt złożony lub nieznany,

możliwość badania elementów niedostępnych bezpośrednio w eksperymentach fizycznych,

Wady:

rezultaty symulacji dają tylko przesłanki prawidłowego rozwiązania – nie można sprawdzić wszystkich
stanów,

symulacja operuje kwantowym czasem i wartościami, co może skutkować niezamierzonymi błędami
działania modelu,

często program poszukuje rozwiązania w miejscu, gdzie widać jego brak,

nierozwiązany problem integracji modelowania z systemami sztucznej inteligencji,

2. Narysuj schemat blokowy prostej symulacji komputerowej.









3. Wyjaśnij pojęcie modelowanie opisowe, wymień zalety i wady modelowania opisowego.

Celem jest p

rzedstawienie pełnego zbioru danych. Zawiera modelowanie rozkładu prawdopodobieństwa danych,

dzielenie n-

wymiarowej przestrzeni w grupy i modele opisujące związki pomiędzy zmiennymi.

+

bardzo dokładne

-

czasochłonne,

-

duże prawdopodobieństwo pominięcia lub zlej interpretacji części zadanego problemu,

4. Wyjaśnij pojęcie modelowanie przyczynowe, wymień zalety i wady modelowania
przyczynowego.

Stosowane do opisu zjawisk okresowych i nieokresowych. Model dotyczy struktury obiektu

– modeluje się

strukturę wewnętrzną obiektu i wzajemne zależności. Wykorzystuje się metodę wielopętlowego sprzężenia
zwrotnego, analizę nieliniową i parametryczną.
+różnorodność zmiennych
+dobra wizualizacja
-

ograniczenia liniowości problemu

-

ograniczenia w założeniach tylko przyczynowe zależności

5. Wymień podstawowe elementy dokumentacji inżynierskiej.

założenia projektowe

wybór koncepcji układu, systemu

matematyczną weryfikację założeń technicznych

schematy blokowe

obliczenia skutkujące przyjęciem danego schematu ideowego wraz z wartościami poszczególnych
elementów

rysunki wykonawcze płytek drukowanych i nietypowych podzespołów

rysunki konstrukcji mechanicznej, w tym obudowy i płyty czołowej

spis elementów mechanicznych i elektrycznych

Układ rzeczywisty

modelowanie

Model matematyczny

Symulator
komputerowy

Wizualizacja

Wyniki

symulacja

Arytmetyka komputerowa, algorytmy obliczeniowe

1. Wyjaśnij różnicę pomiędzy liczba maszynową znormalizowaną, a zdenormalizowaną w zapisie
matematycznym i reprezentacji bitowej formatu double według standardu IEEE754.

IEEE754

– liczby zmiennoprzecinkowe

liczba maszynowa x = s * m * b ^ e
s - znak liczby
m - znormalizowana mantysa
b - podstawa systemu liczbowego
e -

wykładnik

c - waga cechy
f - waga mantysy

G

dy mantysa należy do prawostronnie otwartego przedziału [1, b) jest znormalizowana. M jest stale, a E się

zmienia i wtedy

przesunięciu ulega przecinek. Liczba zdenormalizowana pojawia się, gdy mamy niedomiar.

2. Jaki jest cel stosowania liczb maszynowych zdenormalizowanych. Co oznacza pojęcie „precyzja
arytmetyki”.

Cel: zmniejszenie niedomiaru w otoczeniu zera. Precyzja arytmetyki -

błąd pomiaru czasu.

3. Wyjaśnij pojęcia niestabilności numerycznej algorytmu i złego uwarunkowania zadania
numerycznego.

Algorytm jest niestabilny numerycznie

, jeżeli małe błędy obliczeniowe popełnione w jednym etapie obliczeń,

powodują wystąpienie dużych błędów w następnych etapach obliczeń.
Zadanie numeryczne jest

źle uwarunkowane, jeśli małym zmianom warunków początkowych towarzyszą duże

zmiany wyników. Miarą uwarunkowania są odpowiednio definiowane wskaźniki.

4. Algorytmy „bąbelkowy” i „quicksort” wymagają teoretycznie tej samej maksymalnej liczby
porównań w celu uporządkowania ciągu. Dlaczego zatem algorytm „quicksort” uchodzi za
najbardziej efektywny algorytm sortowania?

Najszybszy, prosty do wytłumaczenia i implementacji. Opiera się na technice "dziel i zwyciężaj". Pesymistyczny
czas jego działania wynosi O(n2), a średni O(n*lg(n)).

5. Na przykładzie wielomianu

oraz punktu

wyjaśnij działanie algorytmu

Hornera.

Schemat Hornera jest optymalnym algorytmem obliczania wartości wielomianu. Wielomian p(x) zapisuje się
następująco:

p=[2 1 1 2]
x=−1
px=a3=2
dla i=1
px=2

∗(−1)+1=−1

dla i=2
px=−1

∗(−1)+1=2

dla i=3
px=2

∗(−1)+2=0

Interpolacja i aproksymacja

1. Wyjaśnij pojęcie interpolacji. Dla funkcji f(x)=1/x i punktów x1=1, x2=2, x3=3 przeprowadź interpolację
wielomianami algebraicznymi.

Metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje
w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami.

2. Co to są węzły interpolacji. Sformułuj twierdzenie dotyczące wyboru stopnia algebraicznego
wielomianu interpolacyjnego dla ustalonych parami różnych punktów pomiarowych

Węzły interpolacji są to punkty funkcji interpolacji o wartościach z góry zadanych przez funkcję oryginalna. Te
dwie funkcje muszą się pokrywać w tych punktach. Twierdzenie o jednoznaczności wielomianu interpolacyjnego:
Jeśli liczby x1,x2...xm są parami różne, to istnieje dokładnie jeden wielomian wykładniczy pn(x) stopnia nie
większego niż n=m-1taki, że pn(xi)=yi, i=1,2...m.

3. Czy wzory interpolacyjne Lagrange’a, Newtona i Aitkena prowadzą do różnych wielomianów
interpolacyjnych, odpowiedź uzasadnij. ??? jedna odpowiedz jest ze tak, druga że nie, mi się podoba
odpowiedź na „tak” bo jest krótsza  ???

Tak

prowadza do rożnych wielomianów, ponieważ w poszczególnych wzorach inną metodą dobiera się węzły np.,

w wielomianie Lagranye'a dobieramy węzły z wielomianów równoległych, a do innej możemy skorzystać z węzłów
opartych na zerach wielomianów Czebyszewa. Po drugie wielomiany te różnią się błędami interpolacji zależnego
od maksimum m-tej pochodnej.

Nie

, wielomiany interpolacyjne są takie same. Różne są jednak nakłady pracy na obliczenie z tych wzorów.

Lagrange’a stosuje się raczej do rozważań teoretycznych, w praktyce jest on źle uwarunkowany i niewygodny
obliczeniowo.

m

k

m

k

j

j

j

k

j

k

k

k

x

x

x

x

x

x

L

y

x

p

1

,

1

)

(

L

,

)

(

)

(

J

ego zaletą jest łatwość uogólniania na inne klasy funkcji interpolujących, np. klase funkji sklejanych.

Newtona

Jest on dobrze uwarunkowany numerycznie, wygodny obliczeniowo, dodanie kolejnego węzła

interpolacji nie narusza poprzednio obliczonych współczynników (ilorazów różnicowych). Dodanie węzła nie
zmienia także poprzednio wyznaczonego układu wielomianów (wielomianów czynnikowych). Wielomianu danego
wzorem Newtona nie należy przekształcać do standardowej postaci wielomianu jako sumy jednomianów-jest ono
źle uwarunkowane numerycznie, co prowadzi do dodatkowych, istotnych i często dyskwalifikujących, błędów
obliczeniowych. Dodatkową zaletą wzoru Newtona jest łatwość obliczania wartości wielomianu, algorytmem
będącym w istocie uogólnieniem schematu Homera.

)

(

)

(

)

(

:

roznicowe

lorazy

)

(

*

...

*

)

1

(

)

1

(

)

(

)

)...(

)(

(

)

(

N

,

)

(

)

(

1

1

1

1

0

1

0

2

1

x

N

c

x

p

x

p

i

x

x

x

x

c

x

x

c

c

x

p

x

x

x

x

x

x

x

x

N

c

x

p

n

n

n

n

m

m

n

m

k

k

k

k

k

n

Aitken wywodzi się ze wzorów Lagrange’a

)

,...,

2

,

1

|

(

)

(

m

n

x

x

x

x

f

x

p

4.

Wyjaśnij pojęcie aproksymacji średniokwadratowej oraz pojęcie aproksymacji w sensie

najmniejszych kwadratów. Czy w warunkach symulacji komputerowej pojęcia te mogą oznaczać to
samo, odpow

iedź uzasadnij.

Aproksymacja średniokwadratowa to aproksymacja, której celem jest minimalizacja błędu na przedziale [a,b].
Metoda najmniejszych kwadratów to metoda statystycznych estymacji i wyznaczania linii trendu na podstawie
zbioru danych w postaci par liczb.

5. Na czym polega efekt „odszumiania” pomiarów, który jest jedną z własności aproksymacji
średniokwadratowej.

Aproksymacja ma korzystną własność uśredniania błędów pomiarowych wartości funkcji,
co oznacza, że jeśli błędy będą miały charakter losowy to po ich uśrednieniu wartość błędu jest
prawie zerowa-

na tym polega odszumianie pomiarów.

6. Porównaj interpolację i aproksymację średniokwadratową, wyjaśnij zalety i wady obu
powyższych metod przybliżania funkcji.

Przybliżenia aproksymacyjne stają się identyczne z przybliżeniami interpolacyjnymi, gdy n=m (nie wiem co to jest
„n”). Aproksymację stosujemy, gdy dane jest `m` punktów pomiarowych i `m` jest duże np. kilkadziesiąt lub więcej.

Interpolacja:
Wady:

wrażliwa właśnie na błędy pomiarowe

Zalety:

łatwość obliczania przybliżeń interpolacyjnych oraz wielomian interpolacyjny dokładnie przechodzi przez

zadane z góry punkty

Aproksymacja:
Wady:
Zalety:

odszumianie pomiarów

Równania nieliniowe

1.

Wyjaśnij ideę metody bisekcji. Zapisz cztery kolejne kroki algorytmu bisekcji dla funkcji

Metoda służy do wyznaczenia miejsca zerowego danej funkcji i polega na cyklicznym połowieniu zadanego z góry
przedziału (w którym znajduje się pierwiastek), aż do osiągnięcia zadanej dokładności.

Algorytm:
1. Sprawdzamy, czy pierwiastkiem równania jest punkt leżący w środku
przedziału [a, b] (tj. x1=(a+b)/2), czyli czy f(x1) = 0.
2. Je

śli tak jest, algorytm kończy się (znaleźliśmy rozwiązanie). W

przeciwnym razie x

1 dzieli przedział [a, b] na dwa mniejsze przedziały [a, x1]

oraz [x1, b].
3. Wybierany jest ten przedział, dla którego spełnione jest drugie założenie,
tzn. albo f(x1)f(a) < 0 albo f(x1)f(b

) < 0. Cały proces powtarzany jest od punktu

1 dla wybranego przedziału.

Przedział [0,2]
x1=(0+2)/2=1
f(x1)=1^2-1=0 więc x1=1 jest rozwiązaniem (nie potrzebujemy 4 kroków bo w pierwszym
znaleźliśmy rozwiązanie)

2. Równanie pewnej metody numerycznej ma postać

.

Jak nazywa się ta metoda, w jakim celu ją stosujemy.

Jest to metoda stycznych Newtona

–Raphsona. Stosuje się ją do wyznaczania przybliżonej wartości pierwiastka

funkcji.

3. Metoda Newtona

– Raphsona opisana jest równaniem

Zastosuj tę metodę do wyznaczenia miejsca zerowego funkcji

zapisując cztery kolejne kroki metody.

4. Różnica pomiędzy metoda siecznych i stycznych. Do czego służą wzmiankowane metody. Jaka jest
różnica między metoda Newtona – Raphsona, a metodą stycznych.

Metody

służą do znajdowania pierwiastków funkcji ciągłych nieliniowych. Aby w metodzie stycznych oszacować

błąd, pierwsza pochodna musi być ciągła, natomiast w metodzie siecznych druga pochodna musi być ciągła.
Metoda Newtona-Raphsona to metoda stycznych.

5.

Na przykładzie rezystora opisanego równaniem

wyjaśnij pojęcie modelu iterowanego

elementu rezystancyjnego. Utwórz taki model dla powyższego elementu w punkcie pracy

jest to model i........ metoda Newtona-

Raphsona, element nieliniowy zastępowany jest ekwiwalentem obwodem

liniowym, gdzie w każdej iteracji określany jest nowy wektor napiec węzłowych.

Stany przejściowe w sieciach elektrycznych

1.

W jakim celu stosowane są metody Eulera: ekstrapolacyjna i ekstrapolacyjno – interpolacyjna,

czy

metody te mają zastosowanie praktyczne, odpowiedź uzasadnij.

Do rozwiązywania zagadnień początkowych dla równań różniczkowych. Brak zastosowania praktycznego ze
względu na małą dokładność.

2.

Na przykładzie wzorów

wyjaśnij ideę

metod typu korektor

– predyktor. Który wzór (wzory) jest tutaj predyktorem, a który korektorem.

Metoda ta nie startuje samodzielnie, bo wymaga informacji wstecznej. Metoda wielokrokowa, najpierw

wstępne

oszacowanie rozwiązania predyktorem (2), a potem poprawianie wyniku korektora (3). (Oznaczenia równań
niepewne

, może być na odwrót).

3.

W jakim celu stosujemy metody Geara. Z jakich wzorów (metod) wywodzą się metody Geara,

podaj ich zastosowania oraz zalety i ograniczenia.

Wywodzą się z metody Adamsa-Baschfortha-Multona.
Zastosowanie: do analizy sieci elektrycznych

, do całkowania sztywnych równań różniczkowych, jako korektor dla

metody Adamsa-Baschfortha
Zalety:

dostosowanie do analizy czasowej układów ze skomplikowanym, dużym rozrzutem stałych czasowych

Ograniczenie

h=const nie obowiązuje.

4.

Do czego służą metody Rungego – Kutty. Co oznaczają stwierdzenia, że są to metody

niestacjonarne, nieinterpolacyjne, samostartujące, o zmiennej długości kroku.

Służą do iteracyjnego rozwiązywania równań różniczkowych.

niestacjonarne

–zależna od czasu

nieinterpolacyjne

– w każdym kroku obliczane są dodatkowe punkty pomiędzy poprzednimi węzłami

samostartujące – nie wykorzystują historii stanu

o zmiennej długości skoku – krok całkowity może zmieniać się wraz z iteracjami

5.

Co oznacza pojęcie sztywne równanie różniczkowe. Dlaczego zastosowanie do równania

metody ekstrapolacyjnej Eulera jest

nieefektywne, natomiast zastosowanie metody ekstrapolacyjno

– interpolacyjnej Eulera daje w tym

przypadku zadowalające rezultaty.

Równanie sztywne ma dwie składowe szybko i wolno zanikającą : x(t)=xr(t)+xs(t) jednak struktura równania
wymusza stosowanie bardzo małych kroków całkowania, nawet po zaniknięciu szybkozmiennej składowej.
Nieefektywne, bo po 1s rozwiązanie zmalało do zera (?).

6.

Wyjaśnij ideę stosowania modeli dyskretnych elementów reaktancyjnych na przykładzie

kondensatora o stałej pojemności „C”.
7.

Wyjaśnij ideę stosowania modeli dyskretnych elementów reaktancyjnych na przykładzie

kon

densatora o stałej pojemności „L”.

Idea modelu dyskretnego polega na zastąpieniu w ustalonej chwili czasu elementu reaktancyjnego odpowiednio
dobranym rezystancyjnym modelem stałoprądowym. (dużo wzorów nie do nauczenia :/ )

Numeryczne rozwiązywanie układów równań liniowych

1.

Dany układ równań rozwiąż metodą eliminacji Gaussa.

2.

Dany układ równań rozwiąż metodą eliminacji Gaussa-Jordana.

W zwykłej metodzie Gaussa macierz układu sprowadzamy do takiej macierzy, w której pod przekątną są
wyłącznie zera. W metodzie Gaussa-Jordana dochodzimy do macierzy, w której zera są także nad przekątną, a
na przekątnej są jedynki (dopóki to możliwe).

3.

Dany układ równań rozwiąż metodą eliminacji Gaussa-Seidela.

W pierwszym i drugim równaniu wyrazy dominujące (

i

)

leżą poza główną przekątną. Po zamianie

kolejności tych równań otrzymujemy układ, w którym wartości dominujące leżą na głównej przekątnej:

Układ ten spełnia warunek zbieżności metody (macierz układu jest dominująca przekątniowo). Układ zapisujemy
w p

ostaci równań na wyrazy dominujące:

Dokonujemy wyboru ("zgadujemy") wartości x

2

i x

3

, np. x

2

= 0 i x

3

= 0. Następnie podstawiamy te wartości do

równania na x

1

, uzyskując początkową wartość x

1

. Tak uzyskaną wartość podstawiamy do równania na x

2

,

uzyskując nowe przybliżenie tej niewiadomej. Iteracje kontynuujemy do osiągnięcia określonej dokładności
względnej. Dla x

2

= 0 i x

3

= 0 powyższa procedura daje następujące wyniki (dwie pełne iteracje):

Dokładne rozwiązanie:

,

.

4.

Wyjaśnij koncepcję rozkładów LU i ich związek z metodą eliminacji Gaussa.

Rozkład LU to przedstawienie macierzy A w postaci A=U*L gdzie L to dolna macierz trójkątna z jedynkami na
przekątnej, a U to górna macierz trójkątna. Układ równań A*x=b można zastąpić równoważnymi układami L*y=b i
U*x=y.

Algorytm eliminacji Gaussa z pamięcią kolejnych mnożników to rozkład LU Doolittle’a.

5. Wyjaśnij koncepcję rozkładu Choleskiego, dla jakich macierzy można wykonać taki rozkład.

Rozkład Choleskiego stosuje się w rozwiązywaniu równań liniowych. Jest to procedura rozkładu symetrycznej,
dodatnio określonej macierzy A na iloczyn postaci: A=L*L^T gdzie: L-dolna macierz trójkątna, L

T

- jej transpozycja.

Rozkład Choleskiego można wykonać gdy macierz A jest symetryczna i dodatnio określona.

6. Wyjaśnij pojęcie normy macierzy i związek normy macierzy z numerycznym uwarunkowaniem
rozwiązania układu równań liniowych.

Norma macierzowa to glob

alna miara wielkości macierzy A. Duża norma macierzowa pozwala przypuszczać, że

rozwiązanie układu nie będzie wiarygodne.

7.

Wyjaśnij pojęcie normy spektralnej macierzy, dlaczego ta norma jest powszechnie stosowana

jako miara uwarunkowania numerycznego rozwiązania układu równań liniowych.

Norma spektralna -

najlepiej dostosowana do szacowania błędów rozwiązań układów liniowych. Jest indukowana

przez normę euklidesową wektora, przy czym jest wartością własną macierzy A’A. Wartości własne macierzy
A’A są pierwiastkami równania charakterystycznego:

.

Wszystkie wartości własne A’A są

nieujemne.

8. Wyjaśnij zasadniczą różnicę pomiędzy normami macierzy: spektralną i Frobeniusa.

Norma Frobeniusa to norma która nie jest indukowana przez żadną normę wektorową, norma ta zwana jest
również normą euklidesową macierzy, jest to norma zgodna. Spektralna jw.

Analiza widmowa sygnałów okresowych

1.

Na przykładzie funkcji okresowej i jej szeregu Fouriera (należy obliczyć współczynniki tego szeregu)

wyjaśnij pojęcia: amplituda, wartość skuteczna, faza, pulsacja k-tej harmonicznej pulsacja podstawowa,
s

kładowa stała, wartość średnia, k-ta harmoniczna.

Amplituda -

nieujemna wartość określająca wzmocnienie przebiegu okresowego

Wartość skuteczna - statystyczna miara sygnału okresowego
Faza -

przesunięcie sygnału w czasie

Pulsacja podstawowa -

wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe

Składowa stała - amplituda harmonicznej o częstotliwości 0Hz
K-ta harmoniczna -

to składowa szeregu Fouriera analizowanego sygnału

Wartość średnia –

!!! Z

djęcie zadania dołączone osobno !!!

2. Na przykładzie funkcji okresowej i jej szeregu Fouriera (należy obliczyć współczynniki tego szeregu)
wyjaśnij pojęcia widma amplitudowego i widma fazowego.

Widmo amplitudowe mówi nam jakie składowe harmoniczne i o jakiej amplitudzie występują w sygnale. Widmo
fazowe mówi o jaki kąt są przesunięte zespolone składowe harmoniczne.

3. Wyjaśnij istotę efektu Gibbsa. W jakim przypadku ze zbieżności średniokwadratowej szeregu
Fouriera nie wynika zbieżność jednostajna tego szeregu.

Zjawisko to odzwierciedla trudność naśladowania nieciągłej funkcji przez skończone szeregi sinusów.
Zbieżność średniokwadratowa nie zapewnia zbieżności lokalnej w punktach nieciągłości.

4. Podaj metody wyznaczania transmitancji w

dziedzinie szeregów Fouriera, rozważ przypadek

układu BIBO stabilnego oraz przypadek układu nieprzyczynowego.

5.

Posługując się całkowym przekształceniem Fouriera wyjaśnij różnicę pomiędzy transmitancją

widmową, a zespoloną charakterystyką widmową.

6.

Sformułuj twierdzenie Shannona o próbkowaniu, czy założenia tego twierdzenia są spełnione

przez fizyczne

sygnały, odpowiedź uzasadnij.

Sygnał ciągły może być ponownie wiernie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany z
częstotliwością co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma. Widmo może być
jedynie w przybliżeniu odtworzone ponieważ w fizycznych sygnałach zawsze będzie występować zjawisko
aliasingu.

7.

Wyjaśnij pojęcie aliasingu, określ warunki w jakich aliasing nie występuje.

To nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania wynikające z niespełnienia warunku Nyquista.
Zniekształcenie to objawia się obecnością w sygnale składowych o błędnych częstotliwościach (aliasów). Widma
nakładają się na siebie. Nie występuje gdy spełniony jest warunek Nyquista.

8. Zdefiniuj transformatę Fouriera z czasem dyskretnym. Podaj związki pomiędzy modelami
sygnału spróbkowanego z czasem ciągłym i czasem dyskretnym. Na jakich krzywych
geometrycznych w powyższych opisach leżą punkty odpowiadające częstotliwości fizycznej tych
sygnałów.

Jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

9.

Podaj dwie z trzech równoważnych koncepcji dyskretnej transformaty Fouriera. Podaj wzór

definiujący dyskretną transformatę Fouriera za pomocą szeregu Fouriera.

Koncepcja nr1: Transformatę Fouriera DFT otrzymamy próbkując pulsację ωh, w N punktach rozmieszczonych
równomiernie na kole jednostkowym płaszczyzny „z”.
Koncepcja nr2: Polega na założenie okresowości sygnału f(t) i spróbkowaniu tego sygnału w N punktach na
odcinku czasowym wynoszącym [0,kT], gdzie kT=Nh, a T to okres podstawowy f(t).

10.

Wyjaśnij pojęcie FFT, podaj związek FFT z dyskretną transformatą Fouriera. Wymień zalety i

ograniczenia FFT.

FFT są grupą algorytmów efektywnego obliczania transformaty DFT. Redukuje ona liczbę mnożeń do NlogN co
powoduje skrócenie czasu obliczeń. Jedynym ograniczeniem jest to, że N musi być naturalną potęgą liczby 2.

11.

Wyjaśnij koncepcję dyskretnej transformaty Fouriera jako współczynników wielomianu

interpolacyjnego. Wyjaśnij w jakich warunkach dyskretna transformata Fouriera jest interpretowana
jako współczynniki wielomianu aproksymacyjnego optymalnego w sensie najmniejszych
kwadratów.

Transformata DFT może być traktowana jako zbiór współczynników wielomianu interpolacyjnego, interpolującego
funkcję okresową f(t) w punktach próbkowania. Jeżeli we wzorze interpolacyjnym uwzględni się tylko M<N-1
początkowych składników, wówczas wielomian p(t) staje się wielomianem aproksymacyjnym, optymalnym w
sensie najmniejszych kwadratów.

12.

Wyjaśnij zjawisko przecieku widma w dyskretnej transformacie Fouriera. Podaj odpowiedni

przykład.

Oznacza ono, że do obliczania DFT konieczna jest informacja o okresie sygnału f(t). Nieprawidłowe oszacowanie
okresu skutkuje obliczeniem widma innej funkcji.

Przykładu brak 

13.

Wyjaśnij zalety i ograniczenia metody okien czasowych w zastosowaniu do obliczania

dyskretnej transformaty Fouriera.

Ograniczają wyciek częstotliwości.

14.

Sformułuj warunek braku aliasingu w systemach opisanych za pomocą dyskretnej transformaty

Fouriera.



15.

Opisz metody odtwarzania sygnałów na podstawie widma dyskretnej transformaty Fouriera.

Porównaj zastosowanie szeregu Shannona, odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera oraz
interpolacji np. za pomocą wielomianu Lagrange’a.