PPI przewodnik do cwiczen id 381349

Tchórzewski Seweryn

Wodarski Krzysztof

Z A B R Z E 2 0 0 0

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Druk: Profil–Druk;

tel. 232-52-35

Ul. Dolnej Wsi 2, Gliwice

Skład: YETI Media

Przewodnik po ćwiczeniach

Spis

wicze

Lp.

Temat

Data

Podpis

Strona

Metody

heurystyczne

Burza mózgów

Superpozycja

Analiza połączeń

Morfologia

Algorytmizacja zadań

Optymalizacja w projektowaniu

Analiza matematyczna

Systematyczne przeszukiwanie

Programowanie dynamiczne

Programowanie sieciowe

Projektowanie a ekonomiczna efektywność inwestycji

10 Rachunek aktualizacji

11 Próg rentowności

100

12 Okres zwrotu nakładów, wartość

kapitałowa

109

Ocena końcowa:

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przewodnik po ćwiczeniach

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Wprowadzenie do

wicze

od 1 do 4

Celem ćwiczeń od 1 do 4 jest przedstawienie ogólnych heurystycznych metod wspomagających

proces poszukiwania możliwych rozwiązań danego zadania w projektowaniu technicznym. Należy

podkreślić, że przedstawione metody znajdują także zastosowanie w innych rodzajach

projektowania, np. dla rozwiązywania problemów organizacyjnych, reklamowych i innych. Przed

przystąpieniem do koncypowania, czyli do poszukiwania zbioru rozwiązań, należy sformułować

zadanie projektowe. Zadanie projektowe jest często dane w postaci problemu projektowego. Dla

porządku należy przybliżyć oba te pojęcia [5],[16],[17]:

problem – to początkowa postać sformułowania potrzeby, która ma zostać zaspokojona w procesie

projektowania, zaś zadanie, to konkretny opis tego, co ma zostać rozwiązane w danym procesie

projektowania. Można przyjąć, że zadanie jest sformułowane za pomocą:

opisu wejść i wyjść projektowanego obiektu,

systemu wartości potrzebnych do oceny jego jakości,

zbioru wymagań i ograniczeń.

Formułowanie zadania projektowego jest pierwszym i ogromnie ważnym działaniem w procesie

projektowania. Jest bowiem oczywiste, że taki problem będzie rozwiązany, jaki został postawiony.

A zatem jakość rozwiązania zależy od jakości sformułowanego zadania projektowego.

Formułowanie zadania projektowego koncentruje się na następujących celach:

określeniu istoty potrzeby, jaka ma zostać zaspokojona przez wytwór projektowania (funkcje

obiektu), czyli określenie celu projektowania,

uogólnieniu i konkretyzacji potrzeby, w porównaniu ze sformułowaniem danym na początku,

poszerzeniem obszaru poszukiwań,

eliminacją wymagań pozornych,

transformacją zadania do takiej postaci, w której łatwiej jest rozwiązywalne lub transformacja

do postaci bardziej adekwatnej do potrzeby.

Przewodnik po ćwiczeniach

Proces formułowania zadania projektowego jest heurystycznym działaniem, które dotychczas nie

znalazło metod wspomagających. Można podać jedynie kilka zasad ułatwiających ten proces:

zadanie powinno być sformułowane jak najogólniej,

sformułowanie powinno być sformułowanie możliwie konkretnie,

sformułowanie nie powinno implikować żadnego rozwiązania,

zadanie powinno być sformułowane przez podanie funkcji, jaką obiekt ma pełnić, a nie za

pomocą jego nazwy,

wygodne może okazać się określenie dwóch stanów, tzn. przed i po zaspokojeniu potrzeby.

Znajdowanie rozwiązań projektowych, dla postawionego problemu i zadania projektowego może

być wspomagane wieloma metodami heurystycznymi. Niniejszy skrypt przedstawia wybrane

metody heurystyczne, wspomagające proces poszukiwania możliwych rozwiązań danego zadania

w projektowaniu technicznym.

Ogólnym celem metod heurystycznych jest wspomaganie intelektualnego twórczego wysiłku

projektanta, a nie wyeliminowanie człowieka z procesu twórczego i automatyzacja tego procesu. To

wspomaganie osiąga się przez spowodowanie odpowiedniej postawy twórczej, w szczególności

przez:

pokonanie psychicznych i organizacyjnych barier w procesie twórczym,

stymulowanie i wykorzystanie podświadomej pracy mózgu,

umożliwienie wglądu w proces twórczy, jego rejestracja i kontrola,

oddzielenie procesu generowania pomysłów i ich oceny,

umożliwienie współpracy w grupie,

umożliwienie efektywnej pracy twórczej osobom o mniejszej wyobraźni, fantazji,

pomysłowości, zdolności kojarzenia i itp.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

wiczenie nr 1

Burza mózgów. Metoda 635

Cel laboratorium:

Zastosowanie metody burzy mózgów w procesie projektowym. Zastosowanie metody 635 (jako

odmiany metody burzy mózgów) w procesie projektowym. Rozwiązywania problemu w grupie.

Znajdowania dużej liczby rozwiązań projektowych.

Burza mózgów

Istota metody

Burza mózgów – sprowadza się do znalezienia w stosunkowo krótkim czasie, przez zespół kilku lub

kilkunasto osobowy, rozwiązań dla postawionego problemu. Uczestnicy sesji burzy mózgów

formułują możliwie długą listę wariantów (pomysłów) rozwiązania z wyłączeniem krytyki

hamującej twórczą inwencję.

Grupę organizuje się doraźnie. Oprócz specjalistów z danej dziedziny mogą być laicy – ludzie

z „otwartą głową”. Do 6 osób, 40-60 minut, mentor grupy.

Zasady sesji realizacji:

Pod żadnym pozorem nie jest dozwolona krytyka podawanych pomysłów.

Prowadzący sesję może i powinien sam zgłaszać pomysły oraz zachęcać uczestników do

wykorzystywania wcześniej zgłoszonych pomysłów, np. przez ich modyfikację albo łączenie

w nowe całości.

Efektem sesji powinna być duża liczba pomysłów, natomiast ich jakość nie jest w czasie sesji

w ogóle analizowana.

Jeśli prowadzący sesję zauważa, że strumień zgłaszanych pomysłów maleje, może zastosować

inne znane techniki stymulacji: np. analogi synektyczne, biosocjację, itp.

Przewodnik po ćwiczeniach

Przebieg

wiczenia

Sesja powinna mieć swobodną i nieoficjalną atmosferę. Wśród uczestników nie może osoby

o przytłaczającym autorytecie. Należy starać się o nastrój przyjemności i zabawy. Sekretarz (lub

magnetofon) rejestruje na bieżąco zgłaszane pomysły. Tym lepiej, im pomysłów jest więcej i im są

dziwniejsze i bardziej ekstrawagandzkie. Każda idea jest pożądana, ponieważ stymuluje innych

uczestników, a potem projektanta. Otrzymany zbiór pomysłów traktuje się jako „surowy” materiał

stymulujący projektanta do rozszerzania jego horyzontów i zbudowania pewnej przestrzeni

rozwiązań. Zbiór ten jest po sesji porządkowany i krytycznie analizowany (np. za pomocą metod

klasyfikacji, morfologii, drzewa rozwiązań).

Sesja może przebiegać w sposób spontaniczny, niekierowany, lub może być przeprowadzona przez

przewodniczącego, w pewnych kolejnych etapach, np.:

stawianie i określenie zadania,

generowanie pomysłów, ulepszanie pomysłów,

porządkowanie i wartościowanie (wstępne) rozwiązań.

Metoda „635”

Metoda 635 jest odmianą burzy mózgów. Każdy z uczestników ćwiczenia powinien wygenerować

trzy rozwiązania dla zadanego problemu. Rozwiązania te muszą być zapisane na kartkach.

Następnie rozwiązania te są przekazywane kolejno innym uczestnikom sesji dla ich uzupełnienia,

wzbogacenia lub modyfikacji. Nazwa metody pochodzi stąd, że przy 6 uczestnikach, każda kartka

z 3 pomysłami jest uzupełniana przez 5 pozostałych uczestników.

wiczenie

Każdy uczestnik musi wygenerować trzy rozwiązania zadanego problemu. Pomysły

uczestników muszą zostać zapisane w formularzu (5-10 minut).

Po tym czasie uczestnicy zespołu wymieniają się formularzami,

Uczestnicy sesji starają się rozwinąć i zmodyfikować otrzymane pomysły,

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Wymiana formularzy trwa tak długo, aż kartki przejdą przez ręce wszystkich członków

zespołu (około 20 minut).

Propozycje problemów do rozwi

zania:

urządzenie do odśnieżania ulic,

zabezpieczenie garażu przed włamywaczami,

urządzenie (lub sposób) do kontroli uiszczenia opłaty za przejazd w autobusach,

zabezpieczenia samochodu przed złodziejami,

ograniczenie ilości śmieci,

transport osobowy w mieście,

przechowywanie informacji,

opakowania na żywność,

sposób kontroli wykonywania czynności zawodowych przez pracowników,

10.

sposób zagospodarowania odpadów, np. starych opon itp.

Przewodnik po ćwiczeniach

Zadanie do wykonania

Znajdowanie rozwi

metod

635

Problem:.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Propozycje rozwi

problemu

Rozwiązanie 1 :......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Uwagi :...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie 2 :......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

Uwagi :...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie 3 :......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Uwagi :...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

wiczenie nr 2

Superpozycja

Cel laboratorium:

Zastosowanie metody superpozycji w procesie projektowym. Rozwiązywania problemu w grupie.

Wykorzystanie metody analogii dla znajdowania rozwiązań projektowych.

Istota metody.

Metoda superpozycji jest metodą stymulacji myślenia twórczego, wymuszającą kojarzenie idei,

pomysłów, metod itp. po to, aby w ten sposób zwiększyć prawdopodobieństwo znalezienia nowej

idei pomysłu, rozwiązania, metody itp. Punktem startowym tej metody jest problem do rozwiązania

lub konkretna konstrukcja (czy metoda) do ulepszenia. Pierwszym krokiem jest wybranie na chybił

trafił kilku obiektów, można do tego użyć np. encyklopedii lub słownika, dowolnie wybierając

hasła, albo zaproponować dowolne elementy spośród widzianych w najbliższym otoczeniu.

Następnie należy wymienić kolejno różne cechy tych obiektów, (dotyczące budowy, właściwości

użytkowych, wyglądu, skojarzeń nimi wywołanych) zestawiając je z badanym problemem, próbując

znaleźć nowe skojarzenia, ukazujące badany problem w nowym świetle.

Przykład

Przedmiotem projektu jest lekka przenośna ścianka działowa używana do doraźnego dzielenia

pomieszczeń na mniejsze wnętrza. Celem jest określenie materiału, konstrukcji i sposobu montażu

cianki.

Obiekty pomocnicze to: notes, żaluzja, papierosy, szklanka, wiatr, lampa kreślarska.

Opis obiektów:

Notes: papierowy, prostopadłościan, czarny w plastikowej folii, kieszonkowy, wiele warstw

papieru.

Przewodnik po ćwiczeniach

Rozwiązania: ścianka z papieru w ramkach (jak w Japonii), ścianka typu „plaster miodu”, rozwijana

z folii plastikowej.

śaluzja: podnoszona na sznurkach, z listewek, zawieszona na prętach, składana.

Rozwiązania: można w całości przejąć ideę konstrukcyjną żaluzji.

Papierosy: okrągłe, niebezpieczne dla zdrowia, tytoń w rurce.

Rozwiązania: drewniane lub papierowe (plastikowe) elementy wypełniane materiałem izolacyjnym.

Szklanka: szklana, okrągła, przeźroczysta.

Rozwiązania; brak

Wiatr: ruch powietrza, zimno.

Rozwiązania: ścianka z elementów pneumatycznych lub mocowana na przyssawki.

Lampa kreślarska: światło, ciepło, mocowana imadełkiem do deski, na przegubach.

Rozwiązania: mocowana przez rozpór do podłogi i sufitu, składana przegubowo.

Zadanie do wykonania

Przykładowe problemy do rozwiązania:

Zabezpieczenie garażu przed złodziejami.

Zabezpieczenie roślin przed szkodnikami.

Zabezpieczenie wejścia do domu.

Zabezpieczenie samochodu przed kradzieżą.

Dystrybucja towarów.

Komunikacja między ludźmi – przepływ informacji.

Oświetlenie pomieszczenia.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadanie:

należy znaleźć nowe rozwiązanie (materiał, konstrukcja, sposób montażu itp.) dla:

.................................................................................................................................................................

Obiekty pomocnicze:

....................................................................................

ad 1. .......................................................................................................................................................

Cechy obiektu: .......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie: ..........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

ad 2. .......................................................................................................................................................

Cechy obiektu: .......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie: ..........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

.................................................................................................................................................................

ad 3. .......................................................................................................................................................

Cechy obiektu: .......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie:...........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

ad 4. .......................................................................................................................................................

Cechy obiektu: .......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie: ..........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

ad 5. .......................................................................................................................................................

Cechy obiektu: .......................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Rozwiązanie: ..........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

wiczenie nr 3

Poszukiwanie nowych poł

cze

i nowych zale

Istota tej metody to strukturalizacja zadania, tzn. podział zadania na elementy i określenie relacji

między tymi elementami.

W zależności od rodzaju zadania (czy to problem, czy zadanie projektowe, czy zadanie typu

ulepszania istniejącego obiektu) strukturę taką tworzy się „od nowa” lub stara się wykryć

obiektywnie istniejącą strukturę i ją zmienić. Należy podkreślić, że podział zadania jest czynnością

bardzo heurystyczną, tzn. w tym samym obiekcie można określić kilka różnych struktur, zależnie od

przyjętego kryterium podziału.

W metodzie tej uzyskuje się wynik wstępny, „surowy”, który podlega dalszej ocenie. Zależnie od

merytorycznej treści problemu projektant ocenia ten wynik, wprowadzając ewentualne dalsze

wymagania (lub ograniczenia) i sprawdza otrzymany wynik ze względu na inne wymagania,

których nie dało się sformalizować (np. wymagania estetyczne).

Jeśli otrzymane rozwiązanie nie może być z pewnych przyczyn zaakceptowane i nie możemy go

poprawić, odpowiednio korygujemy założenia początkowe.

Inną klasą zadań w których metoda może zostać zastosowana jest układanie planów lub

harmonogramów złożonych procesów, np. proces technologiczny montażu przyrządu

produkowanego w wielkich seriach (np. zegarek, aparat fotograficzny), sterowanie ruchem

wagonów, organizacja stanowisk w rozdzielni przesyłek na poczcie lub w banku.

Czynno

ci realizowane w metodzie:

Dany problem (albo obiekt) dzieli się na części: definiuje się elementy i definiuje się

relacje pomiędzy nimi.

Zestawia się kolejno elementy każdy z każdym i badamy jakie relacje zachodzą między

nimi (lub jakie powinny zachodzić) , używając katalogu relacji (np. relacje funkcjonalne,

typologiczne, relacje kolejności itp.)

Jeśli relacji nie ma – wprowadza się je i analizuje, co to może dać?

Przewodnik po ćwiczeniach

Jeśli relacje są – usuwa się i analizuje skutek, ewentualnie zmienia się rodzaj relacji.

Zadania do wykonania

wiczenie pokazuje iteracyjny charakter procesu projektowego, tzn. wielokrotne analizowanie

i doskonalenie zadania projektowego. Co istotne, powyższa metoda umożliwia rozwiązanie zadań

przez ich strukturalizację, tzn. podział zadania na elementy i określenie relacji między tymi

elementami.

Przebieg

wiczenia:

Wyróżnienie poszczególnych elementów w obiekcie (minimum 6-7).

Tworzenie macierzy relacji pomiędzy elementami.

Przedstawienie macierzy relacji w postaci grafu połączeń.

Przekształcenie grafu połączeń w szkic rozwiązania lub obiektu.

Wybór obiektu do analizy spo

ród nast

puj

cych propozycji:

Hurtownia

Firma transportowa

Firma komputerowa

Firma projektowa

Hurtownia materiałów budowlanych

Ośrodek szkoleniowy dla menedżerów

Ośrodek odnowy biologicznej

Salon kosmetyczny

Restauracja szybkiej obsługi

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadanie:

należy znaleźć rozmieszczenie pomieszczeń dla wybranego przykładu - .............................................

Wyró

nienie elementów (pomieszcze

)

Lp.

Nazwa pomieszczenia

Oznaczenie

Macierz relacji pomi

dzy elementami (pomieszczeniami)

Oznacze.

Liczba

punktów

Przewodnik po ćwiczeniach

Graf poł

cze

pomi

dzy elementami

Przekształcenie grafu poł

cze

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przekształcenie grafu poł

cze

Projekt obiektu (rozmieszczenia elementów - pomieszcze

)

Przewodnik po ćwiczeniach

wiczenie nr 4

Morfologia

Cel laboratorium:

Zastosowanie metody morfologicznej w procesie projektowym. Znalezienie nowych rozwiązań dla

problemu, który już miał wcześniej rozwiązanie, ale uznaje się je za niezadowalające. Poszerzenie

obszaru poszukiwań i wzbogacenie rozwiązań dopuszczalnych. Znalezienie pewnej systematyki

zbioru rozwiązań dopuszczalnych, tzw. morfologii.

Szczegółowe cele metody:

stworzenie warunków obligujących twórcę do pełnego rozpoznania wymagań i ograniczeń

i możliwie kompletnego sformułowania zadania,

zapobieżenie jednostronności i tendencyjności prowadzenia poszukiwań,

stworzenie warunków umożliwiających znalezienie nowych rozwiązań.

Istot

metody jest:

podział zadania (problemu) na podzadania (podproblemy), o mniejszym stopniu złożoności

(wielowymiarowości), na niższym poziomie w hierarchii ogólności,

znajdowanie zbioru rozwiązań dla każdego z podzadań,

myślowe kombinatoryczne składanie (agregacja) tych podrozwiązań i w ten sposób

uzyskiwanie zbioru rozwiązań całego problemu.

Procedura metody morfologicznej składa si

z trzech etapów:

Po pierwsze - sformułowanie zadania – chodzi tu o zdefiniowanie zadania na podstawie danego

problemu. Ten etap występuje w każdej metodzie. Służy do rewizji poprawności sformułowania

problemu i przetransformowania go do nowej postaci tak, jak go rozumiemy i jak uważamy za

słuszne ze względu na zaistniałą potrzebę. Nowe sformułowanie powinno być ogólne (lecz nie

ogólnikowe), konkretne i pełne oraz adekwatne do rzeczywistej potrzeby.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Po drugie - wybór dziedziny rozwiązania i zakreślenie granic poszukiwanych rozwiązań –

istniejące w każdym indywidualnym przypadku ograniczenia powodują, że arbitralnie określa się

dziedzinę poszukiwań, a także wyznacza (choćby w sposób rozmyty) zakresy wartości

poszczególnych zbiorów.

Po trzecie - strukturalizacja zadania - określenie jego morfologii jest działaniem heurystycznym

i nie może być sformalizowane. Należy tu podzielić całe zadanie na istotne i niezależne podzadania.

Przykład

Aby metoda okazała się skuteczna, podział zadania musi być taki, aby poszczególne podproblemy

były jednocześnie niezależne ale związane. O niezależności podproblemów mówi się wtedy, kiedy

adne z podrozwiązań dla jednego z podproblemu nie implikuje żadnego z podrozwiązań drugiego

podproblemu.

Jeżeli zadaniem jest znalezienie możliwych konstrukcji pojazdu drogowego, mając w pamięci

istniejące konstrukcje, np. samochodu, możemy zaproponować następujące morfologie:

– rozwiązanie podwozia,

- rozwiązanie nadwozia,

- rozwiązanie silnika,

- rozwiązanie układu kierowniczego, itd.

Możemy również zaproponować inną morfologię dla pojazdu:

– wnętrze pojazdu (różne warianty rozwiązania wnętrza,

– kształt i wygląd zewnętrzny,

– umiejscowienie silnika oraz pozostałych mechanizmów.

Pierwsza z morfologii przydatna byłaby dla konstruktora, druga zaś dla projektanta form oraz

stylisty.

Przewodnik po ćwiczeniach

Przykład – dla dobrego podziału

Zadaniem jest dobór materiału do wykonania stołu. Podzieliliśmy go na dwa podzadania: P

– dobór

materiału blatu, P

– dobór materiału nóg. Określamy następujące zbiory rozwiązań:

= {drewno, szkło, sklejka, marmur, tworzywo sztuczne, itd.},

= {drewno, metalowe pręty lub rurki, tworzywo sztuczne itd.}.

Przyjęty podział P = {P

} jest niezależny (dobry), ponieważ każda kombinacja podrozwiązań jest

fizycznie możliwa.

Przykład – dla złego podziału

Należy znaleźć koncepcję masowego transporty węgla z Górnego Śląska do Świnoujścia. Zadanie

można podzielić na dwa podzadania:

– sposób transportu (droga), P

– środek transportu. Zaproponowano następujące rozwiązania

częściowe:

= {szosa, kolej, transport wodny},

= {ciężarówki, wagony, barki}.

W tym przypadku przyjęcie a

implikuje a

a przyjęcie

implikuje a

itd., zatem

zaproponowany podział <P

> (czyli morfologia) jest nieodpowiedni, bo podrozwiązania są od

siebie zależne.

Sposoby znajdowania morfologii.

Metoda pyta

heurystycznych.

W zależności od tego, jakie aspekty problemy przyjmiemy za kryterium jego podziału powstają

różne morfologie. Pomocne w zaproponowaniu morfologii może być jedno z następujących pytań:

czym obiekt (czy rozwiązanie) ma być ?

jakie części ma mieć ?

jakie mam mieć właściwości ?

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

jakie ma wykonywać funkcje ?

w jaki sposób ma realizować swoje przeznaczenia ?

Przykład

Dla samochodu osobowego można zaproponować następujące morfologie:

P = {P

, P

, ...., P

}

Wynikające z postawienia pytań:

czym obiekt (czy rozwiązanie) ma być ?

= {środek transportowy, magazyn, mieszkanie campingowe, duma rodziny, itd.},

jakie części ma mieć ?

={dach, drzwi, silnik, oświetlenie, zawieszenie, itd.},

jakie ma wykonywać funkcje ?, w jaki sposób ma realizować swoje przeznaczenia?

III

= {szybkość, zwrotność, estetyka, komfort, osłona przed warunkami zewnętrznymi, itd.}.

W celu lepszego zrozumienia można jeszcze zaproponować przykłady różnych morfologii dla

mieszkania:

czym obiekt (czy rozwiązanie) ma być ?

= {schronienie przed warunkami zewnętrznymi (klimatycznymi), schronienie przed

innymi ludźmi (mój dom moim zamkiem [My Home Is My Castle]), magazyn rzeczy,

miejsce wypoczynku, sny, rozrywki, itd.},

jakie części ma mieć ?

={kuchnia, łazienka, spiżarka, pokój I, pokój II, itd.},

jakie mam mieć właściwości ?

III

= {zapewniać bezpieczeństwo, zabezpieczać odpowiedni standard – komfort (woda,

ogrzewanie, prąd, ...), itd.}.

Przewodnik po ćwiczeniach

Metoda klasyfikacji.

Innym sposobem zbudowania pełnej morfologii może być metoda klasyfikacji, której celem jest

stworzenie systematyki (uporządkowania według pewnej klasyfikacji) danego zbioru elementów.

Ten zbiór może być rezultatem np. sesji burzy mózgów. Metoda jest realizowana w następujących

krokach:

Generujemy zbiór „p” elementów (do dwudziestu) wchodzących w skład rozwiązania

problemu P.

Zapoznajemy się ze zbiorem elementów.

Sortujemy elementy w różny sposób (zwykle na 3 do 6 grup), aż dojdziemy do

zadowalającego nas układu. Taka klasyfikacja powinna zapewniać spełnienie

następujących wymagań:

idea klasyfikacji (kryterium podziałów) odpowiada naszej potrzebie,

wszystkie elementy zostały sklasyfikowane,

istnieje co najwyżej kilka elementów, które równie dobrze mogą być przydzielone do

różnych grup,

liczba grup jest pod naszą kontrolą,

klasyfikacja zapewnia dobry punkt wyjścia do dalszych działań.

Określamy wyraźnie, jakie jest kryterium podziału.

Tworzymy brakujące grup tak, aby zbiór nazw grup był naszym zdaniem zbiorem

zupełnym.

Przykład

Jak ochronić warsztat samochodowy przed pożarem ?

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

W wyniku burzy mózgów uzyskano następujące pomysły:

piorunochron,

beczka z wodą i skrzynia z piaskiem,

niepalne materiały budowlane,

„Precz z zapałkami”,

załoga warsztatu jest jednocześnie strażą pożarną,

automatyczne gaśnice,

cały budynek nakryć kocem gaśniczym.

Wstępnie klasyfikujemy według następujących grup:

Grupa I - 1, 4;

Grupa II - 3;

Grupa III - 2,5,6,7.

Ujawniamy podział:

Grupa I i II – niedopuszczenie do powstania pożaru,

Grupa III – zmniejszenie skutków pożaru.

Możemy więc wykryć oraz uzupełnić brakujące grupy i zaproponować następujący

podział:

Grupa I - likwidacja źródeł ognia: iskier, płomienia, itd.,

Grupa II - likwidacja materiałów palnych,

Grupa III - obniżenie temperatury otoczenia,

Grupa IV - szybkie gaszenie,

Grupa V - zmniejszenie skutków pożaru: fizycznych (lokalizacja maszyn i urządzeń)

oraz ekonomicznych (ubezpieczenie).

Przewodnik po ćwiczeniach

Podsumowanie:

Należy podkreślić, że metoda morfologiczna stanowi podstawową metodę poszukiwania rozwiązań

zadań inżynierskich (choć często inżynier nie wie o metodzie, postępując zupełnie intuicyjnie)

i dlatego warto poznać jej zasadę i właściwości.

Zaletą metody jest, że złożony wielowymiarowy problem zamieniony zostaje na szereg prostszych

problemów, przy czym podział ten może być hierarchicznie kontynuowany, aż dojdzie się do tak

niskiego poziomu ogólności pod-pod-zadań , że znalezienie dla nich rozwiązań nie jest trudne,

a umożliwia to:

podział zadania (problemu) na podzadania (podproblemy), o mniejszym stopniu złożoności

(wielowymiarowości), na niższym poziomie w hierarchii ogólności,

znajdowanie zbioru rozwiązań całego problemu,

myślowe kombinatoryczne składanie (agregacja) tych podrozwiązań i w ten sposób

uzyskiwanie zbioru rozwiązań całego problemu.

Wadą metody jest, że dane jedno zadanie można dzielić różnie, zależnie od kryterium – a nie każdy

podział jest przydatny, przy czym brak jest reguł podziału. Niedogodnością metody jest również to,

e twórca musi wyobrazić sobie a priori rozwiązanie już w momencie startu po to, aby mógł je

podzielić, albo przynajmniej wyrobić sobie jakiś pogląd choćby na strukturę zadania i strukturę

rozwiązania.

Dodatkowo, pełne rozpoznanie morfologii problemu umożliwia przejście od projektowania

koncepcyjnego do fazy projektowania technicznego (właściwego).

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadania do wykonania

należy znaleźć nowe rozwiązanie dla:

.................................................................................................................................................................

Pytania heurystyczne:

a) Czym obiekt (rozwi

zanie) ma by

b) Jakie ma mie

ęś

ci ?

c) Jakie ma mie

własno

ci i wła

ciwo

ci ?

d) Jakie ma wykonywa

funkcje ?

e) W jaki sposób mo

e realizowa

swoje przeznaczenie ?

Ad 1. ......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Ad 2. ......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

.................................................................................................................................................................

Ad 3. ......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Ad 4. ......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Ad 5. ......................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Metoda klasyfikacji

Elementy morfologiczne:

1. ..................................................................... 2. .....................................................................

3. ..................................................................... 4. .....................................................................

5. ..................................................................... 6. .....................................................................

7. ..................................................................... 8. .....................................................................

9. ..................................................................... 10. ...................................................................

Sortujemy elementy w odpowiednie grupy.

a) ............................................................................................................................................................

b) ............................................................................................................................................................

c) ............................................................................................................................................................

d) ............................................................................................................................................................

e) ............................................................................................................................................................

Uwagi:

Kryterium podziału (sposób sortowania) powinno odpowiadać określonej potrzebie.
Wszystkie elementy powinny być sklasyfikowane (przyporządkowane).
Może istnieć kilka elementów, które równie dobrze mogą być przydzielone do różnych grup

Okre

lamy przyj

ty podział grup oraz proponujemy brakuj

ce grupy.

a) ............................................................................................................................................................

b) ............................................................................................................................................................

c) ............................................................................................................................................................

d) ............................................................................................................................................................

e) ............................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

wiczenie nr 5

Algorytmizacja zada

Cel laboratorium:

Zapoznanie z zasadami algorytmizacji zadań. Zastosowanie algorytmizacji w procesie

projektowym.

Definicja algorytmu

Najczęściej stosowanych definicje pojęcia algorytm są następujące:

•

(matem.) – dokładna recepta określająca proces obliczeniowy, który prowadzi od pewnych

danych początkowych do żądanego rezultatu,

•

zamknięty układ zależności logicznych, matematycznych lub obydwu razem, ustalający

dokładny przepis jakiegoś działania, mówiąc inaczej uporządkowany zbiór operacji, taki, że po

ich wykonaniu otrzymuje się rozwiązanie dowolnego zadania z określonej klasy zadań,

•

przepis umożliwiający osiągnięcie danego celu (np. przepis kucharski podający opis czynności

oraz składniki potrzebne do otrzymania żądanej potrawy, instrukcja obsługi jakiegoś

urządzenia technicznego, wyznaczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego - opisane

językiem naturalnym: lista czynności przeznaczonych do wykonania na określonych obiektach,

której wykonanie jest uwieńczone wynikiem.

Nieco inaczej brzmi definicja algorytmu podana przez Roberta Kowalskiego, jednego

z współtwórców teorii programowania w logice [14]:

algorytm = logika + sterowanie

Przy czym przez logikę rozumie się tu związki logiczne zachodzące pomiędzy poszczególnymi

obiektami występującymi w programie, przez sterowanie natomiast — proces wnioskowania na

podstawie tych związków. Należy w tym miejscu dodać, że przyjmuje się, iż na program składają

się dwa elementy: algorytmy i struktury danych.

Przewodnik po ćwiczeniach

Opisując algorytm należy wziąć pod uwagę, iż charakteryzuje się następującymi właściwościami:

ogólność - pozwala na rozwiązywanie określonej klasy zadań, a nie pojedynczego

przypadku (rozwiązywanie równań różniczkowych 2 rzędu, a nie konkretnego równania),

skończoność - otrzymujemy rozwiązania po wykonaniu skończonej liczbie kroków

(operacji),

określoność - wszystkie wykonywane operacje są jednoznaczne,

efektywność - czas potrzebny na wykonanie algorytmu ulega skróceniu w przypadku dużej

powtarzalności procesu,

W przypadku gdy:

•

dane trzeba przetwarzać masowo,

•

przetwarzanie bez komputera trwałoby bardzo długo,

•

wykonywanie zadań powtarza się.

wskazane jest skorzystanie z komputera. Algorytm umożliwia wówczas sprawne opracowanie

programu realizującego opisane nim zadanie, a co za tym idzie skrócenie czasu realizacji całego

procesu.

Algorytm może być opracowany w różnej formie:

Algorytm ogólny, który podaje kolejne etapy działania w ogólnym ujęciu - język formalny

(język naturalny lub notacja).

Algorytm logiczny, który powstaje przez uzupełnienie algorytmu ogólnego zdarzeniami

logicznymi.

Algorytm logiczno – matematyczny, który jest rozwinięciem algorytmu ogólnego lub

algorytmu logicznego o model matematyczny rozwiązywanego problemu (zazwyczaj jest

on podstawą do opracowania programu obliczeniowego).

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Schemat blokowy będący graficzną prezentacją algorytmu, w postaci bloków operacyjnych

lub linii ilustrujących przepływ sterowania

Najczęstszym zastosowaniem algorytmu jest tworzenie wszelkiego rodzaju instrukcji użytkowania

lub obsługi urządzeń. Równie istotnym zastosowaniem algorytmu jest przygotowanie, jako

schematy blokowe, do tworzenia oprogramowania komputerowego. Poza tym algorytmy mogą być

używane do rozwiązywania – przez uporządkowany, logiczny zapis etapów i warunków – różnych

problemów decyzyjnych.

Układanie algorytmu następuje zazwyczaj na drodze od ogółu do szczegółu i przechodzi trzy etapy:

Powstaje ogólny algorytm lub schemat ideowy – słowny zapis procesu.

Powstaje algorytm logiczny – jako rozwinięcie algorytmu ogólnego poprzez

oprzyrządowanie funkcjami decyzyjnymi.

Powstaje algorytm logiczno – matematyczny, który umożliwia już wykonywanie obliczeń,

a tym samym programowanie.

Zasady stosowane przy tworzeniu algorytmów, w szczególności schematu blokowego procesu:

Tworzenie algorytmu polega na takim rozłożeniu zadanego problemu na elementy, że

każdy czynnik mający wpływ na rozwiązanie zostanie wyodrębniony jako osobne pytanie,

na które można odpowiedzieć TAK lub NIE.

Logiczną współzależność układa się w ciąg stanowiący zamkniętą całość. Nazywa się go

właśnie algorytmem, przy czym strzałki na jego schemacie wskazują drogę działania.

Algorytm można ułożyć wyłącznie wtedy, gdy w wyniku analizy procesu decyzyjnego

wyodrębni się kompletny łańcuch pytań prowadzących do precyzyjnie określonych

wyników.

Wskazówki techniczne przydatne przy tworzeniu algorytmu:

Unikać zbędnego przecinania się linii.

Przewodnik po ćwiczeniach

Ogólny kierunek śledzenia algorytmu powinien być z góry w dół.

Rozbudowa algorytmu w poziomie powinna odbywać się od strony lewej do prawej.

Pytania i instrukcje powinny być w osobnych kratkach.

Linie łączące kratki kończyć strzałkami. Stanowią one znaki potwierdzające kierunek

ledzenia kroków w algorytmie.

Ustalić kratki jednolite dla całego algorytmu (oznaczenia stosowane w algorytmach –

rys. 1)

Rys. 1. Oznaczenia stosowane w algorytmach wg PN-72/E-01226 „Przetwarzanie

danych. Symbole graficzne”.

Instrukcja

Dane, wyniki

Decyzja

Początek, koniec

Wyjście lub wejście z wyodrębnionych
fragmentów na tej samej stronie

Wyjście lub wejście z wyodrębnionych
fragmentów na różnych stronach

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przykłady podstawowych operacji w algorytmach przedstawiono na rysunku 2 (decyzja) oraz

rysunku 3 (pętla). Z kolei przykład algorytmu dla zadania matematycznego – obliczenie

pierwiastków równania kwadratowego przedstawiono na rysunku 4.

Przykład

Podajmy jeszcze jako prosty przykład algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe ax

+ bx + c = 0 jest określone, jeśli dane są wartości współczynników a, b,

oraz c (w szczególności jeżeli a

≠

0). Rozwiązanie zadania sprowadza się wówczas do wyznaczenia

pierwiastków powyższego równania (algorytm ogólny), które w zależności od (elementy logiczne)

dają dwa, jedno lub brak rozwiązań w zakresie rzeczywistym (elementy matematyczne).

X max < X

TAK

NIE

X max = X

Rys. 2. Przykład operacji
logicznej w algorytmie

Wartość licznika

= 0

Koniec

pętli

Instrukcje

TAK

NIE

Zwiększyć wartość

licznika o 1

Rys. 3. Przykład p

tli

w algorytmie

Przewodnik po ćwiczeniach

Na rysunku rys. 4 przedstawiono schemat blokowy ilustrujący algorytm rozwiązywania równania

kwadratowego.

Rys. 4. Algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego

START

Dane: a, b, c

∆

= b

-4ac

Brak

rozwiązania

STOP

∆∆∆∆

> 0

∆∆∆∆

= 0

∆

−

∆

−

TAK

NIE

TAK

NIE

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadania do wykonania

należy znaleźć algorytm dla następującego problemu:

.................................................................................................................................................................

Algorytm ogólny:

.................................................................................................................................................................

Algorytm Logiczny:

.................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

.................................................................................................................................................................

Schemat blokowy:

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przewodnik po ćwiczeniach

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Wprowadzenie do

wicze

od 6 do 9

Z zagadnieniem optymalizacji mamy do czynienia, gdy stajemy wobec problemu, który może dać

wiele rozwiązań (minimum dwa). Poszukujemy wówczas, takich wartości parametrów bądź

czynników projektowych, które zapewniają uzyskanie minimalnej lub maksymalnej wartości

wybranej cechy rozwiązania projektowego, przy równoczesnym spełnieniu wszystkich warunków

ograniczających nałożonych na rozwiązanie projektowe.

Celem ćwiczenia jest przypomnienie podstawowych wiadomości z zakresu rozwiązywania

problemów optymalizacyjnych. W szczególności omówione zostaną następujące zagadnienia:

wskazanie funkcji celu dla analizowanego zadania, budowa modelu optymalizacyjnego,

zdefiniowanie ograniczeń wpływających na uzyskanie rozwiązania oraz weryfikacja otrzymanego

wyniku.

Podstawowe poj

cia i definicje

optymalizacja - działalność której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu w danych

warunkach i przy określonych kryteriach oceny; najlepszy rezultat będziemy nazywali

optymalnym,

funkcja celu - ściśle określony punkt widzenia problemu, inaczej mówiąc jest to kryterium

w oparciu o które dokonujemy optymalizacji,

zmienne decyzyjne - wielkości, o których możemy decydować,

ograniczenia - ustalenie zakresu zmienności optymalizowanych parametrów,

model optymalizacyjny - reprezentacja badanego procesu w postaci sformalizowanej -

matematycznej, graficznej.

Przykłady

Projektujemy stację pompowania wody. Do dyspozycji mamy oferty kilku różnych producentów.

Naszym zadaniem jest przeanalizowanie parametrów technicznych oraz ekonomicznych które

umożliwiły by najlepszą pracę układu pod względem wydajności, kosztu pracy, itd.

Przewodnik po ćwiczeniach

Innym przykładem może tutaj być problem doboru silnika do projektowanego samochodu. Do

dyspozycji mamy dwie alternatywy: pierwszą jest skonstruowanie silnika dokładnie pod nasze

wymagania, w drugiej zaś zakładamy, iż nie będziemy konstruować nowego napędu, a jedynie

skorzystamy z istniejących rozwiązań własnych lub też oferty różnych producentów. W obu

przypadkach musimy jednak wziąć pod uwagę czynniki takie jak: gabaryty silnika, potrzebną moc,

możliwość współpracy z projektowanymi elementami wyposażenia pojazdu, koszt zakupu

(produkcji) i instalacji, itd. Przeanalizowanie tych czynników może w efekcie końcowym dać nam

zbiór rozwiązań, bądź też jedno końcowe rozwiązanie zaspokajające naszą potrzebę.

Przebieg analizy optymalizacyjnej:

Należy zauważyć, iż proces optymalizacji jest silnie sformalizowany oraz powtarzalny. Umożliwia

to, dla konkretnych problemów, budowanie modeli optymalizacyjnych na komputerach, a co za tym

idzie obniża koszty całego przedsięwzięcia oraz ułatwia przeanalizowanie wielu wariantów w

krótkim okresie czasu. Sam proces optymalizacji przebiega zwykle według następującego

schematu:

Sformułowanie zadania optymalizacyjnego. To pierwszy etap procesu. Jest jego

najważniejszą częścią, gdyż od przyjętych na tym etapie założeń dotyczących opisu problemu,

zależy realizacja całego procesu. Określamy tutaj jaki parametr jest w naszym przypadku

funkcją celu, to jest tą wielkością względem której dokonujemy analizy.

Budowa modelu matematycznego. Od poprawności zbudowanego na tym etapie modelu

zależy, czy uzyskane wyniki będą poprawne. Istotne jest tutaj zachowanie proporcji pomiędzy

dokładnością odwzorowania zjawiska, a szeroko rozumianymi kosztami jego budowy.

Dokonujemy tutaj również określenia jakie czynniki w jaki sposób ograniczają model,

powodując zawężenie obszaru poszukiwania rozwiązania optymalnego.

Wybór metody matematycznej rozwiązania modelu. Kolejna część procesu, polegająca na

wskazaniu metody, która pozwoli na rozwiązanie problemu. Należy podjąć decyzję, czy

skorzystamy z istniejących już rozwiązań, czy też należy opracować zupełnie nową metodę

(metodami rozwiązywania problemów optymalizacyjnych zajmują się badania operacyjne).

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Rozwiązanie modelu. Najbardziej oczywista część procesu optymalizacji. Polega na

tradycyjnym (papier i długopis) lub też wspomaganym komputerowo (obecnie coraz

powszechniejszym) rozwiązaniu zadania.

Weryfikacja uzyskanego rozwiązania. Badamy, czy wskazane w trakcie analizy operacyjnej

rozwiązanie jest poprawne z formalnego punktu widzenia. Ponadto należy rozważyć, czy nie

jest niezbędne poszerzenie zbioru dopuszczalnych rozwiązań o wartości w zakresie <+

> lub

<+x %, -x %>.

Przewodnik po ćwiczeniach

wiczenie nr 6

Analiza matematyczna

Cel

wiczenia

Przedstawienie związku pomiędzy optymalizacją a projektowaniem, a także przypomnienie

podstawowych wiadomości z zakresu badań operacyjnych, to jest: poszukiwania funkcji celu dla

analizowanego zadania, rozwiązania w oparciu o przyjęte ograniczenia, konstruowania modelu

optymalizacyjnego.

Przykład

Określić wymiary puszki na olej o pojemności 1 litra, tak by ilość zużytego materiału była

najmniejsza. Możemy wykonać puszkę w formie walca.

Sformułowanie zadania optymalizacyjnego.

Funkcją celu dla naszego zadania jest powierzchnia puszki na olej, przy czym będziemy dążyć do

uzyskania odpowiedzi na pytanie: przy jakich parametrach możemy uzyskać minimalną

powierzchnię tej puszki ?

Zmienne decyzyjne naszego zadania to: wymiary puszki r - promień podstawy i h - wysokość

walca.

Budowa modelu matematycznego.

Modelem optymalizacyjnym naszego zadania jest równanie opisujące powierzchnię walca:

F=2

r(r+h) (6.1).

Znając objętość walca

V =

oraz podstawiając za V objętość zbiornika wynoszącą 1 litr

mamy:

h (6.2),

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

oraz:

(6.3).

Podstawiając z kolei (6.3) do wzoru na powierzchnię walca (6.1) otrzymujemy ten wzór w postaci:

F=2

)

(6.4),

co daje następnie:

F=2

(6.5).

Ostatecznie formuła określająca wielkość powierzchni puszki w zależności od promienia podstawy

przyjmuje postać:

F = 2

(6.6).

Wybór metody rozwi

zania modelu.

Najprostszym sposobem znalezienia optymalnej wielkości puszki, w naszym przypadku, jest

wskazanie w oparciu o analizę matematyczną – analizę pochodnej funkcji - ekstremum funkcji

(6.6). Mamy więc:

F’ = 4

r -

(6.7)

Chcąc zbadać czy dana funkcja posiada ekstremum (minimum lub maksimum) analizujemy

pierwszą pochodną naszej funkcji (przyrównujemy ją do zera). Ma ona następującą postać:

0 = 4

r -

(6.8)

Przewodnik po ćwiczeniach

Otrzymujemy wówczas:

)

(

−

(6.9)

Analizując otoczenie miejsca zerowego pochodnej otrzymujemy:

F (r)

)

(

−

∏

∧

F (r)

)

(

−

∏

∧

F’ ⇒

↓

F’=0

F’ ⇒

↑

Oznacza to, iż w „r” funkcja posiada ekstremum - minimum, będące poszukiwaną wielkością.

Podstawiając „r” do wzoru na wysokość puszki - „h” (6.3) otrzymujemy:

)

(

(6.10)

a więc wymiary puszki o minimalnej powierzchni wynoszą:

)

(

−

(6.11)

)

(

(12)

natomiast powierzchnia puszki wynosi:

)

((

(6.13)

co jest szukaną minimalną powierzchnią puszki.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Weryfikacja uzyskanego rozwi

zania.

Weryfikowanie uzyskanych rezultatów jest niezbędnym składnikiem procesu optymalizacyjnego.

Otóż okazuje się, iż niektóre rozwiązania otrzymane w wyniku procesu nie spełniają naszych

oczekiwań, np. w przypadku gdyby analizowana przez nas wcześniej funkcja w ekstremum nie

posiadała minimum a maksimum. Wówczas wartościami spełniającymi nasze kryterium

(minimalizacja powierzchni puszki) byłyby krańce analizowane przedziału zmienności funkcji.

W naszym przypadku weryfikacja zadania polega na wykonaniu wykresu ilustrującego przebieg

funkcji, co zostało przedstawione poniżej, co ilustruje poniższy rysunek:

Rys. 5. Przebieg funkcji F(r) dla rozpatrywanego przypadku

Rys. 6. Przebieg funkcji F(r) w przypadku gdy r

extr

≠≠≠≠

opt

Uzyskany
rezultat
poszukiwania
ekstremum

r extr

r op 1

r op 2

Poszukiwane

minimum

r opt

Przewodnik po ćwiczeniach

W przypadku gdyby wykres przybrał postać jak przedstawiono na rysunku 2 wówczas oznaczałoby

to, iż szukane poszukiwane rozwiązanie znajdowało by się na krańcach przedziału.

Zadania do wykonania

Zadanie 1

Określić wymiary puszki na olej o pojemności 1 litra, tak by ilość zużytego materiału była

najmniejsza. Puszka jest prostopadłościanem o podstawie kwadratu. Analizowana puszka jest

alternatywą dla rozpatrywanej wcześniej puszki o kształcie walca - należy stwierdzić, które

z rozwiązań jest dla nas korzystniejsze.

................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

Zadanie 2

Poniższe zadanie jest rozwinięciem wcześniej omawianych problemów.

Przedsiębiorstwo „Opakowania na życzenie” otrzymało zamówienie na 50 000 opakowań

o pojemności 1 litr. Odbiorcy jest obojętne jakiego kształtu są opakowania (walec czy

prostopadłościan), natomiast zażyczył sobie, aby całość zamówionego towaru dostarczyć do jego

siedziby. Firma podjęła się realizacji zamówienia i wynajęła ciężarówkę mogącą przewozić

8 kontenerów o wymiarach 1,25 x 0,9 x 1,1 m.(a x b x h) i zgodziła się na opłatę w wysokości 3,15

zł/km. Odległość od producenta opakowań do odbiorcy wynosi 370 km. Wskazać które

z rozwiązań - walec czy prostopadłościan, jest dla producenta korzystniejsze (koszt materiału

wynosi 8.30 zł/m

). Należy również wziąć pod uwagę, iż puszki w kształcie walca mogą zostać

załadowane do kontenera na trzy sposoby:

denko puszki jest równoległe do dna kontenera,

denko puszki jest równoległe do ścianki kontenera o podstawie „a”,

denko puszki jest równoległe do ścianki kontenera o podstawie „b”.

................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

wiczenie nr 7

Systematyczne przeszukiwanie

Cel laboratorium:

Optymalizacja problemu projektowego metodą systematycznego przeszukiwania. Utrwalenie

wiadomości z zakresu poszukiwania funkcji celu dla analizowanego zadania oraz rozwiązania

w oparciu o przyjęte ograniczenia.

Wprowadzenie

Problemem z którym często może mieć do czynienia osoba rozwiązująca zadania projektowe jest

lokalizacja obiektu(ów) w ustalonym otoczeniu (środowisku) np. lokalizacja hurtowni przy drodze,

lokalizacja szybów kopalni, położenie obiektów w istniejącej hali, itp. Pomocą w rozwiązaniu tego

zadania jest zbudowanie modelu – modelu alokacyjnego – który pomaga podejmować decyzje co do

podziału i rozmieszczenia określonych środków pomiędzy różne cele, tak aby zoptymalizować dany

system. Sprowadza się do przeanalizowania środowiska w którym ma być zlokalizowany obiekt

i wyznaczenia miejsc, które spełniają nasze przyjęte założenia, czemu z powodzeniem służą metody

programowania liniowego, nieliniowego, w liczbach całkowitych czy też metoda programowania

dynamicznego (najbardziej znane modele alokacyjne to model transportowy, model przydziałów

czy też model komiwojażera).

Poniższe ćwiczenie przybliża powyższe zagadnienie, wskazując sposób rozwiązania problemu

alokacyjnego metodą systematycznego przeszukiwania zbioru, dla prostego problemu alokacji

obiektu (ów) w ograniczonej przestrzeni istniejącego obiektu.

Przykład

Wskazać miejsce lokalizacji magazynu materiałów oraz półproduktów w hali produkcyjnej

z działającą linią technologiczną składającą się z pięciu stanowisk o zróżnicowanej wielkości.

Aby rozwiązać powyższe zadanie należy po pierwsze sformułować jaki problem projektowy mamy

rozwiązać. W naszym przypadku jest nim lokalizacja magazynu materiałów oraz półproduktów

w istniejącym środowisku – hali z funkcjonującym ciągiem technologicznym.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Kolejny krok to zdefiniowanie funkcji celu. Funkcją celu w naszym przypadku jest taka lokalizacja

magazynu, aby suma dróg z magazynu do punktów odbioru materiałów i półproduktów była

najmniejsza.

Realizacja zadania wymaga przyjęcia następujących ograniczeń:

Trasa dostarczania materiałów może być prowadzona jedynie liniami prostymi przecinającymi

się pod kątem prostym,

Trasa dostarczania materiałów nie może być zbieżna z trasą ciągu technologicznego (rys. 7),

Trasa dostarczania materiałów może przecinać się z trasą ciągu technologicznego jedynie pod

kątem prostym,

Wokół magazynu powinna być wolna "strefa transportowa",

Wydawanie materiałów z magazynu odbywa się w jednym z jego rogów,

Magazyn może przylegać swoją ścianą bądź ścianami do murów magazynu.

Ze względu na opisane wyżej ograniczenia rozwiązanie problemu optymalizacyjnego sprowadza się

do:

Wyznaczenie lokalizacji magazynu - określenia miejsc, w których magazyn jest możliwy do

umiejscowienia - miejsca A, B, C.

Określenia odległości pomiędzy punktem wydawania materiałów, a punktami odbioru

materiałów w poszczególnych stanowiskach. Droga transportu może być linią prostą, skośną

lub łamaną.

Wpisania odległości do tablicy.

Obliczenia sumy dróg dla poszczególnych lokalizacji (tablica - ostatnia kolumna).

Wskazanie lokalizacji magazynu poprzez wskazanie rejonu o najmniejszej odległości pomiędzy

magazynem a punktami odbioru.

Przewodnik po ćwiczeniach

Rys 7. Przykład lokalizacji magazynu w hali produkcyjnej

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadanie do wykonania

Zadanie 1

Proponowane miejsca lokalizacji magazynu:

1)....................................................................................

2)....................................................................................

3)....................................................................................

4)....................................................................................

Funkcja celu: ..........................................................................................................................................

Ograniczenia modelu: ............................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Model optymalizacyjny:.........................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Długości dróg magazyn - punkty odbioru materiałów na stanowiskach

Lokalizacja

Magazynu

Pkt. A Pkt. B Pkt. C Pkt. D Pkt. E Pkt. F Pkt. G Pkt. H Suma

Przewodnik po ćwiczeniach

Rozwi

zanie

Lokalizacją o najniższej sumie dróg jest lokalizacja nr ............, o łącznej długości dróg wynoszącej

....................... jednostek

Plan hali produkcyjnej

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadanie 2

Do rozwiązania jest następujące rozwinięcie poprzedniego problemu: czy powinniśmy zbudować

jeden magazyn o powierzchni 24 m2, czy też dwa lub trzy mniejsze ? Okres funkcjonowania

magazynu(ów) wynosi 5 lat. Koszt budowy magazynu wynosi 200 zł/m2 oraz dodatkowo 800 zł za

każdy magazyn. koszt użytkowania magazynu(ów) wynosi 2 zł/m2/mies., koszt transportu

materiałów do punktów odbioru: 2 gr/m, dostawa materiałów 2/zmianę (2 zmiany robocze na

dniówkę).

Rozwiązanie zadania 2 jest zbliżone do zadania 1. W pierwszej części dokonujemy lokalizacji

magazynów o różnych powierzchniach w planie hali produkcyjnej, a następnie określamy długości

dróg z magazynów do punktów odbioru. kolejnym krokiem jest określenie funkcji celu, budowa

modelu optymalizacyjnego oraz rozwiązanie go.

Funkcją celu umożliwiającą rozwiązanie problemu jest minimalizacja kosztów funkcjonowania

układu: magazyn(y) - transport części.

min - K(budowa - kb, utrzymanie - ku, transport -kt)

Zmiennymi decyzyjnymi są:

Ilość oraz powierzchnia magazynów,

Długość dróg transportu.

Model matematyczny naszego zadania jest następujący:

K = kb + ku + kt

gdzie:

koszt budowy: kb = (koszt stały budowy magazynu (800 zł) * ilość budowanych magazynów) +

koszt powierzchni magazynu (24 m2 * 200 zł/m2)

Przewodnik po ćwiczeniach

koszt użytkowania: ku = ilość czasu przez jaką będą użytkowane magazyny (5 lat * 12 miesięcy) *

koszt utrzymania 1 m2 magazynu ( 2 zł/m2)

koszt transportu: kt = suma dróg w danym wariancie * koszt transportu na odcinku drogi (2 gr/m) *

ilość kursów na zmianę (2 kursy) * liczba zmian w dniu (2 zmiany) * liczba dni roboczych

w roku (250 dni) * liczba lat (5 lat)

Wariant

Koszt budowy

Koszt utrzymana

Koszt transportu

Suma kosztu

ΣΣΣΣ

1 magazyn - a

- b

- c

2 magazyn - a

- b

- c

3 magazyn - a

- b

- c

Rozwi

zanie.

Rozwiązaniem o najniższym koszcie funkcjonowania układu magazyn(y) punkty odbioru jest

wariant .......... w którym przyjęto, iż zostaną zbudowane ........ magazyny

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

wiczenie nr 8

Programowanie dynamiczne

Cel laboratorium:

Optymalizacja problemu projektowego metodą programowania dynamicznego. Utrwalenie

wiadomości z zakresu poszukiwania funkcji celu dla analizowanego zadania oraz rozwiązania

w oparciu o przyjęte ograniczenia.

Wprowadzenie

Programowanie dynamiczne jest jedną z technik matematycznych, którą można zastosować do

rozwiązywania takich problemów, jak: zagadnienia dyliżansu, zagadnienia finansowania inwestycji,

optymalizacja zapasów, alokacja zasobów, czy wymiana majątku trwałego. Warto przy tym

podkreślić, że programowanie dynamiczne należy traktować bardziej jako sposób podejścia do

rozwiązywania problemu niż jako pojedynczy uniwersalny algorytm. W dalszej części ograniczono

się do bliższego scharakteryzowania zagadnienia finansowania inwestycji oraz zagadnienia wyboru

trasy.

Zagadnienie finansowania przedsięwzięcia inwestycyjnego można scharakteryzować jako problem

alokacji określonego zasobu środków (w tym przypadku wyrażonego w jednostkach pieniężnych)

pomiędzy poszczególne zadania (programy inwestycyjne), tak aby osiągnąć maksymalny efekt.

Przyjmuje się przy tym następujące założenia:

Efekt zastosowania każdego z programów inwestycyjnych nie zależy od tego, czy zostały

zastosowane równocześnie inne programy inwestycyjne.

Zwrot nakładów inwestycyjnych jest mierzony w tych samych jednostkach.

Nakłady inwestycyjne są liczbami całkowitymi.

Funkcje określające związki między nakładami inwestycyjnymi a wysokością zwrotu nakładów

są niemalejące.

Przewodnik po ćwiczeniach

Nieco inny problem niesie ze sobą tzw. zagadnienie dyliżansu, polegające na poszukiwaniu

optymalnej drogi w sieci. Nazwa zagadnienia pochodzi od pewnego kupca amerykańskiego, który

transportował towary ze Wschodniego Wybrzeża USA na Wybrzeże Zachodnie, używając w tym

celu różnych połączeń realizowanych za pomocą dyliżansu. Oczywiście, chodziło o dobór takich

połączeń, aby transport odbywał się w miarę bezpiecznie, a miarą bezpieczeństwa na danej linii

były stawki pobierane przez towarzystwo ubezpieczeniowe. Rozwiązanie problemu wymagało

podzielenia całej trasy na etapy, a w każdym z etapów określenia miast etapowych oraz wszystkich

możliwych połączeń pomiędzy nimi.

Łatwo można sobie wyobrazić inne możliwości zastosowania tak sformułowanego zagadnienia do

szerokiej klasy problemów poszukiwania najkrótszej lub najdłuższej drogi w sieci (internet – wybór

trasy, rozdział środków inwestycyjnych, rozdział zadań produkcyjnych).

Oba wcześniej wymienione zagadnienia można rozwiązać stosując podejście charakterystyczne dla

programowania dynamicznego. Polega ono na podziale zagadnienia pierwotnego na podproblemy

lub etapy, a następnie na ich sekwencyjnym rozwiązywaniu, aż do znalezienia rozwiązania

optymalnego. Stosuje się przy tym, niezależnie od algorytmu, zasadę optymalności Bellmana,

w myśl której optymalne rozwiązanie zagadnień zakresu programowania dynamicznego ma tę

własność, że optymalne rozwiązanie dla k-tego etapu jest jednocześnie rozwiązaniem optymalnym

dla etapów k+1,..., N. Tak więc optymalne rozwiązanie dla etapu pierwszego stanowi optymalne

rozwiązanie dla całego problemu.

W związku z powyższą zasadą problem z zakresu programowania dynamicznego rozwiązuje się

rozpoczynając od poszukiwania rozwiązania dla ostatniego etapu (N), a następnie cofając się

poszukuje się rozwiązania dla etapu N-1. Uzyskane w ten sposób rozwiązanie dla etapów N-1 oraz

N jest optymalne bez względu na to, w jaki sposób osiągnięto etap N-1. Powtarzając w powyższy

sposób etap po etapie, dochodzimy do rozwiązania optymalnego dla pierwszego etapu, a więc i dla

całego problemu.

Powyższa zasada zostanie zilustrowana na przykładzie zagadnienia alokacji środków

inwestycyjnych.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przykład

Przedsiębiorca Jerzy Płatek, posiadający kredyt inwestycyjny w wysokości 6 mln zł oraz halę

produkcyjną w Krakowie, postanowił zainstalować nowoczesne linie piekarnicze: francuską (F),

szwedzką (S) oraz polską (P). Dobowe zdolności produkcyjne linii (w tonach wyprodukowanego

pieczywa), w zależności od wysokości nakładów inwestycyjnych przeznaczonych na zainstalowanie

linii produkcyjnej danego typu, przedstawiono w tablicy 1.

Tablica 1

Nakłady (w mln zł)

Zdolności

produkcyjne

linii (w t/d)

Analiza rynku wykazała, że każda z linii produkcyjnych pozwala uzyskiwać jednakowe zyski

w przeliczeniu na 1 t pieczywa. Jerzy Płatek musi więc w tym przypadku podjąć decyzję dotyczącą

podziału kredytu pomiędzy poszczególne programy inwestycyjne, tak aby piekarnia osiągnęła

maksymalną, dobową zdolność produkcyjną.

UWAGA: Następuje tutaj pierwszy element analizy optymalizacyjnej – wskazana zostaje funkcja

celu oraz ograniczenia.

Funkcją celu jest więc taki rozdział środków inwestycyjnych, aby efekt w postaci wielkości

produkcji był maksymalny:

) ⇒ max,

(8.1)

gdzie:

– zdolności produkcyjne,

– nakłady inwestycyjne.

Przewodnik po ćwiczeniach

Model matematyczny problemu sprowadza się zatem do prostej sumy zdolności produkcyjnych

z trzech linii w zależności od posiadanych środków inwestycyjnych i przyjmuje postać:

= Z

) + Z

) (8.2)

Rozwi

zanie

Powyższy problem, należący do kategorii programowania dynamicznego, można rozwiązać za

pomocą procedury opisanej w kilku etapach.

Krok 1

Załóżmy, że jedynym możliwym rozwiązaniem jest zakupienie polskiej linii produkcyjnej

i zadajmy sobie pytanie dotyczące uzyskanej w ten sposób dobowej zdolności produkcyjnej

w zależności od zainwestowanej kwoty. Wyniki pokazano w tablicy 2.

Tablica 2

Nakłady [mln zł]

Zdolności produkcyjne linii P [t]

W tym przypadku jedynym sensownym rozwiązaniem jest zainwestowanie 6 mln zł w polską linię

produkcyjną w celu osiągnięcia zdolności produkcyjnej 16 t pieczywa na dobę. Rezultat ten

zapiszemy następująco:

P(6) = 16

co oznacza, że 6 mln zł zainwestowane w polską linię produkcyjną zapewnia produkcję 16 t

pieczywa na dobę. (Ponieważ niezależnie od poziomu produkcji mamy jednakowy zysk

jednostkowy, więc maksymalizacja produkcji dawać nam będzie maksymalizację zysku).

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Krok 2

Załóżmy, że dostępne są dwa typy linii produkcyjnych: P oraz S i zadajmy sobie następujące

pytanie: jak należy podzielić kredyt inwestycyjny pomiędzy te dwa programy, aby uzyskać

maksymalną dobową zdolność produkcyjną?

W tym przypadku możliwe jest siedem wariantów podziału 6 mln zł kredytu, które dają następujące

dobowe zdolności produkcyjne:

P(6) + S(0) = 16 + 0 = 16,

P(5) + S(1) = 15 + 5 = 20,

P(4) + S(2) = 15 + 8 = 23,

P(3) + S(3) = 15 + 11 = 26,

P(2) + S(4) = 15 + 14 = 29,

P(1) + S(5) = 4 + 17 = 21,

P(0) + S(6) = 0 + 18 = 18.

W powyższej sytuacji należy więc zainwestować 2 mln zł w polska linię oraz 4 mln zł w szwedzką

linię, osiągając w ten sposób 29 t pieczywa na dobę.

Krok 3

Spróbujmy obecnie znaleźć optymalny podział kredytu pomiędzy linię P oraz S przy malejącej

kwocie nakładów inwestycyjnych:

5 mln zł na linie P oraz S

P(5) + S(0) = 15 + 0 = 15,

P(4) + S(1) = 15 + 5 = 20,

Przewodnik po ćwiczeniach

P(3) + S(2) = 15 + 8 = 23,

P(2) + S(3) = 15 + 11 = 26,

P(1) + S(4) = 4 + 14 = 18,

P(0) + S(5) = 0 + 17 = 17.

W przypadku dysponowania kwotą 5 mln zł na linie P oraz S należy zainwestować 2 mln zł w linię

P oraz 3 mln zł w linię S i osiągnąć 26 t pieczywa na dobę. Rezultat zapiszemy w następujący

sposób:

P(2) + S(3) = 26.

4 mln zł na linie P oraz S

P(4) + S(0) = 15 + 0 = 15,

P(3) + S(1) = 15 + 5 = 20,

P(2) + S(2) = 15 + 8 = 23,

P(1) + S(3) = 4 + 11 = 15,

P(0) + S(4) = 0 + 14 = 14.

W przypadku dysponowania kwotą 4 mln zł należy zainwestować po 2 mln zł w linie P oraz S:

P(2) + S(2) = 23.

3 mln zł na linie P oraz S

P(3) + S(0) = 15 + 0 = 15,

P(2) + S(1) = 15 + 5 = 20,

P(1) + S(2) = 4 + 8 = 12,

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

P(0) + S(3) = 0 + 11 = 11.

W tym przypadku należy zainwestować 2 mln zł w linię P i 1 mln zł w linię S:

P(2) + S(1) = 20.

2 mln zł na linie P oraz S

P(2) + S(0) = 15 + 0 = 15,

P(1) + S(1) = 4 + 5 = 9,

P(0) + S(2) = 0 + 8 = 8.

W tym przypadku należy zainwestować 2 mln zł w linię polską (P):

P(2) + S(0) = 15.

1 mln zł na linie P oraz S

P(1) + S(0) = 4 + 0 = 4,

P(0) + S(1) = 0 + 5 = 5.

W tym przypadku należy zainwestować 1 mln zł w linię szwedzką (S):

P(0) + S(1) = 5.

A zatem w kroku 3 określiliśmy optymalne kombinacje nakładów na linie P oraz S.

6 mln zł

P(2) + S(4) = 29.

5 mln zł

P(2) + S(3) = 26.

4 mln zł

P(2) + S(2) = 23.

3 mln zł

P(2) + S(1) = 20.

Przewodnik po ćwiczeniach

2 mln zł

P(2) + S(0) = 15.

1 mln zł

P(0) + S(1) = 5.

Krok 4

Konsekwentnie, w kroku 4 wystarczy rozpatrzyć wszystkie kombinacje podziału 6 mln zł kredytu

pomiędzy linię F oraz linię P + S. Zdolności produkcyjne w zależności od nakładów kredytowych

przedstawiono w tablicy 3.

Tablica 3

Krok

F (z tablicy 1)

P + S (z kroków 2 i 3)

Jak łatwo można zauważyć, możliwych jest siedem wariantów podziału 6 mln zł kredytu pomiędzy

linię F oraz linię P + S, dających następujące zdolności produkcyjne:

F(6) + (S + P)(0) = 20 + 0 = 20,

F(5) + (S + P)(1) = 15 + 5 = 20,

F(4) + (S + P)(2) = 12 + 15 = 27,

F(3) + (S + P)(3) = 12 + 20 = 32,

F(2) + (S + P)(4) = 12 + 23 = 35,

F(1) + (S + P)(5) = 6 + 26 = 32,

F(0) + (S + P)(6) = 0 + 29 = 29.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Tak więc maksymalną zdolność produkcyjną piekarni można uzyskać inwestując 2 mln zł w linię

francuską F oraz 4 mln zł w linię S i P. Aby uzyskać rozwiązanie ostateczne, wystarczy odszukać

w kroku 3 optymalny sposób podziału tych 4 mln zł pomiędzy linie S oraz P. W rezultacie

otrzymujemy rozwiązanie: 2 mln zł na linię F, 2 mln zł na linię P oraz 2 mln zł na linię S, co

zapewnia 35 t pieczywa na dobę.

Zadanie do wykonania

Firma „DOSKONAŁE OPROGRAMOWANIE Z REDMOND” zamierza zainwestować 8000 USD.

Oszacowano, iż analizowana inwestycja może przynieść zwrot w wysokości:

= x + 500,

= 1000 * 80

= 0,015 *

;

przy czym wynik końcowy jest kombinacją trzech wariantów, a „x” oznacza nakłady inwestycyjne

(w uproszczeniu podane z dokładnością do 1000 USD)

Wybrać optymalny wariant realizacji inwestycji, tak aby nakłady przyniosły maksymalną korzyść.

Rozwi

zanie zadania:

1. Uzyskane efekty

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Przewodnik po ćwiczeniach

2. Analiza optymalizacyjna:

................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

wiczenie nr 9:

Programowanie sieciowe

Cel laboratorium:

Optymalizacja problemu projektowego metodą sieciową CPM - COST. Utrwalenie wiadomości

z zakresu poszukiwania funkcji celu dla analizowanego zadania oraz rozwiązania w oparciu

o przyjęte ograniczenia.

Wprowadzenie

W trakcie procesu projektowania często mamy do czynienia z sytuacją, gdy konieczna jest

jednoczesna realizacja wielu czynności. Ich zgranie, w sposób umożliwiający najefektywniejsze

wykorzystanie posiadanych zasobów, jest często problemem od rozwiązania którego zależy

wykonanie całości zadania. Analiza siatek czynności (CPM - Critical Patch Method) jest jedną

z metod umożliwiających przede wszystkim ustalenie powiązań pomiędzy poszczególnymi

czynnościami analizowanego procesu, badanie czynności występujących na drodze krytycznej,

wykazywanie zapasu czasów itd., zaś metoda CPM-COST umożliwia dodatkowo badanie na

powiązanie analizy czasowej danego zadania z jej aspektami ekonomicznymi.

Optymalizacja przedsięwzięcia metodą CPM składa się z kilku etapów i polega na:

wyodrębnieniu i zestawieniu wchodzących w jego skład czynności (zadań cząstkowych),

ocenie parametrów poszczególnych czynności i zdarzeń (czasu, nakładów, zasobów),

konstrukcji sieci zależności technologicznych,

wyznaczeniu podstawowych charakterystyk sieci, dotyczących zarówno poszczególnych

czynności i zdarzeń, jak też całego projektu,

wyznaczeniu tzw. ścieżki krytycznej.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przy czym:

pod pojęciem przedsięwzięcia rozumiemy zorganizowane działanie zmierzające do osiągnięcia

wyznaczonego celu, zawarte w skończonym przedziale czasu oraz realizowane przez

skończoną wielkość zasobów (środki finansowe, zasoby ludzkie, środki techniczne),

pod pojęciem zdarzenia rozumiemy moment rozpoczęcia lub też zakończenia czynności

(przedstawiany zwykle w postaci koła lub innej figury geometrycznej),

czynnością nazywać będziemy dowolną wyodrębnioną część przedsięwzięcia, która

charakteryzuje się czasem trwania oraz zużywaniem środków, a przedstawiana jest w postaci

wektora,

czynnością pozorną nazwiemy taką czynność której czas realizacji oraz wykorzystanie

rodków jest zerowe, a czynność ta służy jedynie do przedstawienia zależności pomiędzy

następowaniem czynności,

drogą albo ścieżką w sieci nazywamy ciąg czynności oraz zdarzeń umożliwiający przejście od

początku do końca sieci. W przypadku drogi o najdłuższym czasie przejścia mówimy o drodze

krytycznej, a jej zapas czasu wynosi zero.

Wyznaczenie drogi krytycznej umożliwia kontrolę całego procesu, a co za tym idzie kontrolę

dotrzymania terminu końcowego.

Przykład

Realizujemy proces projektowania budynku mieszkalnego obejmującego następujące czynności

składające się na całe przedsięwzięcie:

Przewodnik po ćwiczeniach

Tablica 4

Czynność

Czynności

poprzedzające

Czas

nominalny

realizacji

czynności t

Czas

graniczny

realizacji

czynności t

Koszt

nominalny

realizacji

czynności K

Koszt

graniczny

realizacji

czynności K

3500

6000

1000

1500

2000

2500

2000

3000

7000

10000

C, D

1000

przy czym:

pod pojęciem normalnego czasu trwania - t

- czynności rozumiemy czas któremu odpowiadają

najniższe koszty wykonania K

czas graniczny - t

-, to najkrótszy możliwy ze względów technicznych i technologicznych czas

wykonania czynności przy koszcie granicznym K

Model sieciowy takiego przedsięwzięcia wygląda jak przedstawiono na rysunku poniżej. Tworzenie

takiego modelu podlega następującym regułom:

Rys 8. Model sieciowy przedsi

wzi

cia

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

istnieje dokładnie jeden wierzchołek (zdarzenie) początkowy i jeden wierzchołek końcowy

(postulat ten można spełnić wprowadzając czynności pozorne),

wierzchołki wektorów są uporządkowane , tzn. każdy poprzednik ma mieć numer mniejszy lub

wcześniejszą literę od następnika (co uniemożliwia wprowadzenie ścieżek cyklicznych lub

pętli),

dwa zdarzenia są połączone tylko jedną czynnością; jeżeli kilka czynności poprzedza jedno

zdarzenie, wówczas należy wprowadzić czynności pozorne,

każda czynność może być zrealizowana tylko jeden raz z prawdopodobieństwem równym jeden

podczas wykonywania przedsięwzięcia.

Jego uzupełnieniem jest opis ilościowy przedsięwzięcia charakteryzujący czasy trwania

poszczególnych czynności. W charakterystykach tych opisuje się następujące wielkości:

i – numer kolejnego zadania,

t – najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia,

T – najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia,

L – zapas czasu.

Przedstawiane zwykle w postaci:

Analizę rozpoczynamy od określenia najwcześniejszego możliwego momentu zaistnienia zdarzenia

(wypełniamy lewą ćwiartkę). Przyjmujemy, iż najwcześniejszy moment rozpoczęcia zdarzenia 1

jest równy zero (t

= 0).Z kolei najwcześniejszy moment zaistnienia następnego zdarzenia „j” jest

równy sumie najwcześniejszego zdarzenia oraz czasu trwania czynności prowadzącej od zdarzenia

„i” do zdarzenia „j”. A więc w naszym przypadku:

= t

= 0 + 20 = 20;

= t

= 0 + 10 = 10.

Przewodnik po ćwiczeniach

Ponieważ realizacja niektórych zadań wymaga wykonania wcześniej kilku równolegle

realizowanych czynności, dlatego najwcześniejszym możliwym momentem zaistnienia zdarzenia t

jest taka wielkość która spełnia następującą zależność:

}

{

max

−

(9.1)

czyli:

= max{20+5; 20+6} = 26.

Wyznaczamy w ten sposób wszystkie najwcześniejsze momenty zaistnienia zdarzeń t

. Umożliwia

to stwierdzenie, iż najwcześniejszym możliwy czas realizacji całego przedsięwzięcia wynosi 29

jednostek czasu.

Wyznaczamy teraz najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzeń. Zaczynając od

ostatniego zdarzenia i poruszając się w kierunku przeciwnym do zwrotu strzałek. Przyjmujemy, iż

najpóźniejszy dopuszczalny termin zaistnienia zdarzenia końcowego jest równy najwcześniejszemu

możliwemu terminowi jego zaistnienia, tj. T

= t

. Wielkość tą wpisujemy w prawej ćwiartce

symbolu ostatniego zdarzenia. Możemy teraz określić najpóźniejsze dopuszczalne terminy realizacji

pozostałych zdarzeń poprzez odjęcie od najpóźniejszego dopuszczalnego terminu zdarzenia

następnego (j) czasu trwania czynności i-j. W przypadku, gdy do zdarzenia dochodzą co najmniej

dwie czynności wybieramy dla nich wielkość najmniejszą.

}

{

min

−

(9.2)

Na przykład:

= min{3+5; 3+6} = 8

Mając wyznaczone najpóźniejsze dopuszczalne oraz najwcześniejsze możliwe terminy zaistnienia

poszczególnych zdarzeń (T ora t) określamy zapas czasu jakim dysponujemy dla poszczególnych

zdarzeń:

= T

– t

. (9.3)

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

W przypadku, gdy zapas czasu dla czynności jest równy zeru (L

= 0), wówczas mamy do czynienia

z czynnością krytyczną. Wyznaczenie wszystkich zdarzeń krytycznych umożliwia z kolei

znalezienie ścieżki krytycznej, co daje mam możliwość planowania, koordynacji oraz kierowania

całym procesem w taki sposób, aby nie nastąpiło opóźnienie w realizacji całego zadania.

Równie istotnym co ilościowe, jest ekonomiczne ujęcie metody CPM. Jego realizacja umożliwia

kompresję sieci, a co za tym idzie skrócenie okresu realizacji przedsięwzięcia, co ma duże

znaczenie dla ewentualnego inwestora. Należy przy tym wziąć pod uwagę, iż skrócenia czasu

realizacji należy dokonać w taki sposób, aby koszty tego procesu były najniższe. Oznacza to, iż w

pierwszym rzędzie przyspieszać należy te czynności w których koszt przyspieszenia ich realizacji

będzie najniższy (oczywistym wydaje się przyjęcie założenia, iż przyspieszenie czynności wiąże się

ze wzrostem kosztu jej realizacji).

Zakładając, iż przyrost kosztów realizacji zadania jest liniowy (w zależności od czasu realizacji

zadania) możemy wyznaczyć średni gradient kosztu S:

−

(9.4)

Współczynnik ten określa przyrost kosztów wykonania zadania wynikający z skrócenia czasu

wykonania zadania o jednostkę czasu, przy czym:

- normalny czas trwania czynności, a rozumiemy przez to, czas któremu odpowiadają

najniższe koszty wykonania K

- czas graniczny - najkrótszy możliwy ze względów technicznych i technologicznych czas

wykonania czynności przy koszcie granicznym K

W naszym przypadku dla poszczególnych czynności współczynnik gradientu S wynosi

odpowiednio:

Przewodnik po ćwiczeniach

S(a) =

S(b) =

S(c) =

S(d) =

S(e) =

500

100

250

333

500

Sam proces kompresji polega na [3]:

Wyznaczeniu ścieżki krytycznej.

Wyznaczeniu gradientu kosztów S dla czynności leżących na ścieżce krytycznej.

Wyeliminowaniu tych czynności dla których S=0.

Skróceniu czasu realizacji czynności dla czynności o S = min (<0).

Skróceniu czasu realizacji czynności dla kolejnych czynności (wraz z wzrostem wartości

gradientu S).

Uwagi:

skracanie czasu realizacji czynności ograniczone jest czasem granicznym t

danej czynności,

może pojawić się nowa ścieżka krytyczna (w przypadku jeżeli na dotychczasowej drodze

krytycznej skrócimy realizację procesu o wielkość równą co najmniej zapasowi czasu jaki

mamy do dyspozycji w innych procesach składających się na całe zadanie).

Jeżeli wystąpią dwie lub więcej ścieżek krytycznych, wówczas skracanie czasu na wszystkich tych

cieżkach jest dokonywane o tą samą wielkość czasu. Gdy wszystkie czynności leżące na

którejkolwiek drodze krytycznej osiągną czas graniczny wówczas uzyskujemy najkrótszy czas

realizacji zadania. Całkowite koszty przyspieszenia realizacji zadania są sumą wszystkich kosztów

skrócenia czasu realizacji czynności.

Poniżej przedstawiono wykres sieciowy zadania dla początkowych oraz skompresowanych czasów

realizacji poszczególnych zadań (rys. 9 oraz rys. 10).

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Rys 9. Wykres sieciowy zadania – wyznaczenie drogi krytycznej

Rys 10. Wykres sieciowy zadania dla skompresowanego czasu realizacji zadania.

Przewodnik po ćwiczeniach

Zadania do wykonania

Zadanie 1

Wyznaczyć drogę krytyczną dla procesu przedstawionego w tablicy poniżej, a następnie dokonać

skrócenia czasu realizacji zadań. Narysować schemat sieciowy drogi krytycznej oraz schemat

sieciowy dla skompresowanego czasu realizacji zadania.

Czynność

Czynności

poprzedzające

200

300

500

800

400

800

A, B

1500

2500

A, B

800

900

500

700

E, C

200

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przewodnik po ćwiczeniach

Zadanie 2

Wyznaczyć drogę krytyczną dla procesu przedstawionego w tablicy poniżej, a następnie dokonać

skrócenia czasu realizacji zadań. Narysować schemat sieciowy drogi krytycznej oraz schemat

sieciowy dla skompresowanego czasu realizacji zadania.

Czynność

Czynności

poprzedzające

800

2000

1800

3000

1100

1200

600

800

400

500

C, D

2200

2600

900

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przewodnik po ćwiczeniach

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Wprowadzenie do

wicze

od 10 do 12

Analiza projektu jest procesem, z którym spotykamy się:

w momencie uruchomienia projektu (faza przedinwestycyjna), aby pogłębiać jego analizę

i znaleźć rozwiązanie,

okresowo, w trakcie realizacji projektu, kiedy zmiany w otaczającym środowisku i poziomie

wiedzy, lub stwierdzenie poważnych rozbieżności w stosunku do tego co było przewidziane,

prowadzą do zrewidowania wcześniejszej analizy.

Analizy projektu dokonywane są głównie w kategoriach ekonomicznych i poprzez rachunek jego

rentowności. Dotyczyć to będzie porównania kosztów realizacji projektu i kosztów jego

eksploatacji (dla całego okresu życia przyjętego jako realistyczny) z korzyściami uzyskanymi dzięki

jego realizacji. Sprawia to oczywiście niekiedy pewne problemy, na przykład w sytuacji gdy

musimy określić wartość niezanieczyszczania środowiska naturalnego lub poziom satysfakcji

z rozwiązań administracyjnych.

Z punktu widzenia przedsiębiorcy kryterium decyzji inwestycyjnej jest zwrot zainwestowanego

kapitału czyli zysk.

Tak więc analiza rentowności inwestycji opiera się przede wszystkim na określeniu stosunku

między wielkością zysku i zainwestowanego kapitału. Zysk stanowi najbardziej syntetyczne

podsumowanie działalności z ekonomicznego punktu widzenia, a jednocześnie kryje w sobie

zachęty do dynamizowania produkcji, przyspieszenia sprzedaży poprzez skracanie cykli i do

poprawy wyników ekonomicznych różnymi sposobami, w tym zwłaszcza przez racjonalne

gospodarowanie.

Przy sporządzaniu rachunku należy zwrócić uwagę na porównywalność poszczególnych jego

elementów, a także różnych wariantów danego projektu inwestycyjnego w zakresie:

wzajemnej zależności nakładów i efektów;

wpływu rozwiązań lokalizacyjnych;

rozłożenia nakładów i efektów w czasie.

Przewodnik po ćwiczeniach

Dla sprawdzenia tego rodzaju wariantów do porównywalności, należy w rachunku uwzględnić

nakłady na inwestycje towarzyszące. Konieczność uwzględnienia w rachunku zasady

porównywalności wariantów z punktu widzenia rozłożenia nakładów i efektów w czasie wynika

z faktu, że warianty mogą różnić się:

długością okresu związanego z przygotowaniem i realizacją badanej inwestycji

(w szczególności długością okresu budowy);

długością okresu eksploatacji;

rozkładem nakładów i efektów w obu tych okresach.

Jeżeli zasada poszukiwania rozwiązań alternatywnych nie jest przestrzegana w procesie

opracowania projektu przedsięwzięcia inwestycyjnego, dokonany wybór może okazać się bardzo

kosztowny, jeżeli – z powodów niedostatecznych prac przygotowawczych – wybrany projekt trzeba

będzie odrzucić na rzecz jakiegoś rozwiązania alternatywnego.

Istnieje wiele różnorodnych kryteriów oceny rentowności projektów. Do najważniejszych z nich

należą:

okres zwrotu nakładów kapitałowych;

wartość zaktualizowana netto NPV;

wskaźnik wartości zaktualizowanej netto;

wewnętrzna stopa zwrotu;

próg rentowności inwestycji.

Przedmiotem niniejszego przewodnika nie jest ich szczegółowe i dokładne omówienie. W dalszej

części przewodnika podano jedynie ogólne zasady i podstawowe wzory obliczeń wartości tych

wskaźników. Niemniej jednak ważnym do odnotowania jest, że:

Kryteria rentowności stanowią jedynie narzędzie pomocnicze w podejmowaniu decyzji. Byłoby

wielką pomyłką przydzielanie im magicznej władzy akceptacji lub odrzucenia jakiegoś

projektu tylko z powodu jego pozycji w stosunku do takiego to a takiego kryterium.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

W rzeczywistości uzyskane rezultaty są różne w zależności od przyjętego kryterium, a

obliczenia są wykonywane na bazie wielu hipotez mniej lub bardziej niepewnych (ceny

surowców, ceny wyrobów finalnych, stopa dyskontowa itd...);

Każde kryterium ma swoje precyzyjne znaczenie wypływające ze sposobu jego wyliczenia.

W zależności od rodzaju projektu, takie lub inne kryterium będzie miało większy lub mniejszy

ciężar gatunkowy: w projekcie o dużym ryzyku przestarzałości kryterium okresu zwrotu

nakładów kapitałowych będzie bardziej znaczące od wewnętrznej stopy zwrotu.

Badania czułości kryteriów rentowności na zmiany wartości hipotez bazowych są zasadniczymi

dla wykrycia, które hipotezy są podstawowymi (najbardziej wpływowymi) i począwszy od

jakich wartości tych hipotez rentowność projektu może być wątpliwa. Badania te, na bazie

prawdopodobieństwa osiągnięcia tych wartości – kluczowych, pomagają w podjęciu decyzji

o realizacji projektu.

Przewodnik po ćwiczeniach

wiczenie nr 10:

Rachunek aktualizacji

Wprowadzenie

Oceniając efektywność inwestycji, dokonujemy porównań między bieżącymi nakładami

inwestycyjnymi, a przyszłymi dochodami z inwestycji. Zbilansowanie i porównanie wydatków

i efektów wymaga przeliczenia ich wartości na określony, dowolnie wybrany moment czasowy.

Rolę narzędzia sprowadzającego nakłady i efekty w rachunku inwestycji do porównywalności

czasowej pełni metoda rachunku aktualizacji. Metoda ta opiera się na analizie rachunku

oprocentowania i dyskonta, za pomocą którego dokonuje się bezpośredniego powiązania wartości

z czasem. U podstaw metody rachunku aktualizacji leży założenie, że wartość wydatków lub

wpływów jest funkcją czasu o charakterze wykładniczym. Wielkość zmiany wartości wydatków lub

wpływów w czasie, jest stymulowana przyjęciem określonej wielkości stopy procentowej. Zmiana

wartości kapitału w czasie może być dokonywana w dyskretnych przedziałach czasu lub ciągle

w czasie. W praktyce rachunku ekonomicznej efektywności inwestycji stosuje się rachunek

aktualizacji w odmianie dyskretnej.

Podstawowe założenia dla rachunku aktualizacji w odmianie dyskretnej są następujące:

dyskretnym przedziałem czasu jest jeden rok.

stopa procentowa wynosi r procent w skali roku.

kwoty podlegające oprocentowaniu (wpływy lub wydatki) kumulowane są na końcu

każdego roku.

odsetki są dopisywane do wartości wyjściowej na końcach dyskretnych przedziałów czasu.

Rachunek oprocentowania i rachunek dyskonta

Rachunek oprocentowania jest jedną z podstawowych metod służących analizie ekonomicznej

efektywności projektu. Umożliwia ona porównanie różnych rozwiązań możliwych do realizacji

w ramach jednego projektu. Wprowadzenie porównawczej metody wynika z faktu, iż oceniane

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

warianty rozwiązań mogą się różnić długością okresu realizacji i eksploatacji oraz rozkładem

nakładów i efektów.

Dyskontowanie jest odwrotnością oprocentowania i wyznacza aktualną wartość kapitału, która

wystąpi w przyszłości.

W rachunku aktualizacji stosowane są następujące oznaczenia:

- wartość początkowa kapitału zainwestowanego na oprocentowanie,

r - stopa procentowa,

O - kwota odsetek,

t - czas oprocentowania,

T – ilość dni w roku (banki przyjmują najczęściej 365 dni),

- wartość przyszła kapitału zainwestowanego na oprocentowanie,

Oprocentowanie proste

Kwota odsetek przy oprocentowaniu prostym zależy od wartości początkowej kapitału k

, stopy

procentowej r oraz czasu oprocentowania T według poniższego wzoru:

100

⋅

(10.1)

Przykład:

Przedsiębiorca ulokował w banku 5 maja 10 000 zł na okres 1 roku. Warunki lokaty określają,

e w przypadku wcześniejszego podjęcia kwoty, zamiast stopy procentowej 15%, klientowi

przysługuje roczna stopa procentowa 9%. Przedsiębiorca zmuszony był pobrać ulokowaną w banku

kwotę 30 grudnia tego samego roku, wobec tego otrzymał odsetki w kwocie:

589

239

365

100

10000

100

⋅

zł

Przewodnik po ćwiczeniach

Oprocentowanie proste w okresie rocznym

Oprocentowanie proste stosowane jest w praktyce w okresie krótszym niż rok, co nie oznacza, ze

nie można go stosować dla okresów rocznych. W przypadku rocznego naliczania oprocentowania,

przyrost kapitału początkowego k

w kolejnych latach określimy następująco:

po pierwszym roku

)

(

⋅

(10.2)

po drugim roku

)

(

)

(

⋅

(10.3)

po n – tym roku

)

(

⋅

−

(10.4)

Przykład:

Ulokowana w banku kwota 10 000 zł na oprocentowanie roczne w wysokości 15% bez możliwości

kapitalizacji odsetek, po pięciu latach wyniesie:

17500

)

(

10000

)

(

⋅

zł

Oprocentowanie składane

Rachunek oprocentowania składanego polega na tym, że kwota odsetek w każdym okresie

obliczeniowym powiększa podstawę naliczania odsetek dla okresu następnego. Dla rocznego okresu

oprocentowania rachunek ten przedstawia się następująco:

po pierwszym roku

)

(

⋅

(10.5)

po drugim roku

)

(

)

(

⋅

(10.6)

po n - tym roku

)

(

(10.7)

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Wyrażenie (1+r)

= b

nazywamy współczynnikiem oprocentowania

(załącznik 1). Korzystając

z współczynnika b

można obliczyć wartość końcową k

przy pomocy wzoru:

⋅

(10.8)

Przykład:

Kwota 10 000 zł ulokowana w banku, przy oprocentowaniu rocznym w wysokości 15%

i kapitalizacji rocznej odsetek, po pięciu latach wyniesie:

20113

)

(

10000

)

(

zł

Wzór na oprocentowanie składane można wykorzystać nie tylko do wyznaczenia wartości k

, ale

także w przypadkach, gdy chcemy uzyskać informacje dotyczące:

kwoty k

, jaką należy zdeponować w banku aby po okresie n lat oraz przy oprocentowaniu

rocznym r uzyskać kwotę k

okresu czasu, na jaki należy zdeponować w banku kwotę k

, przy oprocentowaniu rocznym r,

aby kapitał początkowy k

powiększył się do kwoty k

wysokości oprocentowania r , na jaką należy złożyć kapitał k

, tak aby po n latach wzrósł do

wartości k

Kapitał pocz

tkowy

Zakładamy, że po n latach od aktualnej chwili musimy dysponować kwotą k

. Wiedząc, że

oprocentowanie roczne w wybranym banku wynosi r, chcemy wiedzieć jaką kwotę k

musimy

ulokować w banku, aby spełnić powyższe oczekiwanie. Wykorzystujemy w tym celu następujący

wzór:

)

(

(10.9)

Przewodnik po ćwiczeniach

Przykład:

Jaką kwotę musimy ulokować w banku, przy oprocentowaniu rocznym w wysokości 15%, jeżeli za

pięć lat chcemy dysponować kwotą 10 000 zł?

4971

)

(

10000

)

(

zł

Stopa procentowa

Aby obliczyć wysokość stopy procentowej, przy założonej kwocie k

oraz k

i okresie oczekiwania

n należy skorzystać ze wzoru:

−

(10.10)

Przykład:

Jaka powinna być wielkość stopy oprocentowania, aby po wpłaceniu 50 000 zł, po pięciu latach

uzyskać kwotę 120 000 zł ?

1913

50000

120000

−

czyli 19,13%

Oprocentowanie składane z kapitalizacj

odsetek w ci

gu roku

Kapitalizacja odsetek, czyli dopisywanie odsetek do podstawy oprocentowania w rachunku

oprocentowania składanego może być dokonywane nie tylko na koniec roku, ale również m. razy w

ciągu roku. W takim przypadku stopę procentową dla każdego okresu kapitalizacji odsetek w ciągu

roku możemy wyznaczyć według wzoru:

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

(10.11)

Kapitał początkowy k

wyniesie:

po pierwszym okresie pierwszego roku:













)

(

(10.12)

po drugim okresie pierwszego roku:

)

(

)

(

)

(













⋅

























(10.13)

po m - tym okresie, czyli na koniec pierwszego roku:

)

(

)

(

























⋅













⋅

























−

(10.14)

W następnych latach kapitalizacja odsetek również będzie dokonywana m razy w ciągu roku. Pod

koniec kolejnego roku kapitał początkowy wzrośnie do kwoty:

po drugim roku













(10.15)

po n – tym roku

⋅













(10.16)

Przewodnik po ćwiczeniach

Przykład:

Bank oferuje oprocentowanie roczne 13% oraz kwartalną kapitalizację odsetek czyli m = 4.

Zdeponowany w tym banku kapitał 10 000 zł po okresie dwóch lat wyniesie:

12915

10000

























⋅

zł

Efektywna stopa procentowa

Efektywna stopa procentowa wynika z m.- krotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku, zaś jej

wartość możemy wyznaczyć z wzoru:

−













(10.17)

Przykład:

Oferowana przez bank efektywna stopa procentowa, przy nominalnej stopie procentowej r = 12%,

oraz miesięcznej kapitalizacji odsetek w ciągu roku wyniesie:

1268

−













−













zł,

czyli 12,68%

Dyskontowanie proste

Jeżeli k

jest kapitałem, którym będziemy dysponować w przyszłości, to jego aktualną wartość

obliczymy korzystając ze wzoru:

)

(

⋅

(10.18)

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Przykład:

Ile wyniesie aktualna wartość 15 000 zł, po okresie trzech lat przy nominalnej stopie procentowej

20%?

9375

)

(

15000

)

(

⋅

zł

Dyskontowanie składane

Aktualną wartość kapitału obliczymy ze wzoru:

)

(

(10.19)

Współczynnik

)

(

(10.20)

nazywany jest współczynnikiem dyskontującym.

W obliczeniach praktycznych podany jest w postaci tablicy (załącznik 2).

Przykład:

Za dwa lata wartość nieruchomości wzrośnie do 2 000 000 zł. Aktualną wartość nieruchomości,

przy rocznej stopie procentowej 15% wyznaczymy w następujący sposób:

1512287

)

(

2000000

)

(

zł

Wartość kapitału zdyskontowaną na aktualny moment czasowy z kapitalizacją odsetek w ciągu n lat

i m. okresów w ciągu roku wyznaczymy ze wzoru:

⋅













(10.21)

Przewodnik po ćwiczeniach

Współczynnikiem dyskontującym w tym przypadku jest wyrażenie;

⋅













(10.22)

Przykład:

Jaką wielkość kapitału należy zdeponować w banku, który oferuje oprocentowanie 18% oraz

comiesięczną kapitalizację odsetek, aby po dwóch latach otrzymać kwotę 70 000 zł?

41582

70000

























⋅

zł

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadania do wykonania

Zadanie 1

Oblicz poniższe wartości używając równań, a następnie rozwiąż zadania przy pomocy tablic, aby
sprawdzić poprawność odpowiedzi.

Podaj wartość przyszłą 5000 zł kapitalizowanych przez rok na 6%.

Podaj wartość przyszłą 5000 zł kapitalizowanych przez 10 lat na 12%.

Podaj wartość obecną 5000 zł należnych za rok przy 6% stopie dyskontowej.

Podaj wartość obecną 5000 zł należnych za 10 lat przy 12% stopie dyskontowej.

.................................................................................................................................................................

Zadanie 2

Oblicz sumę, do której urośnie 5000 zł w każdej z następujących sytuacji:

12% odsetek kapitalizowanych półrocznie przez 5 lat,

12% odsetek kapitalizowanych kwartalnie przez 5 lat,

12% odsetek kapitalizowanych miesięcznie przez 5 lat.

.................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

Zadanie 3

Oblicz wartość obecną 5000 zł należnych w przyszłości w następujących sytuacjach:

Stopa nominalna 12%, kapitalizacja półroczna, dyskontowanie 5 lat wstecz,

Stopa nominalna 12%, kapitalizacja kwartalna, dyskontowanie 5 lat wstecz,

Stopa nominalna 12%, kapitalizacja miesięczna, dyskontowanie 5 lat wstecz.

.................................................................................................................................................................

Zadanie 4

Która kwota jest warta więcej przy oprocentowaniu wynoszącym 14%:

10 000 zł dzisiaj,

20 000 zł należnych za 6 lat.

.................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

Zadanie 5

Podaj z przybliżeniem do 1 roku, jak długo trzeba czekać na podwojenie sumy 200 zł, jeżeli jest ona
złożona na rachunku przy następujących stopach procentowych:

a) 7%,

b) 10%

c) 18%

.................................................................................................................................................................

Zadanie 6

Bank A płaci 7% odsetek kapitalizowanych rocznie na rachunkach terminowych. Bank B płaci 6%
odsetek kapitalizowanych kwartalnie.

Opierając swój wybór na efektywnych stopach procentowych, w którym banku wolałbyś

złożyć swoje pieniądze?

Czy fakt, że być może będziesz chciał wycofać pieniądze w ciągu roku, a nie po jego

upływie, będzie miał wpływ na wybór banku? Załóż, że fundusze muszą być zdeponowane
na rachunku przez cały okres kapitalizacji, abyś otrzymał odsetki.

.................................................................................................................................................................

Przewodnik po ćwiczeniach

Zadanie 7

Firma Atlantic zainwestowała 4 mln dol. w celu wykarczowania działki i zasadzenia na niej
młodych drzew. Drzewa wyrosną za 10 lat i wówczas firma spodziewa się sprzedać ten las za 8 mln
dol. Jaka jest oczekiwana stopa dochodu firmy?

.................................................................................................................................................................

Zadanie 8

Przedsiębiorca pewnej firmy obliczył, że po uruchomieniu nowej linii produkcyjnej osiągnie po
drugim roku produkcji przychód ze sprzedaży w ilości 10 000 zł. Ile wynosi aktualna wartość
przewidywanego przychodu przy nominalnej stopie procentowej 15%?

.................................................................................................................................................................

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

100

wiczenie nr 11:

Próg rentowno

Analiza progu rentowności stanowi niezwykle pomocny instrument zarządzania przedsiębiorstwem

w gospodarce rynkowej. Obejmuje ona badanie tzw. punktu wyrównania

(break even point -BEP),

w którym realizowane przychody ze sprzedaży dokładnie pokrywają poniesione koszty.

Przedsiębiorstwo nie osiąga wówczas zysku, ale też nie ponosi straty. Rentowność sprzedaży jest

równa zero, co oznacza, że firma osiągnęła próg rentowności.

Metoda analizy progu rentowności opiera się na podziale ogółu kosztów na stałe i zmienne. Stwarza

to pewne ograniczenie wykorzystania jej w przedsiębiorstwach prowadzących rachunek kosztów

oparty na innych zasadach. Pomimo to, jest ona coraz powszechniej stosowana.

Próg rentowności może być wyrażony ilościowo lub wartościowo. Może on ponadto informować,

jaką część zdolności produkcyjnej (lub przewidywanego popytu) trzeba wykorzystać, aby

ponoszone koszty zrównoważyć przychodami ze sprzedaży. Do wyznaczenia progu rentowności

możemy zastosować odpowiednie równania matematyczne lub posłużyć się metodą graficzną.

W obu przypadkach przyjmujemy następujące założenia upraszczające:

wartość produkcji w badanym okresie jest równa wartości sprzedaży,

koszty produkcji są funkcją wielkości produkcji,

stałe koszty produkcji są jednakowe dla każdej wielkości produkcji,

jednostkowe koszty zmienne są stałe i wskutek tego całkowite koszty zmienne produkcji

zmieniają się proporcjonalnie do wielkości produkcji,

jednostkowe ceny sprzedaży poszczególnych wyrobów nie ulegają zmianie z upływem czasu

i nie zmieniają się również wraz ze zmianą skali produkcji w całym badanym okresie; wartość

sprzedaży jest więc funkcją liniową jednostkowej ceny sprzedaży i ilości sprzedanych

wyrobów,

poziom jednostkowych kosztów zmiennych i stałych kosztów produkcji pozostaje

niezmieniony w całym badanym okresie.

Przewodnik po ćwiczeniach

101

Próg rentowno

ci przy produkcji jedno asortymentowej

Na poziom tego progu rentowności wpływają wówczas następujące czynniki: wielkość produkcji

(sprzedaży), cena wyrobu, jednostkowe koszty zmienne, stałe koszty produkcji.

Znając ich wielkość tych czynników, możemy obliczyć:

wartość sprzedaży według równania:

S = P * c

(11.1)

gdzie:

- wartość sprzedaży,

- ilość sprzedanych wyrobów,

-jednostkowa cena sprzedaży,

poziom kosztów całkowitych według równania:

Kc = Ks + P * kz

(11.2)

gdzie:

- całkowite koszty produkcji,

- stałe koszty produkcji,

- jednostkowe koszty zmienne,

- pozostałe oznaczenia jak we wzorze (11.1).

Próg rentowności znajduje się w punkcie, w którym wartość sprzedaży jest równa poziomowi

kosztów całkowitych, a więc:

S =

Kc, ⇒ P * c = Ks + P * kz

(11.4)

Ze względu na ograniczenie czasowe analizę problemu progu rentowności dla produkcji

wieloasortymentowej pozostawiamy do samodzielnego zbadania.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

102

Gdzie wszystkie oznaczenia jak we wzorach powyżej. Przekształcając powyższe równanie

obliczymy próg rentowności w wyrażeniu:

ilościowym:

BEP

−

(11.5)

gdzie:

BEP - próg rentowności w wyrażeniu ilościowym,

wartościowym:

BEP

BEP'

−

(11.6)

gdzie:

BEP' - próg rentowności w wyrażeniu wartościowym,

jako stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej (lub stopień zaspokojenia przewidywanego

popytu):

100

BEP

100

kz)

BEP'

−

(11.7)

gdzie:

BEP" - próg rentowności (procentowy),

- maksymalna ilość sprzedanych wyrobów określona na podstawie zdolności

produkcyjnej lub prognozy popytu,

Na podstawie równań wartości sprzedaży oraz kosztów całkowitych możliwe jest również graficzne

wyznaczenie progu rentowności (rys. 11).

Schemat ten obrazuje ilościowy i wartościowy próg rentowności. Pozwala on również ocenić, jaką

część zdolności produkcyjnej należy wykorzystać dla osiągnięcia progu rentowności. Porównanie

Przewodnik po ćwiczeniach

103

krzywej wartości sprzedaży i kosztów całkowitych umożliwia ponadto ustalenie przewidywanego

poziomu zysku, w zależności od zrealizowanej wielkości sprzedaży. Przy pełnym wykorzystaniu

zdolności produkcyjnej zysk ten wyniesie:

* c - (Ks + P

* kz)

(11.8)

gdzie:

- poziom zysku przy pełnym wykorzystaniu zdolności produkcyjnej (lub pełnym

zaspokojeniu przewidywanego popytu),

- pozostałe oznaczenia, jak we wzorach (11.1), (11.2) i (11.7).

Sposób obliczania progu rentowności przy produkcji jednoasortymentowej zilustrujemy

przykładem.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

104

Rys. 11. Graficzne wyznaczenie progu rentowno

Wartość sprzedaży

Koszty całkowite

Wielkość sprzedaży

Zdolność produkcyjna
(lub prognoza popytu)

BEP’

BEP

BEP’’

100%

strata

S=P*c

zysk

Kc=Ks+P*kz

Przewodnik po ćwiczeniach

105

Przykład

Przedsiębiorstwo produkuje jeden wyrób. Koszty jednostkowe zmienne tego wyrobu wynoszą 440

tys. zł/szt. Przewiduje się, że przy cenie 580 tys. zł/szt. efektywny popyt wyniesie 24000 szt.

W ciągu roku. Stałe koszty funkcjonowania przedsiębiorstwa kształtują się na poziomie 1 330

mln zł rocznie.

Próg rentowności przedsiębiorstwa obliczony na podstawie równań (11.5), (11.6) i (11.7) wynosi:

9500szt.

440

580

1330000

BEP

−

BEP' = 9500x580 = 5510000 tys. zł

39,6%

100

24000

9500

BEP'

Obliczenie progu rentowności przedsiębiorstwa stwarza szerokie możliwości dalszej analizy.

Obejmuje ona przede wszystkim ocenę kształtowania się rentowności w przypadku zmian

poszczególnych czynników wpływających na jej poziom. Szczególne znaczenie ma przy tym

zbadanie:

jaki ewentualny spadek popytu na produkowane wyroby może doprowadzić do całkowitej

utraty rentowności przez przedsiębiorstwo,

jakie są możliwości zwiększenia zysku przedsiębiorstwa poprzez kształtowanie czynników

określających jego poziom.

Przedsiębiorstwo funkcjonujące w gospodarce rynkowej narażone jest stale na niebezpieczeństwo

spadku sprzedaży wyrobów na skutek zmian warunków rynkowych. Stąd celowe jest ustalenie tzw.

wskaźnika bezpieczeństwa, obrazującego wrażliwość przedsiębiorstwa na spadek popytu

zgłaszanego przez rynek na jego wyroby. Wskaźnik ten obliczymy na podstawie równania:

BEP

−

(11.9)

gdzie:

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

106

- wskaźnik bezpieczeństwa,

- pozostałe oznaczenia jak we wzorze (11.7).

Jeżeli do osiągnięcia progu rentowności konieczne jest zaspokojenie pełnego popytu, to W

= O

(zero). Oznacza to, że już w chwili obecnej przedsiębiorstwo nie osiąga zysku. Każdy spadek

popytu na produkowane wyroby przyniesie więc stratę. Z kolei im wyższy wskaźnik

bezpieczeństwa (W

→ 1), tym większy spadek popytu może ono przetrwać nie ponosząc strat.

Przykładowo W

= 0,5 oznacza, że nawet spadek popytu o 50% nie spowoduje straty, chociaż

zredukuje zysk przedsiębiorstwa do zera.

Ważną informacją dla bieżącego zarządzania przedsiębiorstwem jest również zbadanie

potencjalnych możliwości podniesienia jego rentowności. Możliwości te tkwią zarówno po stronie

przychodów ze sprzedaży, jak i po stronie kosztów.

Na podstawie danych przykładu 1 zbadamy, czy podniesienie ceny do poziomu 620 tys. zł/szt.

będzie dla przedsiębiorstwa opłacalne, jeżeli przyniesie spadek popytu do poziomu 20000 szt.

rocznie. Przy pełnym zaspokojeniu tego popytu przedsiębiorstwo osiągnie zysk:

Z’

= 2 0000 * 620 - (1 330 000 + 20000 * 440) = 2 270 000 tys. zł.

W sytuacji wyjściowej zysk realizowany przy sprzedaży 24 000 szt. Wyrobów wynosił 2 030 mln

zł, był więc niższy o 240 mln zł w stosunku do zysku osiągniętego po zmianie ceny, co uzasadnia

jej podwyższenie.

Możliwości podniesienia rentowności przedsiębiorstwa tkwią również w dążeniu do obniżenia

zarówno stałych, jak i zmiennych elementów kosztów. W każdym przypadku prowadzi to do

zwiększania poziomu realizowanego zysku.

Obniżenie poziomu kosztów nie tylko zwiększa rentowność przedsiębiorstwa, lecz przyczynia się

również, poprzez zmniejszenie progu rentowności, do rozszerzenia marginesu bezpieczeństwa.

Wzrost kosztów wywoła natomiast przeciwne skutki. Wskazuje to na potrzebę stałej kontroli

poziomu kosztów i szukania możliwości ich obniżenia.

Przewodnik po ćwiczeniach

107

Zadania do wykonania

Wyznaczyć wielkość progu rentowności produkcji dla poniższych danych

Sprzedaż w kraju -

1 800 000 szt/rok,

Sprzedaż na eksport -

750 000 szt/rok,

Zdolności produkcyjne -

2 850 000 szt/rok.

Cena zbytu:

Wariant 1

Jednostka

Cena zbytu na kraj

zł/szt

221,07

226,29

231,90

230,03

210,26

Cena zbytu na eksport

zł/szt

152,07

153,29

154,90

156,03

157,26

Wariant 2

Jednostka

Cena zbytu na kraj

zł/szt

211,07

215,29

233,90

245,03

190,26

Cena zbytu na eksport

zł/szt

155,10

155,68

157,30

158,35

159,58

Wariant 3

Jednostka

Cena zbytu na kraj

zł/szt

195,07

202,29

205,90

210,03

215,26

Cena zbytu na eksport

zł/szt

148,63

148,40

150,02

151,20

152,60

Koszt sprzeda

[mln. zł]

Wyszczególnienie

Udział kosztu

stałego w

koszcie ogółem

Amortyzacja

100%

28,655

27,743

42,004

39,155

34,640

Zużycie materiałów

30%

84,252

84,914

85,241

83,679

Energia

34,945

34,420

33,531

33,260

Usługi

80%

76,749

75,662

75,124

74,147

70,815

Wynagrodzenia z narzutami

90%

229,272 220,102 213,319 206,228 195,748

Opłaty oraz podatki

35%

20,639

21,111

21,997

22,065

23,095

Ubezpieczenia

100%

15,091

13,929

14,181

13,067

12,072

Pozostałe koszty

80%

30,959

31,293

30,616

29,826

29,070

Razem

520,562

508,512

515,686 502,989

482,379

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

108

Wyznaczenie progu rentowno

ci dla produkcji jednolitej metod

analityczn

Wyznaczenie progu rentowno

ci dla produkcji jednolitej metod

graficzn

P(0) =

P(zp) =

Kc(0) =

Kc(zp) =

Sprzeda

; [szt/d], [mln. szt]

;

ł]

Wyszczególnienie

Koszt razem

mln zł

Wska

nik udziału kosztów

stałych

Koszty stałe

mln zł

Koszty zmienne ogółem

mln zł

Koszty zmienne
jednostkowe

zł/szt

Jednostkowa cena

zł/szt

BEP

Przewodnik po ćwiczeniach

109

wiczenie nr 12:

Okres zwrotu nakładów, warto

ść

kapitałowa

OKRES ZWROTU NAKŁADÓW INWESTYCYJNYCH

Technika ta polega na określaniu czasu, w jakim następuje zrównanie przewidywanych nakładów

inwestycyjnych z nadwyżkami finansowymi, których uzyskania oczekuje się dzięki realizacji

danego projektu. Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych można ustalić, kompensując stopniowo

ich wielkość kolejnymi corocznymi kwotami przewidywanych nadwyżek finansowych. Za bardziej

efektywne uważa się projekty, które zapewniają najkrótszy okres zwrotu nakładów inwestycyjnych.

Przyjmuje się zatem założenie, ze im wcześniej zostaną wycofane zainwestowane kapitały, tym

mniejsze jest ryzyko związane z danym projektem. Jednocześnie zwolnione wcześniej kapitały

można przeznaczyć na finansowanie innych przedsięwzięć inwestycyjnych.

PRZYKŁAD

Spółka rozważa dwie alternatywy inwestycyjne w celu zwiększenia zysków. Pierwsza wymaga

nakładów inwestycyjnych w wysokości 28.000 tys. zł, a okres eksploatacji inwestycji wynosiłby

5 lat. Druga łączy się z koniecznością poniesienia nakładów 35.000 tys. zł, a okres eksploatacji

inwestycji wydłużyłby się do 7 lat. Przewidywana nadwyżka finansowa (zysk netto plus

amortyzacja) w poszczególnych latach eksploatacji rozpatrywanych obiektów i jej porównanie

z kalkulowanymi nakładami inwestycyjnymi przedstawia się jak w tablicy 5

Kalkulacja wskazuje, że obie alternatywy są opłacalne. Jednak w razie realizacji pierwszej

alternatywy zwrot nakładów inwestycyjnych nastąpiłby po upływie 3,5 roku. Dla drugiej

alternatywy przewidywany okres zwrotu wynosi 4 lata. Wobec tego z punktu widzenia kryterium

czasu zwrotu nakładów inwestycyjnych korzystniejsza jest alternatywa I.

Przedstawiona metoda jest łatwa do stosowania i cechuje się znaczną przejrzystością. Posługiwanie

się nią może jednak prowadzić do błędnej decyzji, gdyż nie uwzględnia ona faktu zmiennej wartości

pieniądza w czasie. Wydatki inwestycyjne są bowiem ponoszone do momentu zakończenia

inwestycji, natomiast oczekiwane nadwyżki finansowe, które mają być wygospodarowane dzięki

realizacji rozpatrywanych projektów, będą realizowane stopniowo. Im dłużej trzeba oczekiwać na

uzyskanie nadwyżki, tym mniejsza jest zatem jej aktualna wartość.

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

110

Tablica 5. Zwrotno

ść

nakładów inwestycyjnych w nominalnym uj

ciu

Koniec

roku

Nakłady

Alternatywa I

Alternatywa II

Nadwyżka roczna

Nakłady

skompensowane

nadwyżką

Nadwyżka roczna

Nakłady

skompensowane

nadwyżką

28.000

35.000

8.000

- 20.000

8.000

- 27.000

8.000

- 12.000

8.000

- 19.000

8.000

- 4.000

9.000

- 10.000

8.000

+ 4.000

10.000

8.000

+ 12.000

18.000

+ 18.000

11.000

+ 29.000

4.000

+33.000

Razem

40.000

+ 12.000

68.000

+33.000

Powstaje zatem wątpliwość czy rozpatrywane projekty inwestycyjne zapewniają osiągnięcie z góry

zakładanej stopy zyskowności poniesionych nakładów, tj. czy preliminowane nadwyżki finansowe

pokryją nie tyko zwrot ale także koszt zaangażowanego kapitału ulokowanego w danych projektach.

Te niedoskonałości mogą być usunięte w razie zastosowania rachunku uwzględniającego

aktualizację wartości kalkulowanych nadwyżek finansowych (dyskonto), tj. sprowadzenia ich do

realnego poziomu, odpowiadającego poziomowi aktualnej wartości przewidywanych nakładów

inwestycyjnych.

AKTUALNA WARTO

ŚĆ

NADWY

KI FINANSOWEJ NETTO

Metoda ta polega na konfrontacji przewidywanych na realizację projektów nakładów ze

spodziewanymi nadwyżkami finansowymi, ale po uprzednim sprowadzeniu ich wartości do

aktualnego poziomu, uwzględniając określony z góry koszt zaangażowania kapitału (postulowaną

zyskowność inwestycji). Już we wstępnej fazie kalkulacji trzeba zatem określić pożądaną stopę

oprocentowania (koszt) kapitałów niezbędnych na realizację inwestycji. Koszt tego oprocentowania

powinny pokryć oczekiwane nadwyżki finansowe niezależnie od zwrotu nakładów. Następnie –

przy zastosowaniu pożądanej stopy oprocentowania – dyskontuje się kwoty nadwyżek finansowych

Przewodnik po ćwiczeniach

111

preliminowanych na poszczególne lata uwzględniając rachunek procentu składanego. Obliczenia

można dokonywać na podstawie wzoru:













100

(12.1)

gdzie:

N – nadwyżka finansowa w nominalnej wysokości,

– nadwyżka finansowa preliminowana na dany rok po zdyskontowaniu (aktualna wartość

nadwyżki),

d – stopa oprocentowania, tj. kosztu (postulowanej zyskowności) kapitału (preliminowanych

nakładów inwestycyjnych).

Znacznym ułatwieniem jest posługiwanie się tablicami zawierającymi już gotowe obliczone

wskaźniki dyskonta kapitału na końcu podręcznika.

Posługując się tymi współczynnikami można ustalić zdyskontowane dla poszczególnych lat kwoty

nadwyżek według formuły:

= N x V

(12.2)

gdzie:

– zdyskontowana nadwyżka finansowa danego roku,

N – pierwotna kwota nadwyżki finansowej danego roku,

V – współczynnik dyskonta dla określonego roku przy danej stopie dyskonta.

PRZYKŁAD

Założenia wstępne są analogiczne jak w poprzednim przykładzie, ale przyjmuje się dodatkowo, że

opłacalne będą projekty zapewniające zwrot poniesionych nakładów przy stopie co najmniej 18%

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

112

rocznie. Wobec tego kalkulacja opłacalności obu rozpatrywanych uprzednio alternatyw

inwestycyjnych kształtuje się jak w tablicy 6.

Tablica 6. Nadwy

ka finansowa netto dla rozpatrywanych wariantów inwestycji

Koniec

roku

Współczynnik

dyskonta dla

18%

Alternatywa I

Alternatywa II

Nadwyżki finansowe

nominalne

zdyskonto-

wane

nominalne

zdyskonto-

wane

0.847458

8.000

6.780

8.000

6.780

0.718184

8.000

5.745

8.000

5.745

0.608631

8.000

4.869

9.000

5.478

0.515789

8.000

4.126

10.000

5.158

0.437109

8.000

3.497

18.000

7.868

0.370432

11.000

4.075

0.313925

4.000

1.256

Razem nadwyżka

Nakłady inwestycyjne

40.000

25.017

28.000

68.000

36.360

35.000

Różnica

- 2.983

+ 1.360

Dane kalkulacji informują, że alternatywa pierwsza nie zapewnia pełnego zwrotu nakładów

inwestycyjnych przy postulowanej minimalnej stopie zyskowności zaangażowania kapitału. Zwrot

taki – nawet z pewną nadwyżką – zapewnia projekt drugi i wobec tego on może być realizowany.

Jak wynika z przykładu, przy posługiwaniu się metodą oceny projektów inwestycyjnych na

podstawie aktualnej wartości nadwyżki finansowej netto (ang. net present value – NPV), za

efektywne uznaje się alternatywy, przy których suma zdyskontowanych nadwyżek przekracza lub

co najmniej wyrównuje preliminowane nakłady początkowe.

Przewodnik po ćwiczeniach

113

Zadania do wykonania

Zadanie 1

Firma „Xon” rozważa zainwestowanie wolnych środków w trzy alternatywne przedsięwzięcia. Dla
poniżej przedstawionych wielkości nadwyżki finansowej w poszczególnych wariantach określić
okres zwrotu nakładów inwestycyjnych.

Wielko

ść

nakładów finansowych oraz nadwy

ki finansowej

Rozwi

zanie

Okres zwrotu nakładów:

Wariant 1 - ..................................

Wariant 2 - ..................................

Wariant 3 - ..................................

Nakłady

inwestycyjne

Rok

Wariant 1

92 000

25 000

27 000 25 000

23 000

21 000

20 000

20 000 20 000

18 000

16 000

Wariant 2

48 000

10 000

11 000 12 000

13 000

14 000

15 000

15 000 15 000

15 000

Wariant 3

67 500

20 000

20 000 20 000

20 000

Nadwy

ka roczna [zł]

Rok

Wariant 1

Wariant 2

Wariant 3

Nakłady skompensowane nadwy

[zł]

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

114

Zadanie 2

Założenia wstępne jak powyżej.

Oprocentowanie nakładów inwestycyjnych: ................. %

Nadwy

ka finansowa wynosi zatem:

Wariant 1 - ..................................

Wariant 2 - ..................................

Wariant 3 - ..................................

Nakłady

inwestycyjne

Rok

Współczynnki

dyskonta dla

....... % - ai

Wariant 1

N * ai

ΣΣΣΣ

Wariant 2

N * ai

ΣΣΣΣ

Wariant 3

N * ai

ΣΣΣΣ

Przewodnik po ćwiczeniach

115

ZAŁ

CZNIK 1

ROK

10%

1,0100

1,0200

1,0300

1,0400

1,0500

1,0600

1,0700

1,0800

1,1000

1,0201

1,0404

1,0609

1,0816

1,1025

1,1236

1,1449

1,1664

1,2100

1,0303

1,0612

1,0927

1,1249

1,1576

1,1910

1,2250

1,2597

1,3310

1,0406

1,0824

1,1255

1,1699

1,2155

1,2625

1,3108

1,3605

1,4641

1,0510

1,1041

1,1593

1,2167

1,2763

1,3382

1,4026

1,4693

1,6105

1,0615

1,1262

1,1941

1,2653

1,3401

1,4185

1,5007

1,5869

1,7716

1,0721

1,1487

1,2299

1,3159

1,4071

1,5036

1,6058

1,7138

1,9487

1,0829

1,1717

1,2668

1,3686

1,4775

1,5938

1,7182

1,8509

2,1436

1,0937

1,1951

1,3048

1,4233

1,5513

1,6895

1,8385

1,9990

2,3579

1,1046

1,2190

1,3439

1,4802

1,6289

1,7908

1,9672

2,1589

2,5937

1,1157

1,2434

1,3842

1,5395

1,7103

1,8983

2,1049

2,3316

2,8531

1,1268

1,2682

1,4258

1,6010

1,7959

2,0122

2,2522

2,5182

3,1384

1,1381

1,2936

1,4685

1,6651

1,8856

2,1329

2,4098

2,7196

3,4523

1,1495

1,3195

1,5126

1,7317

1,9799

2,2609

2,5785

2,9372

3,7975

1,1610

1,3459

1,5580

1,8009

2,0789

2,3966

2,7590

3,1722

4,1772

1,1726

1,3728

1,6047

1,8730

2,1829

2,5404

2,9522

3,4259

4,5950

1,1843

1,4002

1,6528

1,9479

2,2920

2,6928

3,1588

3,7000

5,0545

1,1961

1,4282

1,7024

2,0258

2,4066

2,8543

3,3799

3,9960

5,5599

1,2081

1,4568

1,7535

2,1068

2,5270

3,0256

3,6165

4,3157

6,1159

1,2202

1,4859

1,8061

2,1911

2,6533

3,2071

3,8697

4,6610

6,7275

ROK

12%

14%

16%

18%

20%

25%

30%

35%

40%

1,1200

1,1400

1,1600

1,1800

1,2000

1,2500

1,3000

1,3500

1,4000

1,2544

1,2996

1,3456

1,3924

1,4400

1,5625

1,6900

1,8225

1,9600

1,4049

1,4815

1,5609

1,6430

1,7280

1,9531

2,1970

2,4604

2,7440

1,5735

1,6890

1,8106

1,9388

2,0736

2,4414

2,8561

3,3215

3,8416

1,7623

1,9254

2,1003

2,2878

2,4883

3,0518

3,7129

4,4840

5,3782

1,9738

2,1950

2,4364

2,6996

2,9860

3,8147

4,8268

6,0534

7,5295

2,2107

2,5023

2,8262

3,1855

3,5832

4,7684

6,2749

8,1722

10,5414

2,4760

2,8526

3,2784

3,7589

4,2998

5,9605

8,1573

11,0324

14,7579

2,7731

3,2519

3,8030

4,4355

5,1598

7,4506

10,6045

14,8937

20,6610

3,1058

3,7072

4,4114

5,2338

6,1917

9,3132

13,7858

20,1066

28,9255

3,4785

4,2262

5,1173

6,1759

7,4301

11,6415

17,9216

27,1439

40,4957

3,8960

4,8179

5,9360

7,2876

8,9161

14,5519

23,2981

36,6442

56,6939

4,3635

5,4924

6,8858

8,5994

10,6993

18,1899

30,2875

49,4697

79,3715

4,8871

6,2613

7,9875

10,1472

12,8392

22,7374

39,3738

66,7841

111,1201

5,4736

7,1379

9,2655

11,9737

15,4070

28,4217

51,1859

90,1585

155,5681

6,1304

8,1372

10,7480

14,1290

18,4884

35,5271

66,5417

121,7139

217,7953

6,8660

9,2765

12,4677

16,6722

22,1861

44,4089

86,5042

164,3138

304,9135

7,6900

10,5752

14,4625

19,6733

26,6233

55,5112

112,4554

221,8236

426,8789

8,6128

12,0557

16,7765

23,2144

31,9480

69,3889

146,1920

299,4619

597,6304

9,6463

13,7435

19,4608

27,3930

38,3376

86,7362

190,0496

404,2736

836,6826

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

116

ZAŁ

CZNIK 2

ROK

10%

0,9901

0,9804

0,9709

0,9615

0,9524

0,9434

0,9346

0,9259

0,9091

0,9803

0,9612

0,9426

0,9246

0,9070

0,8900

0,8734

0,8573

0,8264

0,9706

0,9423

0,9151

0,8890

0,8638

0,8396

0,8163

0,7938

0,7513

0,9610

0,9238

0,8885

0,8548

0,8227

0,7921

0,7629

0,7350

0,6830

0,9515

0,9057

0,8626

0,8219

0,7835

0,7473

0,7130

0,6806

0,6209

0,9420

0,8880

0,8375

0,7903

0,7462

0,7050

0,6663

0,6302

0,5645

0,9327

0,8706

0,8131

0,7599

0,7107

0,6651

0,6227

0,5835

0,5132

0,9235

0,8535

0,7894

0,7307

0,6768

0,6274

0,5820

0,5403

0,4665

0,9143

0,8368

0,7664

0,7026

0,6446

0,5919

0,5439

0,5002

0,4241

0,9053

0,8203

0,7441

0,6756

0,6139

0,5584

0,5083

0,4632

0,3855

0,8963

0,8043

0,7224

0,6496

0,5847

0,5268

0,4751

0,4289

0,3505

0,8874

0,7885

0,7014

0,6246

0,5568

0,4970

0,4440

0,3971

0,3186

0,8787

0,7730

0,6810

0,6006

0,5303

0,4688

0,4150

0,3677

0,2897

0,8700

0,7579

0,6611

0,5775

0,5051

0,4423

0,3878

0,3405

0,2633

0,8613

0,7430

0,6419

0,5553

0,4810

0,4173

0,3624

0,3152

0,2394

0,8528

0,7284

0,6232

0,5339

0,4581

0,3936

0,3387

0,2919

0,2176

0,8444

0,7142

0,6050

0,5134

0,4363

0,3714

0,3166

0,2703

0,1978

0,8360

0,7002

0,5874

0,4936

0,4155

0,3503

0,2959

0,2502

0,1799

0,8277

0,6864

0,5703

0,4746

0,3957

0,3305

0,2765

0,2317

0,1635

0,8195

0,6730

0,5537

0,4564

0,3769

0,3118

0,2584

0,2145

0,1486

ROK

12%

14%

16%

18%

20%

25%

30%

35%

40%

0,8929

0,8772

0,8621

0,8475

0,8333

0,8000

0,7692

0,7407

0,7143

0,7972

0,7695

0,7432

0,7182

0,6944

0,6400

0,5917

0,5487

0,5102

0,7118

0,6750

0,6407

0,6086

0,5787

0,5120

0,4552

0,4064

0,3644

0,6355

0,5921

0,5523

0,5158

0,4823

0,4096

0,3501

0,3011

0,2603

0,5674

0,5194

0,4761

0,4371

0,4019

0,3277

0,2693

0,2230

0,1859

0,5066

0,4556

0,4104

0,3704

0,3349

0,2621

0,2072

0,1652

0,1328

0,4523

0,3996

0,3538

0,3139

0,2791

0,2097

0,1594

0,1224

0,0949

0,4039

0,3506

0,3050

0,2660

0,2326

0,1678

0,1226

0,0906

0,0678

0,3606

0,3075

0,2630

0,2255

0,1938

0,1342

0,0943

0,0671

0,0484

0,3220

0,2697

0,2267

0,1911

0,1615

0,1074

0,0725

0,0497

0,0346

0,2875

0,2366

0,1954

0,1619

0,1346

0,0859

0,0558

0,0368

0,0247

0,2567

0,2076

0,1685

0,1372

0,1122

0,0687

0,0429

0,0273

0,0176

0,2292

0,1821

0,1452

0,1163

0,0935

0,0550

0,0330

0,0202

0,0126

0,2046

0,1597

0,1252

0,0985

0,0779

0,0440

0,0254

0,0150

0,0090

0,1827

0,1401

0,1079

0,0835

0,0649

0,0352

0,0195

0,0111

0,0064

0,1631

0,1229

0,0930

0,0708

0,0541

0,0281

0,0150

0,0082

0,0046

0,1456

0,1078

0,0802

0,0600

0,0451

0,0225

0,0116

0,0061

0,0033

0,1300

0,0946

0,0691

0,0508

0,0376

0,0180

0,0089

0,0045

0,0023

0,1161

0,0829

0,0596

0,0431

0,0313

0,0144

0,0068

0,0033

0,0017

0,1037

0,0728

0,0514

0,0365

0,0261

0,0115

0,0053

0,0025

0,0012

-n

Przewodnik po ćwiczeniach

117

ZAŁ

CZNIK 3

ROK

10%

1,0000

2,0100

2,0200

2,0300

2,0400

2,0500

2,0600

2,0700

2,0800

2,1000

3,0301

3,0604

3,0909

3,1216

3,1525

3,1836

3,2149

3,2464

3,3100

4,0604

4,1216

4,1836

4,2465

4,3101

4,3746

4,4399

4,5061

4,6410

5,1010

5,2040

5,3091

5,4163

5,5256

5,6371

5,7507

5,8666

6,1051

6,1520

6,3081

6,4684

6,6330

6,8019

6,9753

7,1533

7,3359

7,7156

7,2135

7,4343

7,6625

7,8983

8,1420

8,3938

8,6540

8,9228

9,4872

8,2857

8,5830

8,8923

9,2142

9,5491

9,8975

10,2598

10,6366

11,4359

9,3685

9,7546

10,1591

10,5828

11,0266

11,4913

11,9780

12,4876

13,5795

10,4622

10,9497

11,4639

12,0061

12,5779

13,1808

13,8164

14,4866

15,9374

11,5668

12,1687

12,8078

13,4864

14,2068

14,9716

15,7836

16,6455

18,5312

12,6825

13,4121

14,1920

15,0258

15,9171

16,8699

17,8885

18,9771

21,3843

13,8093

14,6803

15,6178

16,6268

17,7130

18,8821

20,1406

21,4953

24,5227

14,9474

15,9739

17,0863

18,2919

19,5986

21,0151

22,5505

24,2149

27,9750

16,0969

17,2934

18,5989

20,0236

21,5786

23,2760

25,1290

27,1521

31,7725

17,2579

18,6393

20,1569

21,8245

23,6575

25,6725

27,8881

30,3243

35,9497

18,4304

20,0121

21,7616

23,6975

25,8404

28,2129

30,8402

33,7502

40,5447

19,6147

21,4123

23,4144

25,6454

28,1324

30,9057

33,9990

37,4502

45,5992

20,8109

22,8406

25,1169

27,6712

30,5390

33,7600

37,3790

41,4463

51,1591

22,0190

24,2974

26,8704

29,7781

33,0660

36,7856

40,9955

45,7620

57,2750

ROK

12%

14%

16%

18%

20%

25%

1,0000

2,1200

2,1400

2,1600

2,1800

2,2000

2,2500

3,3744

3,4396

3,5056

3,5724

3,6400

3,8125

4,7793

4,9211

5,0665

5,2154

5,3680

5,7656

6,3528

6,6101

6,8771

7,1542

7,4416

8,2070

8,1152

8,5355

8,9775

9,4420

9,9299

11,2588

10,0890

10,7305

11,4139

12,1415

12,9159

15,0735

12,2997

13,2328

14,2401

15,3270

16,4991

19,8419

14,7757

16,0853

17,5185

19,0859

20,7989

25,8023

17,5487

19,3373

21,3215

23,5213

25,9587

33,2529

20,6546

23,0445

25,7329

28,7551

32,1504

42,5661

24,1331

27,2707

30,8502

34,9311

39,5805

54,2077

28,0291

32,0887

36,7862

42,2187

48,4966

68,7596

32,3926

37,5811

43,6720

50,8180

59,1959

86,9495

37,2797

43,8424

51,6595

60,9653

72,0351

109,6868

42,7533

50,9804

60,9250

72,9390

87,4421

138,1085

48,8837

59,1176

71,6730

87,0680

105,9306

173,6357

55,7497

68,3941

84,1407

103,7403

128,1167

218,0446

63,4397

78,9692

98,6032

123,4135

154,7400

273,5558

72,0524

91,0249

115,3797

146,6280

186,6880

342,9447

−

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

118

ZAŁ

CZNIK 4

ROK

10%

1,0000

0,4975

0,4950

0,4926

0,4902

0,4878

0,4854

0,4831

0,4808

0,4762

0,3300

0,3268

0,3235

0,3203

0,3172

0,3141

0,3111

0,3080

0,3021

0,2463

0,2426

0,2390

0,2355

0,2320

0,2286

0,2252

0,2219

0,2155

0,1960

0,1922

0,1884

0,1846

0,1810

0,1774

0,1739

0,1705

0,1638

0,1625

0,1585

0,1546

0,1508

0,1470

0,1434

0,1398

0,1363

0,1296

0,1386

0,1345

0,1305

0,1266

0,1228

0,1191

0,1156

0,1121

0,1054

0,1207

0,1165

0,1125

0,1085

0,1047

0,1010

0,0975

0,0940

0,0874

0,1067

0,1025

0,0984

0,0945

0,0907

0,0870

0,0835

0,0801

0,0736

0,0956

0,0913

0,0872

0,0833

0,0795

0,0759

0,0724

0,0690

0,0627

0,0865

0,0822

0,0781

0,0741

0,0704

0,0668

0,0634

0,0601

0,0540

0,0788

0,0746

0,0705

0,0666

0,0628

0,0593

0,0559

0,0527

0,0468

0,0724

0,0681

0,0640

0,0601

0,0565

0,0530

0,0497

0,0465

0,0408

0,0669

0,0626

0,0585

0,0547

0,0510

0,0476

0,0443

0,0413

0,0357

0,0621

0,0578

0,0538

0,0499

0,0463

0,0430

0,0398

0,0368

0,0315

0,0579

0,0537

0,0496

0,0458

0,0423

0,0390

0,0359

0,0330

0,0278

0,0543

0,0500

0,0460

0,0422

0,0387

0,0354

0,0324

0,0296

0,0247

0,0510

0,0467

0,0427

0,0390

0,0355

0,0324

0,0294

0,0267

0,0219

0,0481

0,0438

0,0398

0,0361

0,0327

0,0296

0,0268

0,0241

0,0195

0,0454

0,0412

0,0372

0,0336

0,0302

0,0272

0,0244

0,0219

0,0175

ROK

12%

14%

16%

18%

20%

25%

30%

35%

40%

1,0000

0,4717

0,4673

0,4630

0,4587

0,4545

0,4444

0,4348

0,4255

0,4167

0,2963

0,2907

0,2853

0,2799

0,2747

0,2623

0,2506

0,2397

0,2294

0,2092

0,2032

0,1974

0,1917

0,1863

0,1734

0,1616

0,1508

0,1408

0,1574

0,1513

0,1454

0,1398

0,1344

0,1218

0,1106

0,1005

0,0914

0,1232

0,1172

0,1114

0,1059

0,1007

0,0888

0,0784

0,0693

0,0613

0,0991

0,0932

0,0876

0,0824

0,0774

0,0663

0,0569

0,0488

0,0419

0,0813

0,0756

0,0702

0,0652

0,0606

0,0504

0,0419

0,0349

0,0291

0,0677

0,0622

0,0571

0,0524

0,0481

0,0388

0,0312

0,0252

0,0203

0,0570

0,0517

0,0469

0,0425

0,0385

0,0301

0,0235

0,0183

0,0143

0,0484

0,0434

0,0389

0,0348

0,0311

0,0235

0,0177

0,0134

0,0101

0,0414

0,0367

0,0324

0,0286

0,0253

0,0184

0,0135

0,0098

0,0072

0,0357

0,0312

0,0272

0,0237

0,0206

0,0145

0,0102

0,0072

0,0051

0,0309

0,0266

0,0229

0,0197

0,0169

0,0115

0,0078

0,0053

0,0036

0,0268

0,0228

0,0194

0,0164

0,0139

0,0091

0,0060

0,0039

0,0026

0,0234

0,0196

0,0164

0,0137

0,0114

0,0072

0,0046

0,0029

0,0018

0,0205

0,0169

0,0140

0,0115

0,0094

0,0058

0,0035

0,0021

0,0013

0,0179

0,0146

0,0119

0,0096

0,0078

0,0046

0,0027

0,0016

0,0009

0,0158

0,0127

0,0101

0,0081

0,0065

0,0037

0,0021

0,0012

0,0007

0,0139

0,0110

0,0087

0,0068

0,0054

0,0029

0,0016

0,0009

0,0005

−

Przewodnik po ćwiczeniach

119

ZAŁ

CZNIK 5

ROK

10%

0,9901

0,9804

0,9709

0,9615

0,9524

0,9434

0,9346

0,9259

0,9091

1,9704

1,9416

1,9135

1,8861

1,8594

1,8334

1,8080

1,7833

1,7355

2,9410

2,8839

2,8286

2,7751

2,7232

2,6730

2,6243

2,5771

2,4869

3,9020

3,8077

3,7171

3,6299

3,5460

3,4651

3,3872

3,3121

3,1699

4,8534

4,7135

4,5797

4,4518

4,3295

4,2124

4,1002

3,9927

3,7908

5,7955

5,6014

5,4172

5,2421

5,0757

4,9173

4,7665

4,6229

4,3553

6,7282

6,4720

6,2303

6,0021

5,7864

5,5824

5,3893

5,2064

4,8684

7,6517

7,3255

7,0197

6,7327

6,4632

6,2098

5,9713

5,7466

5,3349

8,5660

8,1622

7,7861

7,4353

7,1078

6,8017

6,5152

6,2469

5,7590

9,4713

8,9826

8,5302

8,1109

7,7217

7,3601

7,0236

6,7101

6,1446

10,3676

9,7868

9,2526

8,7605

8,3064

7,8869

7,4987

7,1390

6,4951

11,2551

10,5753

9,9540

9,3851

8,8633

8,3838

7,9427

7,5361

6,8137

12,1337

11,3484

10,6350

9,9856

9,3936

8,8527

8,3577

7,9038

7,1034

13,0037

12,1062

11,2961

10,5631

9,8986

9,2950

8,7455

8,2442

7,3667

13,8651

12,8493

11,9379

11,1184

10,3797

9,7122

9,1079

8,5595

7,6061

14,7179

13,5777

12,5611

11,6523

10,8378

10,1059

9,4466

8,8514

7,8237

15,5623

14,2919

13,1661

12,1657

11,2741

10,4773

9,7632

9,1216

8,0216

16,3983

14,9920

13,7535

12,6593

11,6896

10,8276

10,0591

9,3719

8,2014

17,2260

15,6785

14,3238

13,1339

12,0853

11,1581

10,3356

9,6036

8,3649

18,0456

16,3514

14,8775

13,5903

12,4622

11,4699

10,5940

9,8181

8,5136

ROK

12%

14%

16%

18%

20%

25%

30%

35%

40%

0,8929

0,8772

0,8621

0,8475

0,8333

0,8000

0,7692

0,7407

0,7143

1,6901

1,6467

1,6052

1,5656

1,5278

1,4400

1,3609

1,2894

1,2245

2,4018

2,3216

2,2459

2,1743

2,1065

1,9520

1,8161

1,6959

1,5889

3,0373

2,9137

2,7982

2,6901

2,5887

2,3616

2,1662

1,9969

1,8492

3,6048

3,4331

3,2743

3,1272

2,9906

2,6893

2,4356

2,2200

2,0352

4,1114

3,8887

3,6847

3,4976

3,3255

2,9514

2,6427

2,3852

2,1680

4,5638

4,2883

4,0386

3,8115

3,6046

3,1611

2,8021

2,5075

2,2628

4,9676

4,6389

4,3436

4,0776

3,8372

3,3289

2,9247

2,5982

2,3306

5,3282

4,9464

4,6065

4,3030

4,0310

3,4631

3,0190

2,6653

2,3790

5,6502

5,2161

4,8332

4,4941

4,1925

3,5705

3,0915

2,7150

2,4136

5,9377

5,4527

5,0286

4,6560

4,3271

3,6564

3,1473

2,7519

2,4383

6,1944

5,6603

5,1971

4,7932

4,4392

3,7251

3,1903

2,7792

2,4559

6,4235

5,8424

5,3423

4,9095

4,5327

3,7801

3,2233

2,7994

2,4685

6,6282

6,0021

5,4675

5,0081

4,6106

3,8241

3,2487

2,8144

2,4775

6,8109

6,1422

5,5755

5,0916

4,6755

3,8593

3,2682

2,8255

2,4839

6,9740

6,2651

5,6685

5,1624

4,7296

3,8874

3,2832

2,8337

2,4885

7,1196

6,3729

5,7487

5,2223

4,7746

3,9099

3,2948

2,8398

2,4918

7,2497

6,4674

5,8178

5,2732

4,8122

3,9279

3,3037

2,8443

2,4941

7,3658

6,5504

5,8775

5,3162

4,8435

3,9424

3,3105

2,8476

2,4958

7,4694

6,6231

5,9288

5,3527

4,8696

3,9539

3,3158

2,8501

2,4970

−

Podstawy Projektowania Inżynierskiego

120

ZAŁ

CZNIK 6

ROK

10%

1,0100

1,0200

1,0300

1,0400

1,0500

1,0600

1,0700

1,0800

1,1000

0,5075

0,5150

0,5226

0,5302

0,5378

0,5454

0,5531

0,5608

0,5762

0,3400

0,3468

0,3535

0,3603

0,3672

0,3741

0,3811

0,3880

0,4021

0,2563

0,2626

0,2690

0,2755

0,2820

0,2886

0,2952

0,3019

0,3155

0,2060

0,2122

0,2184

0,2246

0,2310

0,2374

0,2439

0,2505

0,2638

0,1725

0,1785

0,1846

0,1908

0,1970

0,2034

0,2098

0,2163

0,2296

0,1486

0,1545

0,1605

0,1666

0,1728

0,1791

0,1856

0,1921

0,2054

0,1307

0,1365

0,1425

0,1485

0,1547

0,1610

0,1675

0,1740

0,1874

0,1167

0,1225

0,1284

0,1345

0,1407

0,1470

0,1535

0,1601

0,1736

0,1056

0,1113

0,1172

0,1233

0,1295

0,1359

0,1424

0,1490

0,1627

0,0965

0,1022

0,1081

0,1141

0,1204

0,1268

0,1334

0,1401

0,1540

0,0888

0,0946

0,1005

0,1066

0,1128

0,1193

0,1259

0,1327

0,1468

0,0824

0,0881

0,0940

0,1001

0,1065

0,1130

0,1197

0,1265

0,1408

0,0769

0,0826

0,0885

0,0947

0,1010

0,1076

0,1143

0,1213

0,1357

0,0721

0,0778

0,0838

0,0899

0,0963

0,1030

0,1098

0,1168

0,1315

0,0679

0,0737

0,0796

0,0858

0,0923

0,0990

0,1059

0,1130

0,1278

0,0643

0,0700

0,0760

0,0822

0,0887

0,0954

0,1024

0,1096

0,1247

0,0610

0,0667

0,0727

0,0790

0,0855

0,0924

0,0994

0,1067

0,1219

0,0581

0,0638

0,0698

0,0761

0,0827

0,0896

0,0968

0,1041

0,1195

0,0554

0,0612

0,0672

0,0736

0,0802

0,0872

0,0944

0,1019

0,1175

ROK

12%

14%

16%

18%

20%

25%

30%

35%

40%

1,1200

1,1400

1,1600

1,1800

1,2000

1,2500

1,3000

1,3500

1,4000

0,5917

0,6073

0,6230

0,6387

0,6545

0,6944

0,7348

0,7755

0,8167

0,4163

0,4307

0,4453

0,4599

0,4747

0,5123

0,5506

0,5897

0,6294

0,3292

0,3432

0,3574

0,3717

0,3863

0,4234

0,4616

0,5008

0,5408

0,2774

0,2913

0,3054

0,3198

0,3344

0,3718

0,4106

0,4505

0,4914

0,2432

0,2572

0,2714

0,2859

0,3007

0,3388

0,3784

0,4193

0,4613

0,2191

0,2332

0,2476

0,2624

0,2774

0,3163

0,3569

0,3988

0,4419

0,2013

0,2156

0,2302

0,2452

0,2606

0,3004

0,3419

0,3849

0,4291

0,1877

0,2022

0,2171

0,2324

0,2481

0,2888

0,3312

0,3752

0,4203

0,1770

0,1917

0,2069

0,2225

0,2385

0,2801

0,3235

0,3683

0,4143

0,1684

0,1834

0,1989

0,2148

0,2311

0,2735

0,3177

0,3634

0,4101

0,1614

0,1767

0,1924

0,2086

0,2253

0,2684

0,3135

0,3598

0,4072

0,1557

0,1712

0,1872

0,2037

0,2206

0,2645

0,3102

0,3572

0,4051

0,1509

0,1666

0,1829

0,1997

0,2169

0,2615

0,3078

0,3553

0,4036

0,1468

0,1628

0,1794

0,1964

0,2139

0,2591

0,3060

0,3539

0,4026

0,1434

0,1596

0,1764

0,1937

0,2114

0,2572

0,3046

0,3529

0,4018

0,1405

0,1569

0,1740

0,1915

0,2094

0,2558

0,3035

0,3521

0,4013

0,1379

0,1546

0,1719

0,1896

0,2078

0,2546

0,3027

0,3516

0,4009

0,1358

0,1527

0,1701

0,1881

0,2065

0,2537

0,3021

0,3512

0,4007

0,1339

0,1510

0,1687

0,1868

0,2054

0,2529

0,3016

0,3509

0,4005

Przewodnik po ćwiczeniach

121

Literatura

[1]

Bellman R.E., Dreyfus S. E.: „Programowanie dynamiczne”; Państwowe Wydawnictwa

Ekonomiczne, W-wa, 1967.

[2]

Bień W.: Ocena efektywności finansowej spółek prawa handlowego”; Finans – Servis, W-wa,

1997 r.

[3]

Bladkowski S.: „Metody sieciowe w planowaniu i organizacji pracy”; PWE, Warszawa,

1970 r.

[4]

Burton C., Michael N.: „Zarządzanie projektem – jak to robić w twojej organizacji”;

Wydawnictwo Astrum, Wrocław, 1999 r.

[5]

Dietrych J.: „Projektowanie i konstruowanie”; WNT, W-wa, 1974 r.

[6]

Duraj J.: „Analiza ekonomiczna przedsiębiorstwa”; PWE, W-wa, 1993 r.

[7]

Flak W., Henzel H., Krotka W., Marcinek K., Stosur E., Walica H.: „Vademecum inwestora”;

GIPH, 1996 r.

[8]

G.H. Mitchell: „Badania operacyjne”; Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, W-wa, 1977 r.

[9]

Jachna T., Sierpińska M.: „Ocena przedsiębiorstwa według standardów światowych”;

Wydawnictwo Naukowe PWN, wydanie I, W-wa, 1993 r.

[10]

Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A.: „Badania operacyjne w przykładach i

zadaniach”; Wydawnictwo Naukowe PWN, wydanie III, W-wa, 1999 r.

[11]

Jones J. Ch.: „Metody projektowania”; WNT, W-wa, 1977 r.

[12]

Karbownik A.: „Podstawy projektowania kopalń – część I: Ocena rozwiązań projektowych”;

Skrypty Uczelniane Politechniki Śląskiej nr 1318, Gliwice, 1986 r.

[13]

Karbownik A.: „Podstawy teorii projektowania”; Skrypty Uczelniane Politechniki Śląskiej nr

1364, Gliwice, 1987 r.

[14]

Kowalski R.: „Logika w rozwiązywaniu zadań”; WNT, W-wa, 1989 r.

[15]

MCSP

UNIDO:

„Poradnik

przygotowania

analizy

przemysłowych

projektów

inwestycyjnych”; Biuro UNIDO w W-wie, 1989 r.

[16]

Tarnowski W.: „Metody koncypowania – Heurystyczne metody poszukiwania rozwiązań

projektowych”; Skrypty Uczelniane Politechniki Śląskiej nr 1277, Gliwice, 1986 r.

[17]

Tarnowski W.: „Podstawy projektowania technicznego”; seria Wspomaganie Komputerowe

CAD/CAD, WNT, W-wa, 1997 r.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PPI - przewodnik do ćwiczeń, Zarządzanie i inżynieria produkcji, Semestr 6, Podstawy projektowania i
Higiena Przewodnik do cwiczen
parazytologia lekarska przewodnik do ćwiczeń UM Poznań
Przewodnik do ćwiczeń z hokeja na trawie
POZYCJE WYJSCIOWE DO CWICZEN id Nieznany
przewodnik do cwiczeń z immunologii
materialy do cwiczenia 6 id 285 Nieznany
materialy do cwiczen id 286153 Nieznany
Mikroekonomia materialy do cwiczen id 301168
Chemia Analityczna instrukcje do Cwiczen id 111956
przewodnik do cwiczen z geograf Nieznany
material do cwiczen 2 id 285832 Nieznany
Przewodnik do ćwiczeń z geologii inżynierskiej i petrografii
material do cwiczen 4 id 285833 Nieznany
Przewodnik do cwiczen-Prawo miedzynarodowe publiczne ADMINISTRACJA , Administracja - studia, III sem

więcej podobnych podstron