Wyk
ł
ad 3
MECHANIKA TEORETYCZNA
Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14
1
Wyk
ł
ad 3
Autor:
Henryk Laskowski
Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciąg
ł
ych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydzia
ł
Inżynierii Lądowej
TEORIA RÓWNOWAŻNOŚCI UK
Ł
ADÓW SI
Ł
Część 1
SI
Ł
Y I UK
Ł
ADY SI
Ł
1.1. Moment si
ł
y względem punktu
B
M
___
____
AB
r
F
B
A
α
.
Definicja
Momentem si
ł
y względem punktu
nazywamy wektor równy iloczynowi
wektorowemu si
ł
y i wektora wyznaczone-
go przez punkt zaczepienia si
ł
y i punkt,
względem którego moment jest liczony
B
M
___
F
B
3
⋅
⋅
=
⊥
∩
⊥
×
=
ną
prawoskręt
trójkę
stanowią
:
zwrot
:
wartość
:
kierunek
B
B
B
B
df
B
M
AB
F
AB
F
M
AB
M
F
M
AB
F
M
,
,
α
sin
|
|
|
|
|
|
:
____
____
____
____
Przesunięcie si
ł
y wzd
ł
uż jej kierunku dzia
ł
ania
Przesunięcie si
ł
y wzd
ł
uż jej kierunku dzia
ł
ania nie wp
ł
ywa
na zmianę wartości momentu si
ł
y względem punktu
_______
____
____
____
____
const
BR
F
BR
AB
F
AR
F
M
R
=
×
=
+
×
=
×
=
)
(
____
AR
r
F
R
A
.
B
F
____
BR
'
R
4
Ramię dzia
ł
ania si
ł
y
Jest to wektor prostopad
ł
y do prostej
dzia
ł
ania si
ł
y, którego początek leży na
tej prostej a koniec w punkcie, względem
którego liczony jest moment si
ł
y
R
M
___
AR
____
R
M
F
R' R
= ×
R
M
___
____
AR
F
R
A
.
F
____
' R
R
'
R
n
1.2. Moment si
ł
y względem prostej
Definicja
Momentem si
ł
y względem prostej
nazywamy iloczyn wektorowy rzutu
si
ł
y na p
ł
aszczyznę prostopad
ł
ą do tej
prostej względem punktu przebicia
p
ł
aszczyzny przez tę prostą.
l
M
'
A
F
O
•
α
____
' O
A
F
l
e
A
5
____
____
π
π
____
π
||
'
:
|
| |
| |
'
| sin α
,
' ,
l
df
l
l
l
kierunek: M
l
M
F
A O
wartość: M
F
A O
zwrot:
F
A O M
stanowią trójkę prawoskrętną
= ×
=
⋅
⋅
π
F
l
M
n
α
•
____
' O
A
O
'
A
F
F
A
l
e
O
M
___
π
F
l
F
n
n
n
F
F
F
⋅
⋅
−
=
2
π
n
n
n
AO
AO
O
A
⋅
⋅
−
=
2
____
____
_____
'
Twierdzenie o momencie si
ł
y względem prostej
6
π
F
Twierdzenie
Moment si
ł
y względem prostej jest równy
rzutowi momentu si
ł
y względem dowolnego
punktu prostej na tę prostą.
Dowód pomini
ę
to
n
n
n
M
M
O
l
⋅
⋅
=
2
Uk
ł
ad si
ł
Zbiór si
ł
wraz z punktami zaczepienia
n
A
2
F
1
A
•
i
A
2
A
i
F
1
F
n
F
•
•
•
Przekszta
ł
cenie elementarne I-go rodzaju
Dodanie do uk
ł
adu lub odjęcie dwóch si
ł
n
A
1
A
F
1
F
n
F
•
•
∑
=
i
i
F
S
Suma
uk
ł
adu si
ł
∑
×
=
i
i
i
R
R
A
F
M
Moment
uk
ł
adu si
ł
7
przeciwnych dzia
ł
ających wzd
ł
uż prostej
Przekszta
ł
cenie elementarne II-go rodzaju
Dodanie do uk
ł
adu lub odjęcie uk
ł
adu si
ł
zbieżnych o sumie równej 0
n
A
2
F
1
A
•
i
A
2
A
i
F
1
F
n
F
•
•
•
2
F
1
A
•
i
A
2
A
i
F
•
•
•
Przekszta
ł
cenia elementarne nie zmieniają
sumy i momentu uk
ł
adu
•
F
−
0
•
F
0
1.3. Twierdzenie o zmianie bieguna
____
____
____
____
BR
F
M
BR
B
A
F
R
A
F
M
n
n
n
×
+
=
+
×
=
×
=
∑
∑
∑
)
(
i
A
n
A
•
2
F
1
A
•
i
A
2
A
B
•
R
i
F
1
F
n
F
Uk
ł
ad
n
si
ł
B
R
i
F
- punkt zaczepienia si
ł
y
- si
ł
a
- biegun redukcji
- nowy biegun redukcji
8
BR
F
M
BR
B
A
F
R
A
F
M
i
i
B
i
i
i
i
i
i
R
×
+
=
+
×
=
×
=
∑
∑
∑
=
=
=
1
1
1
)
(
∑
=
=
n
i
i
df
F
S
1
____
BR
S
M
M
B
R
×
+
=
Twierdzenie
Moment uk
ł
adu si
ł
względem nowego bieguna jest równy sumie momentu tego uk
ł
adu
względem starego bieguna i iloczynu wektorowego sumy uk
ł
adu i wektora
ł
ączącego
stary biegun z nowym.
Wniosek 1
Jeżeli suma uk
ł
adu jest równa 0 to moment uk
ł
adu jest sta
ł
y, tzn. nie zależy
od bieguna, względem którego jest liczony
Wnioski z twierdzenia o zmianie bieguna
Z: Suma uk
ł
adu jest równa 0
S
=
0
9
T: Moment uk
ł
adu jest sta
ł
y
M
co n s t
=
D:
____
S
B
A
B
A
M
M
S
AB
M
M
=
=
+ ×
⇒
=
0
Wniosek 2
Jeżeli momenty uk
ł
adu liczone względem trzech niewspó
ł
liniowych punktów są
równe to suma uk
ł
adu jest równa 0
Z: Punkty A, B, C są niewspó
ł
liniowe
0
≠
×
____
____
AC
AB
oraz
C
B
A
M
M
M
=
=
T: Suma jest równa 0
0
=
S
D:
0
0
=
⇒
=
×
⇔
×
+
=
S
AB
S
AB
S
M
M
A
B
____
____
10
0
0
0
=
⇒
=
×
=
×
⇔
×
+
=
×
+
=
S
AC
S
AB
S
AC
S
M
M
AB
S
M
M
A
C
A
B
____
____
Wniosek 3
Iloczyn skalarny sumy i momentu liczonego względem
dowolnego punktu jest dla danego uk
ł
adu si
ł
wielkoś-
cią sta
ł
ą i nosi nazwę parametru uk
ł
adu si
ł
const
S
M
K
O
df
=
=
o
S
M
OA
S
S
S
M
S
OA
S
M
S
M
O
O
O
A
o
o
o
o
o
=
×
+
=
×
+
=
)
(
)
(
____
____
D:
1.4. Równoważność uk
ł
adów si
ł
O równoważności uk
ł
adu wektorów (si
ł
) można mówić wy
ł
ącznie w odniesieniu
do rozważanego problemu. W mechanice teoretycznej rozważa się równoważność
uk
ł
adów si
ł
w odniesieniu do problemu redukcji.
Definicja równoważności uk
ł
adów si
ł
11
punkt
dowolny
)
(
)
(
)
(
)
(
O
O
−
=
=
⇔
≡
O
M
M
S
S
df
B
A
B
A
B
A
:
=
n
i
n
i
A
A
A
A
F
F
F
F
...
...
...
...
2
1
2
1
A
=
m
i
m
i
B
B
B
B
R
R
R
R
...
...
...
...
2
1
2
1
B
Dwa uk
ł
ady
i
są równoważne, jeżeli można, wykonując na jednym z nich skończoną liczbę
przekszta
ł
ceń I-go i II-go rodzaju, przekszta
ł
cić jeden uk
ł
ad w drugi.
Równoważne uk
ł
ady si
ł
Przekszta
ł
cenie elementarne
I
–
go rodzaju
Przekszta
ł
cenie elementarne
II
–
go rodzaju
12
Równoważne uk
ł
ady si
ł
Równoważne uk
ł
ady si
ł
Twierdzenia o równoważności uk
ł
adów si
ł
Twierdzenie 1
Dwa uk
ł
ady są równoważne, gdy mają równe sumy i równe momenty liczone względem
jednego (ustalonego) punktu.
Z:
oraz
)
)
B
A
(
(
O
O
M
M
=
)
)
B
A
(
(
S
S
=
Dowód
13
Z:
oraz
)
)
B
A
(
(
O
O
M
M
=
T:
D:
)
)
B
A
(
(
S
S
=
B
A
≡
)
(
)
(
OO'
)
(
)
(
)
(
OO'
)
(
)
(
)
(
O'
O'
O
O'
O
O'
B
A
B
B
B
A
A
A
M
M
S
M
M
S
M
M
=
⇒
×
+
=
×
+
=
____
____
Twierdzenie 2
Dwa uk
ł
ady są równoważne, gdy mają (odpowiednio) równe momenty liczone
względem trzech niewspó
ł
liniowych punktów.
oraz
)
)
B
A
(
(
O
O
M
M
=
)
)
B
A
(
(
S
S
=
B
A
≡
Dowód
Z: Punkty O, O’, O” są niewspó
ł
liniowe
)
)
B
A
(
(
O'
O'
M
M
=
)
)
B
A
(
(
O"
O"
M
M
=
14
T:
D:
)
)
B
A
(
(
S
S
=
B
A
≡
____
____
____
____
OO"
)
(
)
(
)
(
OO"
)
(
)
(
)
(
OO'
)
(
)
(
)
(
OO'
)
(
)
(
)
(
O
O"
O
O"
O
O'
O
O'
×
+
=
∩
×
+
=
×
+
=
∩
×
+
=
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
S
M
M
S
M
M
S
M
M
S
M
M
czyli
(
)
(
)
0
)
(
-
)
(
OO"
do
równoległy
jest
nie
OO'
0
OO"
)
(
-
)
(
0
OO'
)
(
-
)
(
=
⇒
=
×
∩
=
×
B
A
B
A
B
A
S
S
S
S
S
S
____
____
____
____
1.5. Zerowy uk
ł
ad si
ł
i para si
ł
Zerowy uk
ł
ad si
ł
Uk
ł
ad si
ł
, którego suma i moment
liczony względem dowolnego punktu
jest wektorem zerowym.
Para si
ł
Uk
ł
ad dwóch niezerowych si
ł
przeciw-
nych nie leżących na jednej prostej.
0
0
=
∩
=
M
S
F
F
−
F
G
)
(
G
F
+
−
F
A
O
M
15
nych nie leżących na jednej prostej.
⋅
=
⋅
⋅
=
⊥
×
=
=
ne
prawoskręt
:
zwrot
:
wartość
:
kierunek
O
O
O
B
O
M
AB
F
d
F
AB
F
M
M
AB
F
M
M
,
,
|
|
α
sin
|
|
|
|
|
|
Π
:
____
____
____
B
F
−
0
≠
d
Π
α
Część 2
REDUKCJA UK
Ł
ADU SI
Ł
2.1. Redukcja uk
ł
adu si
ł
w punkcie
Redukcja uk
ł
ad si
ł
Przekszta
ł
cenie polegające na zastąpieniu danego uk
ł
adu si
ł
równoważnym
uk
ł
adem prostszym, tj. z
ł
ożonym z mniejszej liczby si
ł
F
1
F
1
F
F
+
2
3
17
F
2
F
3
F
2
F
3
Uk
ł
ad trzech si
ł
Uk
ł
ad równoważny,
zredukowany do dwóch si
ł
Redukcja w punkcie (w biegunie redukcji)
Zastąpienie danego uk
ł
adu uk
ł
adem równoważnym, z
ł
ożonym z wektora równego
sumie uk
ł
adu i pary si
ł
o momencie równym momentowi uk
ł
adu si
ł
względem
bieguna redukcji
Tok postępowania:
F
1
F
2
F
S
F
+
1. Wybór bieguna redukcji O
2. Wyznaczenie
wektora
zaczepionego w punkcie O
18
n
π
F
3
S
F
3
F
1
F
2
O
F
F
−
G
O
M
równego sumie uk
ł
adu
3. Wyznaczenie
momentu uk
ł
adu
si
ł
względem bieguna O
4. Wyznaczenie
pary si
ł
o momencie
równym momentowi uk
ł
adu względem
bieguna redukcji, z których jedna jest
zaczepiona w biegunie redukcji
5. Redukcja uk
ł
adu do dwóch si
ł
skośnych
poprzez dodanie si
ł
zaczepionych w O
n
S
F
2
G
O
M
S
F
+
Cztery przypadki redukcji w punkcie
Przypadek 1 (ogólny):
S
M
≠
∩
≠
0
0
19
π
F
3
F
1
O
F
F
−
Uk
ł
ad si
ł
redukuje się do wektora
b = S zaczepionego w punkcie
redukcji oraz pary si
ł
o momencie
M
O
równym momentowi uk
ł
adu si
ł
względem punktu redukcji
Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd
Przypadek 2:
S
M
≠
∩
=
0
0
n
G
O
M
S
F
+
S
F
2
20
Uk
ł
ad si
ł
redukuje się do wektora
b = S zaczepionego w punkcie
redukcji
π
O
F
F
−
F
3
F
1
Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd
Przypadek 3:
S
M
= ∩
≠
0
0
n
b
S
=
F
2
G
O
M
S
F
+
21
Uk
ł
ad si
ł
redukuje się do pary si
ł
o momencie M
O
równym momentowi
uk
ł
adu si
ł
względem punktu redukcji
π
F
3
F
1
O
F
F
−
Cztery przypadki redukcji w punkcie - cd
Przypadek 4:
S
M
= ∩
=
0
0
n
S
F
2
G
O
M
S
F
+
22
Uk
ł
ad si
ł
redukuje się do uk
ł
adu
zerowego
π
F
3
F
1
O
F
F
−
2.2. Redukcja uk
ł
adu si
ł
do najprostszej postaci
Redukcja uk
ł
ad si
ł
do najprostszej postaci
Przekszta
ł
cenie polegające na zastąpieniu danego uk
ł
adu si
ł
uk
ł
adem
równoważnym z
ł
ożonym z najmniejszej liczby si
ł
Redukcja w punkcie a redukcja do najprostszej postaci
W problemie redukcji w punkcie biegun redukcji jest znany (wybrany lub zadany)
23
W problemie redukcji w punkcie biegun redukcji jest znany (wybrany lub zadany)
natomiast w problemie redukcji do najprostszej postaci poszukuje się po
ł
ożenia
takich punktów, w których uk
ł
ad si
ł
redukuje się do najprostszej postaci
Przypadek 1:
Jeżeli w wybranym lub zadanym biegunie redukcji uk
ł
ad si
ł
redukuje się do uk
ł
adu
zerowego to uk
ł
ad zerowy jest najprostszym zredukowanym uk
ł
adem tego uk
ł
adu si
ł
O
S
M
O
= ∩
=
−
0
0
wybrany punkt
Uk
ł
ad si
ł
w każdym punkcie
redukuje się do
uk
ł
adu zerowego
Szczególne przypadki redukcji do najprostszej postaci
24
Przypadek 2:
Jeżeli w wybranym lub zadanym biegunie redukcji uk
ł
ad si
ł
redukuje się do pary si
ł
o momencie równym momentowi uk
ł
adu si
ł
względem bieguna redukcji to para si
ł
jest
najprostszym zredukowanym uk
ł
adem tego uk
ł
adu si
ł
O
S
M
O
= ∩
≠
−
0
0
wybrany punkt
Uk
ł
ad si
ł
w każdym punkcie
redukuje się do
pary si
ł
Przypadek ogólny: parametr uk
ł
adu jest różny od 0 – przyk
ł
ad:
Dany jest uk
ł
ad trzech si
ł
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
b
c
A
B
C
=
=
−
=
−
−
1 2 3
1 1
1
3
2 1
0 0 1
1 1 1
1 1
1
(
) (
) (
) (
)
S
=
+
− +
−
=
1 2 3
1 1
1
3
2 1
5 1 3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
O
M
−
−
=
+
+
= −
−
−
−
−
−
−
−
−
×
×
×
1 2 3
1 1
1
3
2 1
5
1
5
0 0
1
1
1
1
1
1 1
Suma uk
ł
adu:
Moment uk
ł
adu
względem punktu
25
(
) (
) (
)
−
−
−
−
−
−
×
×
×
0 0
1
1
1
1
1
1 1
(
) (
)
O
K
S M
= ⋅
=
−
−
− = −
5 1 3
5
1
5
41
o
względem punktu
(0, 0, 0):
Parametr uk
ł
adu:
Zadanie:
Jak zmienia się równoważny uk
ł
ad zredukowany w biegunie redukcji poruszającym
się wzd
ł
uż wybranej prostej.
Równanie parametryczne
przypadkowo wybranej prostej:
x
λ ,
y
λ , z
λ
=
=
= −
Rozwiązanie zadania przy
λ
zmieniającym się w sposób ciąg
ł
y od 0 do 3
26
Przypadek ogólny: parametr uk
ł
adu jest różny od 0 – rozważania teoretyczne
(
)
O
O
O
K
S M
S
M
cos
S ,M
const
=
=
⋅
⋅
=
o
(
)
O
O
K
M
S cos
S ,M
=
⋅
(
)
O
O
M
min
S ,M
→
⇔
→
0
(
)
O
O
O
O
S
M
M
S
S ,M
K
M
S
=
⋅
=
=
0
:
O
K
M
S
S
=
⋅
2
27
(
)
O
O
M
min
S ,M
π
→
⇔
→
(
)
O
O
O
O
S
M
M
S
S ,M
π
K
M
S
= −
⋅
=
= −
:
O
K
M
S
S
=
⋅
2
Punkty, w których uk
ł
ad si
ł
o parametrze K różnym od 0 redukuje się do sumy i pary
si
ł
o momencie równoleg
ł
ym do sumy leżą na prostej zwanej
osią środkową
Uk
ł
ad si
ł
w punktach osi środkowej redukuje się do
skrętnika
Przypadek ogólny: parametr uk
ł
adu jest różny od 0 – przyk
ł
ad:
Zadanie:
Wyznaczyć oś środkową uk
ł
adu si
ł
z poprzedniego przyk
ł
adu a następnie zilustrować
zmiany równoważnego uk
ł
adu zredukowanego gdy punkt redukcji porusza się po
prostej przecinającej się z osią środkową
W osi środkowej uk
ł
ad redukuje się do sumy i pary si
ł
o momencie
równoleg
ł
ym do sumy i osiąga minimalną wartość (skrętnik):
R
K
M
S
S
=
⋅
2
Wykorzystując twierdzenie o zmianie bieguna formu
ł
uje się wektorowe równanie
28
Przyrównując odpowiednie wspó
ł
rzędne wyznacza się równanie krawędziowe lub
parametryczne osi środkowej
(
)
(
)
z
y
d
, gdzie d
x
z
d
−
−
+
=
=
−
− +
=
3
5 1
0
41
3
5
1
0
35
(
)
(
)
x
λ
y
λ
d
z
λ
d
=
=
−
+
=
−
+
1
26
1
5
15
3
1
1
5
5
Wykorzystując twierdzenie o zmianie bieguna formu
ł
uje się wektorowe równanie
osi środkowej:
(
)
R
O
K
M
S
M
S
OR ,
R x, y, z
S
=
⋅ =
+ ×
2
- punkt leżący na osi środkowej
29
Przypadek 3:
Suma uk
ł
adu jest różna od zera a parametr jest równy 0
Trzeci szczególny przypadek redukcji do najprostszej postaci
Uk
ł
ad si
ł
w każdym punkcie osi środkowej
redukuje się do jednego wektora
- wypadkowej
O
K
M
S
S
=
⋅ =
2
0
S
K
≠ ∩
=
0
0
(moment uk
ł
adu jest zawsze prostopad
ł
y do sumy)
30
Definicja wypadkowej:
Wypadkowa to uk
ł
ad si
ł
równoważny danemu z
ł
ożony z jednego wektora
Wypadkowa dzia
ł
a wzd
ł
uż ściśle określonej prostej (prosta dzia
ł
ania wypadkowej,
oś środkowa) o tej w
ł
asności, że moment uk
ł
adu względem punktów tej prostej jest
równy 0
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MT st w 03
MT st w 03 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 03
MT st w 06
MT st w 02a
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 08 [tryb zgodności]
MT st w 02a 2
MT st w 10
MT st w 13
MT st w 04 cz1 [tryb zgodności]
MT st w 05 [tryb zgodności]
MT st w 15
MT st w 04 cz2 [tryb zgodności]
GPNT III B ST 03 02 01 INSTALACJA WODOCIĄGOWA WEWNĘTRZNA
MT st w 14
więcej podobnych podstron