dr Krzysztof Kisiel
Układy równa ´n liniowych
Układy jednorodne i niejednorodne
Definicja 1. Układem
m
równa´n liniowych z
n
niewiadomymi
x
1
, x
2
, ..., x
n
,
gdzie
m, n ∈ N
, nazywamy układ równa´n postaci:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
=
b
2
...
...
. . .
...
...
a
m1
x1 + a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
,
gdzie
a
ij
∈ R, b
i
∈ R
,
1 ≤ i ≤ m
,
1 ≤ j ≤ n
.
Uwaga 2. Rozwi ˛
azaniem układu równa´n liniowych nazywamy ci ˛
ag
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
liczb rzeczywistych spełniaj ˛
acych ten układ. Układ równa´n, który nie ma roz-
wi ˛
azania, nazywamy układem sprzecznym.
Macierzowa posta´c układu równa ´n
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
...
... ...
...
a
m1
a
m2
. . . a
mn
·
x
1
x
2
...
x
m
=
b
1
b
2
...
b
m
⇔
⇔ A · X = B
A - macierz układu
X - wektor niewiadomych
B - wektor wyrazów wolnych.
Układ jednorodny
Definicja 3. Układ równa´n liniowych postaci
AX = 0,
gdzie
A
jest macierz ˛
a wymiaru
m × n
, natomiast
0 jest macierz ˛
a zerow ˛
a wy-
miaru
m × 1
, nazywamy układem jednorodnym.
Uwaga 4. Jednym z rozwi ˛
aza´n układu jednorodnego
AX =
0 jest macierz ze-
rowa
X =
0
0
...
0
wymiaru
n × 1
, gdzie
n
oznacza liczb˛e kolumn macierzy
A
.
Układ niejednorodny
Definicja 5. Układ równa´n liniowych postaci
AX = B,
gdzie
A
jest macierz ˛
a wymiaru
m × n
, natomiast
B
jest macierz ˛
a
niezerow ˛
a
wymiaru
m × 1
, nazywamy układem niejednorodnym.
Układ Cramera
Twierdzenie 6. Układem Cramera nazywamy układ równa´n liniowych
AX = B,
w którym
A
jest macierz ˛
a nieosobliw ˛
a.
Twierdzenie Cramera
Definicja 7. Układ Cramera
AX = B
ma dokładnie jedno rozwi ˛
azanie.
Rozwi ˛
azanie to jest okre´slone wzorem:
X =
W
x1
W
W
x2
W
...
W
xn
W
,
gdzie
W
oznacza wyznacznik główny macierzy
A
,
n
oznacza stopie´n macierzy
A
, natomiast
W
x
j
dla
1 ≤ j ≤ n
oznacza wyznaczik powstały z wyznacznika
głównego poprzez zast ˛
apienie
j
- tej kolumny kolumn ˛
a wyrazów wolnych.
Metoda macierzy odwrotnej
Twierdzenie 8. Rozwi ˛
azanie układu Cramera
AX = B
jest okre´slone
wzorem:
X = A
−1
B.
Dowód.
AX = B ⇔ A
−1
AX = A
−1
B ⇔ IX = A
−1
B ⇔ X = A
−1
B.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
układ oddechowy[1]
Wykład 13 UKS
Układ krążenia[1]
Układ Warszawski rekonstrukcja
Choroby rozproszonego układu wewnątrzwydzielniczego(2)
Układ projektu
PROTOKÓŁ UKS
Obwodowy i wegetatywny układ nerwowy 14[1] (1)
WYKĹAD Asymetria w ukĹ‚adach trĂłjfazowych
Leki układu pokarmowego,bigunka,zaparcia
Choroby układu oddechowego
Fizjologia układu wewnętrznego
Receptory dla ukĹ'adu dopeĹ'niacza
Sprawozdanie 4B - Układ Fe, Fe3C
więcej podobnych podstron