1

1

Materiały dydaktyczne zawieraj

ą

ce 14 slajdów na 7 stronach,

dotycz

ą

ce

ć

wiczenia T2 z przedmiotu „Wytrzymało

ść

materiałów”,

przeznaczone

dla studentów II roku studiów I – stopnia w kierunku „Energetyka”

na wydz. Energetyki i Paliw w AGH

Autor materiałów i osoba prowadz

ą

ca

ć

wiczenia:

Marek Płachno, dr hab. in

ż

., prof. AGH

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,

ni

ż

podane w ich przeznaczeniu.

2

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. –

Temat

+

obja

ś

nienie

poj

ęć

=

J

o

k

Dla pr

ę

ta okr

ą

głego o schemacie jak na rys.1.1 – obliczy

ć

nie podan

ą

na rys. 1.1 warto

ść

osiowej

siły zewn

ę

trznej R

(krok

1

analizy wytrzymało

ś

ciowej).

1. Co to jest schemat

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

pr

ę

ta

?

-

przypomnienie z mechaniki:

Mo

ż

liwie najprostsze odwzorowanie rysunkowe układu wszystkich sił i wszystkich momen-

tów czynnych oraz wszystkich sił i wszystkich momentów reakcji przyło

ż

onych do pr

ę

ta.

2. Jakie s

ą

zasady obliczania

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

pr

ę

ta

?

-

przypomnienie z mechaniki:

•

Obci

ąż

enia zewn

ę

trzne

pr

ę

ta oblicza si

ę

z równa

ń

równowagi statycznej tego pr

ę

ta.

• Gdy równania równowagi statycznej pr

ę

ta nie wystarcz

ą

do obliczenia jego wszystkich

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

, wyst

ę

puje przypadek statycznie niewyznaczalny.

• Najcz

ęś

ciej wyst

ę

puj

ą

w praktyce in

ż

ynierskiej płaskie układy

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

, dla

których równania równowagi statycznej s

ą

algebraicznym zapisem trzech prawidłowo

ś

ci:

1) Suma rzutów wszystkich

sił zewn

ę

trznych

na o

ś

x

układu osi

x

,

y

jest równa zero,

2) Suma rzutów wszystkich

sił zewn

ę

trznych

na o

ś

y

układu osi

x

,

y

jest równa zero,

3) Suma wszystkich

momentów zewn

ę

trznych

obliczonych wzgl

ę

dem,

jednego

i

tego

samego

punktu pr

ę

ta, jest równa zero.

Krok

1

aw. - obliczenia

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

- cz

ęść

1-

obja

ś

nienia

2

3

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. – krok

1

aw. - obliczenia

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trz-

nych

- cz

ęść

2 -

obliczenie

siły R

:

=

J

o

k

0

M

,

0

F

0

20

30

60

0

P

P

P

F

3

2

1

∑

∑

∑

≡

≡

=

⇒

=

−

+

−

⇒

=

−

+

−

=

iA

iy

ix

kN

50

R

R

R

Przykład nr 2. - Temat +

obja

ś

nienie

poj

ęć

1) Co to s

ą

obci

ąż

enia wewn

ę

trzne

? W ogólnym przypadku

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

s

ą

to

dwa układy

ś

rodkowe sił i momentów maj

ą

cych wektory zaczepione w

ś

rodku ci

ęż

ko

ś

ci

strony lewej i strony prawej wskazanego przekroju pr

ę

ta.

2) Co to s

ą

obci

ąż

enia wewn

ę

trzne

odpowiadaj

ą

ce osiowym

obci

ąż

eniom zewn

ę

trznym

?

S

ą

to dwie siły

N

L

i

N

P

styczne do osi pr

ę

ta - nazywane

siłami wzdłu

ż

nymi

, z których siła

N

L

jest zaczepiona

w

ś

rodku ci

ęż

ko

ś

ci strony lewej wskazanego przekro-

ju pr

ę

ta, siła

N

P

- w

ś

rodku ci

ęż

ko

ś

ci strony prawej te-

go przekroju, przy czym o

ś

kierunkowa

z

L

siły

N

L

ma

zwrot dodatni w prawo, natomiast o

ś

kierunkowa

z

P

siły

N

P

- w lewo.

Dla pr

ę

ta okr

ą

głego o

schemacie

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

osiowych

jak na rys.1.2

obliczy

ć

i

narysowa

ć

rozkład

obci

ąż

e

ń

wewn

ę

trznych

po długo

ś

ci pr

ę

ta

(krok

2

aw.)

4

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

=

J

o

k

Przykład nr 2. – krok

2

aw. - Obliczenia i rysunek rozkładu

sił wewn

ę

trznych wzdłu

ż

nych

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta – cz

ęść

1 –

metody

i

praktyczne zasady

1) Zwykle stosuje si

ę

metod

ę

my

ś

lowych przekrojów lub metod

ę

superpozycji.

2) W metodzie my

ś

lowych przekrojów oblicza si

ę

siły wewn

ę

trzne N

L

i

N

P

dla my

ś

lowych przek-

rojów pr

ę

ta poprowadzonych przez wszystkie te

punkty jego osi, do których s

ą

przyło

ż

one osio-

we

siły zewn

ę

trzne

tego pr

ę

ta, jak równie

ż

te

punkty, którym odpowiada zmiana przekroju.

3) Przed obliczeniami

sił N

L

i

N

P

wykonuje si

ę

zwykle nast

ę

puj

ą

ce czynno

ś

ci:

• Na schemacie obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych pr

ę

ta

oznacza si

ę

liter

ą

A

skrajny lewy punkt jego

osi nale

żą

cy do materiału pr

ę

ta, a taki sam

skrajny punkt prawy oznacza si

ę

liter

ą

B

, po

czym nadaje si

ę

kolejne litery alfabetu innym

punktom osi pr

ę

ta, do których s

ą

przyło

ż

one

jego obci

ąż

enia zewn

ę

trzne.

3

5

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

=

J

o

k

Przykład nr 2. – krok

2

aw. - obliczenia i rysunek rozkładu

sił wewn

ę

trznych wzdłu

ż

nych

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta – cz

ęść

1 –

metody

i

praktyczne zasady – cd.

• Sporz

ą

dza si

ę

szablon tablicy

sił wewn

ę

trznych

, do której - dla ka

ż

dego przekroju my

ś

-

lowego wpisuje si

ę

dwuliterowy symbol strony lewej i prawej tego przekroju, maj

ą

cy na

pierwszym miejscu liter

ę

nadan

ą

punktowi osi nale

żą

cemu do tego przekroju, a na

drugim miejscu maj

ą

cy liter

ę

A

, gdy symbol dotyczy lewej strony przekroju my

ś

lowego,

albo liter

ę

B

– gdy symbol odnosi si

ę

do prawej strony tego przekroju.

Siła N

kN

BA

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przek-

roju

6

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

=

J

o

k

Przykład nr 2. – krok

2

aw. - Obliczenia i rysunek rozkładu

sił wewn

ę

trznych wzdłu

ż

nych

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta – cz

ęść

2 –

równania

sumy sił -

obja

ś

nienia

• Suma sił

lewej

strony przekroju my

ś

lowego - tj.

siła wewn

ę

trzna N

L

plus rzuty na o

ś

z

L

sił zew-

n

ę

trznych przyło

ż

onych

na lewo

od analizowa-

nego przekroju,

ale bez

siły zewn

ę

trznej

zaczepionej w punkcie osi pr

ę

ta przyna-

le

ż

nym do tego przekroju - jest równa

zero.

• Suma sił

prawej

strony przekroju my

ś

lowego - tj.

siła wewn

ę

trzna N

P

plus przuty na o

ś

z

P

-

sił zewn

ę

trznych przyło

ż

onych

na prawo

od analizowanego przekroju my

ś

lowego,

ale

bez

siły zewn

ę

trznej zaczepionej w punkcie osi pr

ę

ta przynale

ż

nym do

tego przekroju - jest równa zero.

• Składniki sumy sił

lewej

strony przekroju my

ś

lowego s

ą

dodatnie, gdy maj

ą

zwroty zgodne

ze zwrotem osi

z

L

.

• Składniki sumy sił

prawej

strony przekroju my

ś

lowego s

ą

dodatnie, gdy maj

ą

zwroty zgod-

ne ze zwrotem osi

z

P

.

4

7

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

=

J

o

k

Przykład nr 2. – krok

2

aw. - Obliczenia i rysunek rozkładu

sił wewn

ę

trznych wzdłu

ż

nych

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta – cz

ęść

3 – równania sumy sił -

obliczenia

1) Równania sumy sił dla

lewych

stron przek-

rojów my

ś

lowych w punktach

C

,

D

i

B

:

?

?

?

Siła N

kN

BA

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przekroju

kN

20

N

N

N

kN

10

N

N

N

kN

50

N

N

N

BA

BA

BA

DA

DA

DA

CA

CA

CA

−

=

⇒

−

+

−

=

⇒

=

+

−

+

=

⇒

+

−

=

⇒

=

−

+

−

=

⇒

−

=

⇒

=

+

P

P

R

0

P

P

R

P

R

0

P

R

R

0

R

2

1

2

1

1

1

2) Równania sumy sił dla

prawych

stron przek-

rojów my

ś

lowych w punktach

D, C

,

i

A

:

-20

BA

?

10

?

-50

?

Siła N

,

kN

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przekroj

u

kN

50

N

N

N

kN

10

N

N

N

kN

20

N

N

N

AB

AB

AB

CB

CB

CB

DB

DB

DB

−

=

⇒

−

+

−

=

⇒

=

+

−

+

=

⇒

+

−

=

⇒

=

−

+

−

=

⇒

−

=

⇒

=

+

P

P

P

0

P

P

P

P

P

0

P

P

P

0

P

1

2

3

1

2

3

2

3

2

3

3

3

8

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

=

J

o

k

Przykład nr 2. – krok

2

aw. - obliczenia i rysunek rozkładu

sił wewn

ę

trznych wzdłu

ż

nych

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta – cz

ęść

4 -

rysunek

rozkładu

sił wewn

ę

trznych

-20

BA

-20

10

10

-50

-50

Siła N

, kN

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przekroju

1) Zestawienie wyników oblicze

ń

w tablicy

sił wewn

ę

trznych

2) Zestawienie schematu sił zewn

ę

trznych

z wykresem rozkładu

sił wewn

ę

trznych

Z rysunku rozkładu

sił wewn

ę

trznych

wynika,

ż

e:

Koniec przykładu nr 2

• na odcinku a oraz na odcinku c

siła wewn

ę

trz-

na wzdłu

ż

na N

jest

ujemna

, co oznacza,

ż

e na

tych odcinkach pr

ę

t jest

ś

ciskany

,

• na odcinku b

siła wewn

ę

trzna wzdłu

ż

na N

jest

dodatnia

, co wskazuje,

ż

e na tym odcinku pr

ę

t

jest

rozci

ą

gany

.

5

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 3. – Temat +

obja

ś

nienia

=

J

o

k

Dla pr

ę

ta okr

ą

głego, który ma pola przekrojów oraz

rozkład

siły wzdłu

ż

nej N

jak na rysunku obok,

-20

-20

10

10

-50

-50

Siła N

, kN

BA

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przekroju

Do oblicze

ń

przyj

ąć

zało

ż

enie,

ż

e

siła wewn

ę

trz-

na N

ma we wszystkich przekrojach pr

ę

ta jedno-

rodny rozkład po powierzchni tych przekrojów.

Krok

3

aw. – cz

ęść

1: Co to jest

napr

ęż

enie

?

Jest to wielko

ść

fizyczna definiowana w ogólnym

przypadku jako matematyczna pochodna funkcji

rozkładu wektora obci

ąż

enia wewn

ę

trznego po

powierzchni przekroju, dla którego to obci

ąż

enie

obliczono.

Gdy obci

ąż

eniem wewn

ę

trznym jest

siła wzdłu

ż

na N

normalna (prostopadła) do przekroju,

w którym działa, to powoduje

ona

w tym przekroju

napr

ęż

enie

nazywane

normalnym

, ozna-

czane zwykle greck

ą

liter

ą

σσσσ

(sigma).

Gdy ponadto

siła wzdłu

ż

na N

ma jednorodny rozkład po powierzchni A

przekroju, to powoduje ona

napr

ęż

enie normalne

opisane przez wzór:

(1)

A

N

=

σ

obliczy

ć

i narysowa

ć

rozkład

napr

ęż

e

ń

wzgl

ę

dem

długo

ś

ci tego pr

ę

ta (krok

3

aw.)

10

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 3. – krok

3

aw. – cz

ęść

2 - tablica

napr

ęż

e

ń

=

J

o

k

Tablic

ę

napr

ęż

e

ń

sporz

ą

dza si

ę

przez doł

ą

czenie dwu wierszy do tablicy

sił wewn

ę

trznych

,

po czym wypełnia si

ę

j

ą

danymi i wynikami oblicze

ń

jak ni

ż

ej:

?

?

?

?

?

?

Napr

ęż

enie

σσσσ

, , , ,

MPa

4

4

3

3

5

5

Pole

przekroju

cm

2

-20

-20

10

10

-50

-50

Siła N

, kN

BA

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przekroju

Krok

3

aw. - cz

ęść

3 - obliczenie

napr

ęż

e

ń

MPa

33,3

MPa

33,3

MPa

100

MPa

100

DA

CB

CA

AB

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

=

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

=

Pa

10

33

,

3

10

3

10

10

A

N

Pa

10

33

,

3

10

3

10

10

A

N

Pa

10

10

10

5

10

50

A

N

Pa

10

10

10

5

10

50

A

N

7

4

-

3

DA

DA

7

4

-

3

CB

CB

7

4

-

3

CA

CA

7

4

-

3

AB

AB

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

MPa

50

MPa

50

BA

DB

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

=

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

=

Pa

10

5

10

4

10

20

A

N

Pa

10

5

10

4

10

20

A

N

7

4

-

3

BA

BA

7

4

-

3

DB

DB

σσσσ

σσσσ

6

11

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 3. –krok

3

aw. – cz

ęść

4 - rysunek rozkładu

napr

ęż

e

ń

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta

=

J

o

k

.

-50

-50

33,3

33,3

-100

-100

Napr

ęż

enie

σσσσ

, , , ,

MPa

-20

-20

10

10

-50

-50

Siła N

, kN

BA

DB

DA

CB

CA

AB

Strona

przekroju

Z rysunku rozkładu

napr

ęż

e

ń

wynika,

ż

e:

• odcinki pr

ę

ta, którym odpowiada

napr

ęż

enie

ujemne

, s

ą

ś

ciskane

,

• odcinki pr

ę

ta, którym odpowiada

napr

ęż

enie

dodatnie

, s

ą

rozci

ą

gane

.

Koniec przykładu 3

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 4. – Temat +

obja

ś

nienia

=

J

o

k

Pr

ę

t okr

ą

gły ma pola przekrojów,

obci

ąż

enia zewnetrz-

ne

oraz rozkład

napr

ęż

e

ń

jak na rysunku, przy czym na

odcinkach a i c ma materiał o module E

s

= 2,1·10

5

MPa,

a na odcinku b – materiał o module E

a

= 0,7 ·10

5

MPa.

Do oblicze

ń

przyj

ąć

,

ż

e

napr

ęż

enia

pr

ę

ta s

ą

mniejsze

od

granicy proporcjonalno

ś

ci

materiału pr

ę

ta.

1). Co to jest

granica proporcjonalno

ś

ci

materiału?

Jest to

ekstremalne

napr

ęż

enie

w materiale pr

ę

ta, które spowoduje

zmiany geometryczne

pr

ę

ta b

ę

d

ą

ce jeszcze

wprost proporcjonalne

do warto

ś

ci

napr

ęż

enia

.

(2)

E

L

L

i

i

i

i

σ

⋅

=

∆

Obliczy

ć

zmian

ę

długo

ś

ci

pr

ę

ta spowodowan

ą

przez

jego

obci

ąż

enia zewn

ę

trzne

(krok

4

analizy wytrzyma-

ło

ś

ciowej).

Krok

4

aw. – cz

ęść

1 -

obja

ś

nienia

2). Je

ż

eli

napr

ęż

enia

s

ą

mniejsze

od

granicy proporcjonalno

ś

ci

materiału pr

ę

ta, to pomi

ę

dzy

3). Całkowit

ą

zmian

ę

∆∆∆∆

L długo

ś

ci pr

ę

ta spowodowan

ą

przez odcinkowo

zmienne

napr

ęż

enia

σσσσ

i

tego pr

ę

ta oblicza si

ę

ze wzoru jak obok:

(3)

L

L

n

i

1

i

i

∑

∆

∆

=

=

=

zmian

ą

∆∆∆∆

L

i

długo

ś

ci

L

i

i-tego odcinka o module E

i

, a

napr

ęż

eniem

σσσσ

i

obliczonym dla i-tego odcinka, zachodzi nast

ę

puj

ą

ca zale

ż

no

ść

algeb-

raiczna (proste prawo Hooke’a):

7

13

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 4.- krok

4

aw.- cz

ęść

2 -

tablica odcinkowych

zmian długo

ś

ci

pr

ę

ta +

obliczenia

=

J

o

k

T

ę

tablic

ę

sporz

ą

dza si

ę

w oparciu o rysunek rozkładu

napr

ęż

e

ń

wzgl

ę

dem długo

ś

ci pr

ę

ta,

mm

0,12

L

mm

0,24

L

mm

0,24

L

3

2

1

∆

∆

∆

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

m

10

0,12

10

10

2,1

)

10

(-50

0,5

E

σ

L

m

10

0,24

10

10

7

,

0

10

33,3

0,5

E

σ

L

m

10

0,24

10

10

2,1

)

10

(-100

0,5

E

σ

L

3

-

6

5

6

3

3

3

3

-

5

6

6

2

2

2

3

-

6

5

6

1

1

1

mm

0,12

L

−

=

−

+

−

=

=

∑

∆

=

=

3

i

1

i

i

12

,

0

24

,

0

24

,

0

L

∆∆∆∆

?

?

?

∆∆∆∆

L

i

, mm

2,1·10

5

0,7 ·10

5

2,1·10

5

E

i

, MPa

-50

33,3

-100

σσσσ

i

, MPa

0,4

0,5

0,5

L

i

, m

3

2

1

i

po czym wykonuje si

ę

obliczenia odcinkowych

zmian długo

ś

ci

∆∆∆∆

L

i

:

Obliczona warto

ść

∆∆∆∆

L informuje,

ż

e

obci

ąż

enia zewn

ę

trzne

działaj

ą

ce na pr

ę

t jak na rysunku,

spowoduj

ą

skrócenie

tego pr

ę

ta o ok. 0,12 mm.

Koniec przykładu 4

na przykład tak, jak poni

ż

ej:

Wtedy oblicza si

ę

całkowit

ą

zmian

ę

∆∆∆∆

L długo

ś

ci pr

ę

ta:

14

Ć

wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 5. – Temat +

obja

ś

nienia

+

obliczenia

=

J

o

k

Pionowy pr

ę

t okr

ą

gły o stałym przekroju i obustronnym utwierdzeniu jak na ry-

sunku, doznał przyrostu temperatury

∆∆∆∆

T = 100°C.

Pr

ę

t stanowi przypadek statycznie niewyznaczalny, bo jego równania równo-

wagi statycznej nie wystarcz

ą

do obliczenia

siły zewn

ę

trznej

R spowodowa-

nej przyrostem temperatury

∆∆∆∆

T.

Sił

ę

R oblicza si

ę

z tzw. równania zgodno

ś

ci

przemieszcze

ń

:

czy

ć

spowodowane przyrostem

∆∆∆∆

T

napr

ęż

enia

σσσσ

T

,

siły wewn

ę

trzne

N

T

oraz

siły zewn

ę

trzne

R, je

ż

eli materiał pr

ę

ta ma moduł E = 2,1·10

5

MPa i współ-

czynnik rozszerzalno

ś

ci liniowej

α

αα

α

wynosz

ą

cy 1,2 ·10

-5

K

-1

.

0

L

L

R

T

=

∆

+

∆

Pomijaj

ą

c ci

ęż

ar pr

ę

ta, obli-

gdzie

∆∆∆∆

L

T

jest przyrostem długo

ś

ci pr

ę

ta, jaki spowodowałby przyrost

∆∆∆∆

T temperatury tego pr

ę

ta, gdyby miał on jeden koniec swobodny:

L

T

L

T

⋅

∆

⋅

α

=

∆

∆∆∆∆

L

R

jest skróceniem pr

ę

ta, jakie spowoduj

ą

jego

siły zewn

ę

trzne

R:

E

L

L

T

R

σ

⋅

=

∆

Krok

1

,

2

,

3

i

4

aw. - cz

ęść

2

- Obliczenia

kN

126

R

kN

126

-

N

MPa

252

T

T

=

=

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

−

σ

=

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

⇒

=

σ

⋅

+

⋅

⋅

α

−

−

−

=

⋅

α

−

=

N

N

10

126

10

5

10

252

10

2,1

100

10

1,2

E

∆

T

0

E

L

L

∆

T

T

3

4

6

T

5

5

T

A

σσσσ

Koniec przykładu nr 5

Krok

1

,

2

,

3

i

4

aw.- cz

ęść

1 -

obja

ś

nienia