1

Materiały dydaktyczne zawieraj

ą

ce 20 slajdów na 10 stronach,

dotycz

ą

ce

ć

wiczenia T5 z przedmiotu „Wytrzymało

ść

materiałów”,

przeznaczone

dla studentów II roku studiów I stopnia w kierunku „Energetyka”

na wydz. Energetyki i Paliw w AGH

Autor materiałów i osoba prowadz

ą

ca

ć

wiczenia:

Marek Płachno, dr hab. in

ż

., prof. AGH

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,

ni

ż

podane w ich przeznaczeniu.

Ć

wiczenie T5

Temat:

Obliczanie wytrzymało

ś

ciowe pr

ę

tów kołowych skr

ę

canych

Na

ć

wiczeniu T5 - na przykładzie pr

ę

tów skr

ę

canych - studenci poznaj

ą

praktycznie trzy

z sze

ś

ciu kroków obliczeniowych analizy wytrzymało

ś

ciowej (aw.) podanych na

ć

wiczeniu T2:

• krok 2 aw. – na

ć

wiczeniu T5 - dla oblicze

ń

rozkładu momentów

wewn

ę

trznych

po

dłu-

gosci

pr

ę

ta, powoduj

ą

cych

skr

ę

canie

swobodne

pr

ę

ta,

• krok 5 aw. – na

ć

wiczeniu T5

-

sprawdzanie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

na

skr

ę

canie

dla

pr

ę

ta o przekroju

kołowym

,

• krok 6 aw. – na

ć

wiczeniu T5 - sprawdzanie

warunku

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

dla pr ta

o przekroju

kołowym

.

Przykład nr 1 –

Temat

2

Dla pr

ę

ta (

wału

) o schemacie zewn

ę

trznych momentów

obrotowych

M

1

,

M

2

i

M

3

jak na rysunku, na którym

M

1

i

M

2

to momenty

oporowe

, a

M

3

– to moment

nap

ę

-

dowy

, obliczy

ć

oraz narysowa

ć

wykres

rozkładu

po dłu-

go

ś

ci

wału

jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

-

cych

,

je

ż

eli

M

1

= M;

M

2

= 2M;

M

3

= 3M.

2

Wtedy - gdy mo

ż

na przyj

ąć

zało

ż

enie

-

ż

e decyduj

ą

cym czynnikiem

napr

ęż

e

ń

oraz

odkształce

ń

w materiale pr

ę

ta jest moment

wewn

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy,

Takie

zało

ż

enie

spełniaj

ą

zwykle pr

ę

ty o przekroju

kołowym

, którymi s

ą

np.

wały

maszynowe

,

Kiedy

skr

ę

canie

pr

ę

ta mo

ż

na uwa

ż

a

ć

za

swobodne

?

obliczony dla poszczególnych przekrojów poprzecznych pr

ę

ta ze wzgl

ę

du na

momenty

zewn

ę

trzne

obrotowe

tego pr

ę

ta.

tj. pr

ę

ty przenosz

ą

ce -

oprócz

innych obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

-

tak

ż

e momenty

zewn

ę

trzne

obrotowe

powoduj

ą

ce

skr

ę

canie

swobodne

.

Ć

wiczenie T5 - praktyczna wskazówka

Zasada

analizy wytrzymało

ś

ciowej pr

ę

ta

skr

ę

canego

:

Skr

ę

canie

pr

ę

ta o przekroju

kołowym

uwa

ż

a si

ę

w analizie wytrzymało

ś

ciowej

za

skr

ę

canie

swobodne

.

2.

Ś

rodek długo

ś

ci

lewego

czopa wału oznacza si

ę

na

osi

wału

liter

ą

A,

ś

rodek dłu-

go

ś

ci

prawego

czopa

-

liter

ą

B,

natomiast

kolejnym punktom

osi

wału, w których

s

ą

przyło

ż

one momenty

zewn

ę

trzne

obrotowe,

przypisuje si

ę

nast

ę

pne litery al-

fabetu, np. C, D, E.

1. Jako parametry wyznaczanego

rozkładu

oblicza si

ę

momenty

wewn

ę

trzne

dla

lewej

i

prawej

strony

tylu

my

ś

lowych

przekrojów poprzecznych wału, do

ilu

punktów

osi

wału s

ą

przyło

ż

one momenty

zewn

ę

trzne

obrotowe.

3.

Lew

ą

i

praw

ą

stron

ę

ka

ż

dego

przekroju

my

ś

lowego

oznacza si

ę

dwuliterowym

symbolem, w którym na

pierwszym

miejscu jest

litera

przypisana do punktu

nale

żą

cego do

tego

przekroju, a na miejscu

drugim

jest

litera

A – gdy symbol

dotyczy

lewej

strony przekroju,

albo

litera

B - gdy symbol odnosi si

ę

do

prawej

strony tego przekroju.

Ć

wiczenie T5 – praktyczne zasady obliczania

rozkładu

momentów

wewn

ę

trznych

powoduj

ą

cych

skr

ę

canie

swobodne

pr

ę

ta - cz

ęść

1

3

1.

Suma

momentów - tj. moment

wewn

ę

trzny

działaj

ą

cy na

lewej

stronie przekroju

my

ś

lowego

plus

wszystkie

momenty

obrotowe

działaj

ą

ce na

lewo

od tego przekro-

ju, ale bez momentu

obrotowego

przynale

ż

nego do tego przekroju - jest

równa

zero

.

2.

Suma

momentów - tj. moment

wewn

ę

trzny

działaj

ą

cy na

prawej

stronie przekroju

my

ś

lowego

plus

wszystkie

momenty

obrotowe

działaj

ą

ce na

prawo

od tego przekro-

ju, ale bez momentu

obrotowego

przynale

ż

nego do tego przekroju - jest

równa

zero

.

3. Składniki

sumy

momentów obliczanej dla

lewej

i dla

prawej

strony

my

ś

lowego

przek-

roju s

ą

dodatnie

, gdy maj

ą

zwroty

zgodne

z momentami

M

s

na rysunkach poni

ż

ej:

Ć

wiczenie T5 – praktyczne zasady obliczania

rozkładu

momentów

wewn

ę

trznych

powoduj

ą

cych

skr

ę

canie

swobodne

pr

ę

ta - cz

ęść

2

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 1

Dla pr

ę

ta (wału) o schemacie momentów obrotowych

M

1

, M

2

i M

3

jak na rysunku, obliczy

ć

oraz narysowa

ć

wykres

rozkładu

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

cych

,

je

ż

eli M

1

= M; M

2

= 2M;

M

3

= 3M.

Trzy kroki obliczeniowe

:

1. Sporz

ą

dzenie tablicy

danych

z szablonem tablicy

wyników

oblicze

ń

oraz szablonu

wykresu

rozkładu

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

cych

.

2. Sformułowanie równa

ń

sumy

momentów,

rozwi

ą

zanie

tych równa

ń

oraz wpisanie

uzyskanych rozwi

ą

za

ń

do tablicy

wyników

.

3. Opracowanie

wykresu

rozkładu

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

cych

.

Temat

:

4

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 1

Dla pr

ę

ta (wału) o schemacie momentów obrotowych

M

1

, M

2

i M

3

jak na rysunku, obliczy

ć

oraz narysowa

ć

wykres

rozkładu

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

cych

,

je

ż

eli M

1

= M; M

2

= 2M;

M

3

= 3M.

?

M

EA

?

M

EB

?

M

BA

Dane

?

?

?

?

?

3M

2M

M

M

DB

M

DA

M

CB

M

CA

M

AB

M

3

M

2

M

1

Wyniki oblicze

ń

Krok 1: Sporz

ą

dzenie tablicy

danych

z szablonem tab-

licy

wyników

oblicze

ń

oraz szablonu wykresu

rozkładu

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

cych

.

Temat

:

Tablica

danych

z szablonem tablicy

wyników

oblicze

ń

Szablon wykresu

rozkładu

po

długo

ś

ci wału jego momentów

skr

ę

caj

ą

cych

7

8

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 1

Dla pr

ę

ta (wału) o schemacie momentów obrotowych M

1

, M

2

i M

3

jak na rysunku, obliczy

ć

oraz narysowa

ć

wykres

rozkła-

du

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

-

caj

ą

cych

,

je

ż

eli M

1

= M; M

2

= 2M; M

3

= 3M.

Krok 2. Sformułowanie równa

ń

sumy

momentów,

rozwi

ą

zanie

1) Równania

sumy

momentów dla

lewych

stron przekrojów w punktach C, D, E i B:

0.

M

3M

M

M

M

0

M

BA

EA

DA

CA

=

+

−

−

=

⇒

=

−

+

+

−

=

−

−

=

⇒

=

+

+

−

=

−

=

⇒

=

+

=

⇒

=

+

3

2

1

3

2

1

BA

2

1

2

1

EA

1

1

DA

CA

M

M

M

0

M

M

M

M

,

M

M

0

M

M

M

,

M

0

M

M

,

0

0

M

2) Równania

sumy

momentów dla

lewych

stron przekrojów w punktach A, C, D i E:

.

0

M

3M

M

M

M

0

M

EB

DB

CB

AB

=

⇒

=

+

=

−

=

⇒

=

+

−

=

−

=

⇒

=

+

−

=

−

+

=

⇒

=

+

−

−

0

0

M

,

-

M

0

M

M

,

M

M

0

M

M

M

,

M

M

M

0

M

M

M

M

EB

3

3

DB

3

2

3

2

CB

3

2

1

3

2

1

AB

0

0

-3M

-3M

- M

- M

0

0

3M

2M

M

M

BA

M

EB

M

EA

M

DB

M

DA

M

CB

M

CA

M

AB

M

3

M

2

M

1

Wyniki oblicze

ń

Dane

tych równa

ń

oraz wpisanie uzyskanych rozwi

ą

za

ń

do tablicy

wyników

.

Temat

:

5

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 1

-3M

M

EA

0

M

EB

0

M

BA

Dane

-3M

- M

- M

0

0

3M

2M

M

M

DB

M

DA

M

CB

M

CA

M

AB

M

3

M

2

M

1

Wyniki oblicze

ń

Krok 3: Opracowanie

wykresu

rozkładu

po długo

ś

ci wału

jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

caj

ą

cych

.

Temat

:

Dla pr

ę

ta (wału) o schemacie momentów obrotowych M

1

, M

2

i M

3

jak na rysunku, obliczy

ć

oraz narysowa

ć

wykres

rozkła-

du

po długo

ś

ci wału jego momentów

wewn

ę

trznych

skr

ę

ca-

j

ą

cych

,

je

ż

eli M

1

= M; M

2

= 2M; M

3

= 3M.

Wykres

rozkładu

po długo

ś

ci

wału jego momentów

skr

ę

caj

ą

cych

Wnioski

wynikaj

ą

ce z

wykresu:

1. W przekrojach wału usytuowanych na zewn

ą

trz płaszczyzn

działania momentów obrotowych M

1

i M

3

, moment

wew-

n

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy

wał jest równy

zero

.

2.

Ekstremalny

moment

wewn

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy

obci

ąż

a wał

nie

tylko na odcinku o

najwi

ę

kszej

ś

rednicy

d

3

,

ale

tak

ż

e

na odcinku o

ś

rednicy

d

2

mniejszej

od

ś

rednicy

d

3

.

9

10

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunek

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

wału z przykładu nr 1, je

ż

eli:

M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,

e = 0,3 m, d

1

= 50 mm, d

2

= 65 mm, d

3

= 100 mm, napr

ę

-

ż

enie dopuszczalne na

skr

ę

canie

k

s

= 120 MPa, dopusz-

czalny k

ą

t

skr

ę

tu

ןφ

dop

ן

= 0,1°, E = 2,1·10

5

MPa,

ν

ν

ν

ν

=0,3.

Nowe

poj

ę

cia dotycz

ą

ce przykładu nr 2:

1.

Wska

ź

nik

wytrzymało

ś

ci

przekroju kołowego na

skr

ę

-

canie

.

2.

Rozkład

napr

ęż

e

ń

stycznych

w przekroju okr

ą

głym

pr

ę

ta spowodowanych momentem

wewn

ę

trznym

skr

ę

-

caj

ą

cym obliczonym dla takiego przekroju.

3.

Definicja

fizyczna i

algebraiczna

warunku

bezpiecze

ń

stwa

na

skr

ę

canie

pr

ę

ta o

stałym

albo o

zmiennym

odcinkowo momencie

wewn

ę

trznym

skr

ę

caj

ą

cym i przekroju kołowym.

4.

Definicja

fizyczna i

algebraiczna

warunku

sztywno

ś

ci

na skr

ę

canie

pr

ę

ta, który ma

stałe

albo

zmienne

odcinkowo: moment

wewn

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy, przekrój kołowy oraz własno

ś

ci

spr

ęż

yste materiału.

Temat

:

6

11

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunek

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

wału z przykładu nr 1, je

ż

eli:

M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,

e = 0,3 m, d

1

= 50 mm, d

2

= 65 mm, d

3

= 100 mm, napr

ę

-

ż

enie dopuszczalne na

skr

ę

canie

k

s

= 120 MPa, dopusz-

czalny k

ą

t

skr

ę

tu

l

φ

dop

l = 0,1°, E = 2,1·10

5

MPa,

ν

ν

ν

ν

=0,3.

Sze

ść

kroków

post

ę

powania

obliczeniowego

:

1.

Zestawienie

wzorów do oblicze

ń

.

2.

Tablica

danych do oblicze

ń

.

3.

Szablon

tablicy

wyników

oblicze

ń

.

4.

Obliczenie

parametrów

warunku

bezpiecze

ń

stwa

na

5.

Obliczenie

parametrów

warunku

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

analizowanego wału oraz wpi-

sanie tych parametrów do tablicy

wyników

.

6.

Sprawdzenie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunku

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

analizo-

wanego wału.

skr

ę

canie

analizowanego wału oraz wpisanie tych parametrów do tablicy

wyników

.

Temat

:

12

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunek

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

wału z przykładu nr 1, je

ż

eli:

M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,

e = 0,3 m, d

1

= 50 mm, d

2

= 65 mm, d

3

= 100 mm, napr

ę

-

ż

enie dopuszczalne na

skr

ę

canie

k

s

= 120 MPa, dopusz-

czalny k

ą

t

skr

ę

tu

l

φ

dop

l = 0,1°, E = 2,1·10

5

MPa,

ν

ν

ν

ν

=0,3.

Krok 1.

Zestawienie

wzorów do oblicze

ń

.

Cz

ęść

1 -

Warunek

bezpiecze

ń

stwa

na

skr

ę

canie

anali-

zowanego wału, maj

ą

cego

zmienny

odcinkowo zarówno

moment

wewn

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy, jak i przekrój kołowy.

[ ]

4

3,

2,

1,

n

,

)

d

(

2

,

0

16

)

d

(

W

,

k

W

M

max

max

3

n

j

3

n

j

on

s

on

sn

sn

max

s

=

⋅

≈

π

=

≤

















=

=

τ

τ

M

sn

- moment

wewn

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy odczytany

z wykresu jw. dla n-tego odcinka wału,

W

on

- wska

ź

nik przekroju kołowego obliczony dla

n-tego odcinka analizowanego wału,

d

j

n

–

ś

rednica d

1

, d

2

lub d

3

wału o schemacie jw., brana do oblicze

ń

wska

ź

nika W

on

.

Temat

:

12

7

13

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunek

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

wału z przykładu nr 1, je

ż

eli:

M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,

e = 0,3 m, d

1

= 50 mm, d

2

= 65 mm, d

3

= 100 mm, napr

ę

-

ż

enie dopuszczalne na

skr

ę

canie

k

s

= 120 MPa, dopusz-

czalny k

ą

t

skr

ę

tu

l

φ

dop

l = 0,1°, E = 2,1·10

5

MPa,

ν

ν

ν

ν

=0,3.

Krok 1.

Zestawienie

wzorów do oblicze

ń

.

Cz

ęść

2 -

Warunek

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

analizowa-

nego wału, maj

ą

cego

zmienny

odcinkowo zarówno mo-

ment

wewn

ę

trzny

skr

ę

caj

ą

cy, jak i przekrój kołowy.

[ ]

4

3,

2,

1,

n

,

)

2(1

E

G

4,

3,

2,

1,

n

,

)

d

(

1

,

0

32

)

d

(

J

J

G

L

M

3

,

57

n

n

n

4

n

j

4

n

j

on

dop

4

n

1

n

on

n

n

sn

4

n

1

n

c

c

=

ν

+

=

=

⋅

≈

π

=

≤

⋅

⋅

⋅

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

∑

∑

=

=

=

=

o

L

n

– długo

ść

n-tego odcinka analizowanego wału,

J

on

– biegunowy moment bezwładno

ś

ci przekroju

kołowego obliczony dla n-tego odcinka wału,

G

n

- moduł spr

ęż

ysto

ś

ci postaciowej obliczony

dla n-tego odcinka wału.

Temat

:

14

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Sprawdzi

ć

warunek

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunek

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

wału z przykładu nr 1, je

ż

eli:

M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,

e = 0,3 m, d

1

= 50 mm, d

2

= 65 mm, d

3

= 100 mm, napr

ę

-

ż

enie dopuszczalne na

skr

ę

canie

k

s

= 120 MPa, dopusz-

czalny k

ą

t

skr

ę

tu

l

φ

dop

l = 0,1°, E = 2,1·10

5

MPa,

ν

ν

ν

ν

=0,3.

Krok 2.

Tablica

danych do oblicze

ń

.

νννν

4

νννν

3

νννν

2

νννν

1

νννν

n

0,3

0,3

0,3

0,3

M

s4

M

s3

M

s2

M

s1

M

sn

,

kNm

-6

-6

-2

-2

0,20

0,25

0,25

0,30

L

4

L

3

L

2

L

1

L

n

,

m

2,1·10

5

2,1·10

5

2,1·10

5

2,1·10

5

E

4

E

3

E

2

E

1

E

n

,

MPa

100

65

65

50

d

34

d

23

d

22

d

11

d

jn

,

mm

4

3

2

1

n

Temat

:

8

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Krok 3.

Szablon

tablicy

wyników

oblicze

ń

?

?

?

?

φ

4

φ

3

φ

2

φ

1

φ

n

,

°

?

?

?

?

G

4

G

3

G

2

G

1

G

n

,

MPa

?

?

?

?

J

o4

J

o3

J

o2

J

o1

J

on

,

cm

4

?

?

?

?

ττττ

s3

ττττ

s3

ττττ

s2

ττττ

s1

ττττ

sn,

MPa

?

?

?

?

W

o4

W

o3

W

o2

W

o1

W

on

,

cm

3

4

3

2

1

n

[ ]

4,

3,

2,

1,

n

)

1

(

2

E

G

,

)

d

(

1

,

0

32

)

d

(

J

J

G

L

M

3

,

57

n

n

n

4

n

j

4

n

j

on

dop

4

n

1

n

on

n

n

sn

4

n

1

n

c

c

=

ν

+

=

⋅

≈

π

=

≤

⋅

⋅

⋅

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

∑

∑

=

=

=

=

o

[ ]

4

3,

2,

1,

n

,

)

d

(

2

,

0

16

)

d

(

W

,

k

W

M

max

max

3

n

j

3

n

j

on

s

on

sn

sn

max

s

=

⋅

≈

π

=

≤

















=

=

τ

τ

16

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Krok 4 -

Obliczenie

parametrów

warunku

bezpiecze

ń

stwa

na

skr

ę

canie

analizowanego wału

oraz wpisanie tych parametrów do tablicy

wyników

.

4

3,

2,

1,

n

,

)

d

(

2

,

0

16

)

d

(

W

3

jn

3

jn

on

=

⋅

≈

π

=

Cz

ęść

1 -

Wska

ź

niki

przekrojów analizowanego wału na

skr

ę

canie

dla jego odcinków 1, 2, 3 i 4

100

65

65

50

d

34

d

23

d

22

d

11

d

jn

,

mm

4

3

2

1

n

Wzór do

oblicze

ń

:

Parametry
podstawiane
do wzoru:

Obliczenia

i ich

wyniki

:

3

o4

3

o3

3

o2

3

o1

cm

200,0

W

cm

54,9

W

cm

54,9

W

cm

25,0

W

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

−

−

−

−

3

6

3

3

-

3

34

3

6

3

3

-

3

23

3

6

3

3

-

3

22

3

6

3

-3

3

11

m

10

0

,

200

)

10

(100

0,2

)

d

(

2

,

0

m

10

9

,

54

)

10

(65

0,2

)

d

(

2

,

0

m

10

9

,

54

)

10

(65

0,2

)

d

(

2

,

0

m

10

0

,

25

)

10

(50

0,2

)

d

(

2

,

0

200,0

54,9

54,9

25,0

W

o4

W

o3

W

o2

W

o1

W

on

,

cm

3

4

3

2

1

n

9

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Krok 4 -

Obliczenie

parametrów warunku

bezpiecze

ń

stwa

na

skr

ę

canie

analizowanego wału

oraz wpisanie tych parametrów do tablicy

wyników.

Cz

ęść

2 –

Napr

ęż

enia

ττττ

sn

Wzór do

oblicze

ń

:

Parametry
podstawiane
do wzoru:

Obliczenia

i ich

wyniki

:

200,0

54,9

54,9

25,0

W

o4

W

o3

W

o2

W

o1

W

on

,

cm

3

4

3

2

1

n

4,

3,

2,

1,

n

,

W

M

on

sn

s

=

=

τ

-6

-6

-2

-2

M

s4

M

s3

M

s2

M

s1

M

sn

,

kNm

4

3

2

1

n

,

Pa

10

4

,

36

10

9

,

54

10

2

W

M

,

Pa

10

80

10

25

10

2

W

M

6

6

3

o1

s2

6

6

3

o1

s1

MPa

36,4

MPa

80

s2

s1

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

−

−

ττττ

ττττ

MPa.

30

MPa

109,3

s4

s3

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

−

−

Pa

10

30

10

200

10

6

W

M

,

Pa

10

3

,

109

10

9

,

54

10

6

W

M

6

6

3

o4

s4

6

6

3

o3

s3

ττττ

ττττ

30

109,3

36,4

80

ττττ

s3

ττττ

s3

ττττ

s2

ττττ

s1

ττττ

sn

,

MPa

4

3

2

1

n

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Krok 5 -

Obliczenie

parametrów

warunku

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

analizowanego wału oraz

wpisanie tych parametrów do tablicy

wyników

Cz

ęść

1 –

Biegunowe

momenty

bezwładno

ś

ci przekrojów wału

u

u

u dla jego odcinków 1, 2, 3 i 4

100

65

65

50

d

34

d

23

d

22

d

11

d

jn

,

mm

4

3

2

1

n

Wzór do

oblicze

ń

:

Parametry
podstawiane
do wzoru:

Obliczenia

i ich

wyniki

:

4

4

o4

4

o3

4

o2

4

o1

cm

10

J

cm

1785

J

cm

1785

J

cm

625

J

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

−

−

−

−

3

8

4

3

-

4

34

3

8

4

3

-

4

23

4

8

4

3

-

4

22

4

8

4

-3

4

11

m

10

10000

)

10

(100

0,1

)

d

(

1

,

0

m

10

1785

)

10

(65

0,1

)

d

(

1

,

0

m

10

1785

)

10

(65

0,1

)

d

(

1

,

0

m

10

625

)

10

(50

0,1

)

d

(

1

,

0

10000

1785

1785

625

W

o4

W

o3

W

o2

W

o1

J

on

,

cm

4

4

3

2

1

n

4

3,

2,

1,

n

,

)

d

(

1

,

0

32

)

d

(

J

4

n

j

4

n

j

on

=

⋅

≈

π

=

10

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Krok 5 -

Obliczenie

parametrów

warunku

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

analizowanego wału oraz

wpisanie tych parametrów do tablicy

wyników

Cz

ęść

2 –

moduł

spr

ęż

ysto

ś

ci

postaciowej

G:

Wzór do

oblicze

ń

:

Dane do

oblicze

ń

:

Wynik

oblicze

ń

:

,

)

2(1

E

G

n

n

n

ν

+

=

E

n

= 2,1·10

5

MPa,

νννν

n

= 0,3

MPa

10

0,96

G

5

n

)

3

,

0

2(1

10

2,1

5

⋅

=

+

⋅

=

Cz

ęść

3 – k

ą

ty

skr

ę

cenia

φ

n

:

Wzór do

oblicze

ń

:

[ ]

on

n

n

sn

n

J

G

L

M

3

,

57

⋅

⋅

⋅

=

ϕ

o

Parametry podstawiane do wzoru:

J

o4

J

o3

J

o2

J

o1

J

on

,

cm

4

10000

1785

1785

625,0

G

4

G

3

G

2

G

1

G

n

,

MPa

96·10

7

96·10

7

96·10

7

96·10

7

-6

-6

-2

-2

M

s4

M

s3

M

s2

M

s1

M

sn

,

kNm

0,20

0,25

0,25

0,30

L

4

L

3

L

2

L

1

L

n

,

m

4

3

2

1

n

.

0,007

0,050

0,017

0,057

4

3

2

1

o

o

o

o

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

−

−

−

−

8

6

5

3

4

o

4

4

s4

8

6

5

3

3

o

3

3

s3

8

6

5

3

2

o

2

2

s2

8

6

5

3

1

o

1

1

s1

10

1785

10

10

96

,

0

20

,

0

10

6

3

,

57

J

G

L

M

3

,

57

,

10

1785

10

10

96

,

0

25

,

0

10

6

3

,

57

J

G

L

M

3

,

57

,

10

1785

10

10

96

,

0

25

,

0

10

2

3

,

57

J

G

L

M

3

,

57

,

10

625

10

10

96

,

0

3

,

0

10

2

3

,

57

J

G

L

M

3

,

57

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

Obliczenia

i

wyniki

oblicze

ń

:

Ć

wiczenie T 5 - Przykład nr 2

Krok 6 -

Sprawdzenie

warunku

bezpiecze

ń

stwa

oraz

warunku

sztywno

ś

ci

na

skr

ę

canie

wału:

Tablica danych do oblicze

ń

Tablica wyników oblicze

ń

0,3

0,3

0,3

0,3

νννν

4

νννν

3

νννν

2

νννν

1

νννν

n

-6

-6

-2

-2

M

s4

M

s3

M

s2

M

s1

M

sn

,

kNm

0,20

0,25

0,25

0,30

L

4

L

3

L

2

L

1

L

n

,

m

2,1·10

5

2,1·10

5

2,1·10

5

2,1·10

5

E

4

E

3

E

2

E

1

E

n

,

MPa

100

65

65

50

d

34

d

23

d

22

d

11

d

jn

,

mm

4

3

2

1

n

-0,007

-0,050

-0,017

-0,057

φ

4

φ

3

φ

2

φ

1

φ

n

,

°

96·10

7

96·10

7

96·10

7

96·10

7

G

4

G

3

G

2

G

1

G

n

,

MPa

10000

1785

1785

625,0

J

o4

J

o3

J

o2

J

o1

J

on

,

cm

4

30

109,3

36,4

80

ττττ

s3

ττττ

s3

ττττ

s2

ττττ

s1

ττττ

sn

,

MPa

200,0

54,9

54,9

25,0

W

o4

W

o3

W

o2

W

o1

W

on

,

cm

3

4

3

2

1

n

[ ]

[

]

MPa

125

k

MPa

109,3

max

s

sn

smax

=

<

=

=

=

=

30

109,3;

;

4

,

36

;

80

max

ττττ

τ

Warunek bezpiecze

ń

stwa wału

na skr

ę

canie

jest spełniony

►

007

,

0

050

,

0

017

,

0

057

,

0

4

n

1

n

c

c

o

o

o

o

o

o

0,1

0,131

dop

=

>

=

=

−

−

−

−

=

=

∑

=

=

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

►

Warunek sztywno

ś

ci wału

na skr

ę

canie

nie jest spełniony

20