1

1

Materiały dydaktyczne zawieraj

ą

ce 14 slajdów na 7 stronach,

dotycz

ą

ce

ć

wiczenia T3 z przedmiotu „Wytrzymało

ść

materiałów”,

przeznaczone

dla studentów II roku studiów I – stopnia w kierunku „Energetyka”

na wydz. Energetyki i Paliw w AGH

Autor materiałów i osoba prowadz

ą

ca

ć

wiczenia:

Marek Płachno, dr hab. in

ż

., prof. AGH

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,

ni

ż

podane w ich przeznaczeniu.

2

Ć

wiczenie T3

Temat

ć

wiczenia :

Obliczanie wytrzymało

ś

ciowe typowych poł

ą

cze

ń

konstrukcyjnych,

w których wyst

ę

puje

ś

cinanie techniczne

(poł

ą

czenia sworzniowe, nitowane, ze spoina-

mi pachwinowymi).

Na

ć

wiczeniu T3 - na przykładzie prostych przypadków wytrzymało

ś

ciowych - studenci

poznaj

ą

praktyczne aspekty

5- tego kroku obliczeniowego

aw., obejmuj

ą

cego sprawdzanie

warunków bezpiecze

ń

stwa

elementów mechanicznych.

Przykład nr 1. –

Temat

Pr

ę

ty

1

i

2

o grubo

ś

ci

2g

i szeroko

ś

ci

b = 30 mm

poł

ą

czono ze sob

ą

za pomoc

ą

zł

ą

cza

ś

rubowe-

go maj

ą

cego dwie identyczne nakładki

3

o gru-

bo

ś

ci

g = 6 mm

oraz dwie

ś

ruby

4

ze sworznia-

mi osadzonymi bez luzu w otworach

d = 12 mm

,

zabezpieczone przed wypadni

ę

ciem nakr

ę

tkami

5

z podkładkami

6

.

Sprawdzi

ć

warunki bezpiecze

ń

stwa

dla elemen-

tów poł

ą

czenia, je

ż

eli:

S

= 30 kN, k

r

= 150 MPa,

k

d

= 190 MPa, k

t

= 90 MPa.

2

3

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. –

obja

ś

nienie

nowych okre

ś

le

ń

1.

Warunek bezpiecze

ń

stwa

elementu mechanicznego

W zagadnieniach wytrzymało

ś

ciowych jest to zapisana algebraicznie

nierówno

ść

:

Najwi

ę

ksza warto

ść

napr

ęż

enia

nominalnego

,

obliczonego dla ka

ż

dego z przypadków

napr

ę

-

ż

e

ń

wyst

ę

puj

ą

cych w tzw.

przekrojach niebez-

piecznych

pr

ę

ta,

≤

Warto

ść

dopuszczalna

napr

ęż

enia no-

minalnego

podana w temacie zadania,

odczytana z

normy

,

poradnika

, innego

wiarygodnego

ź

ródła albo

obliczona

.

2.

Napr

ęż

enie

nominalne

:

•

obci

ąż

enie wewn

ę

trzne

, którego

napr

ęż

enie

nominalne

dotyczy, jest

stałe

w czasie,

• przy obliczaniu

napr

ęż

enia

nominalnego

pomija si

ę

zjawisko tzw.

spi

ę

trzenia napr

ęż

e

ń

.

4. Umowne oznaczenia dla niektórych

napr

ęż

e

ń

dopuszczalnych,

najcz

ęś

ciej stosowane:

•

k

r

–

napr

ęż

enie

dopuszczalne

na rozci

ą

ganie,

•

k

t

–

napr

ęż

enie

dopuszczalne

na

ś

cinanie,

• p

d

-

napr

ęż

enie

dopuszczalne

na do-

cisk

sworznia

do powierzchni pół-

walcowej

otworu

, liczony na rzut

płaski tej powierzchni.

•

k

c

–

napr

ęż

enie

dopuszczalne

na

ś

ciskanie

Jest to

napr

ęż

enie

, które obliczono przy nast

ę

puj

ą

cych zało

ż

eniach

:

3. Przekrój

niebezpieczny

pr

ę

ta:

Przekrój, w którym - dla wskazanego

obci

ąż

enia wewn

ę

trz-

nego -

nominalne

napr

ęż

enie

ma najwi

ę

ksz

ą

warto

ść

.

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. - krok

1

aw. - obliczenie

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

elementów poł

ą

czenia

W przypadku

poł

ą

cze

ń

konstrukcyjnych

, krok

1

aw. obejmuje rozdzielenie

poł

ą

czenia

na pojedyncze pr

ę

ty oraz przyło

ż

enie do ka

ż

dego z nich jego

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

,

zast

ę

puj

ą

cych

oddziaływanie

innych pr

ę

tów.

Poniewa

ż

pr

ę

ty

1

i

2

s

ą

takie same, co

dotyczy tak

ż

e nakładek

3

oraz

ś

rub

4

,

do aw

.

wystarczy wydzieli

ć

z poł

ą

cze-

nia po jednym z tych elementów.

W tym przypadku, oblicze-

nia

sił zewn

ę

trznych

dla

elementów poł

ą

czenia s

ą

tak proste,

ż

e mo

ż

na je

wykona

ć

w pami

ę

ci.

3

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. - krok

2

i

3

. - Obliczenia rozkładu

obci

ąż

e

ń

wewn

ę

trznych

oraz

napr

ęż

e

ń

w elementach poł

ą

czenia – cz

ęść

1 – okre

ś

lenie

przekrojów niebezpiecznych

.

osłabiony otworem

φφφφ

d

oraz

umowny

przekrój A

1D

dla punktu

D

, obli-

czany jako rzut płaski powierzchni półwalcowej otworu

φφφφ

d

:

d

g

2

A

)

d

b

(

g

2

A

⋅

⋅

=

−

⋅

⋅

=

1D

1C

punktu

D

i przekrój

A

3E

dla punktu

E

, ka

ż

dy osłabiony otworem

φφφφ

d

,

oraz

umowny

przekrój

A

3C

dla punktu

C

i

A

3F

punktu

F

,

ka

ż

dy obli-

czany analogicznie jak przekrój

A

1C

dla punktu

C

pr

ę

ta

1

:

d

g

A

A

d)

(b

g

A

A

⋅

=

=

−

⋅

=

=

3F

3C

3E

3D

oraz przekrój

A

4D

dla punktu

D

, obliczane dla sworznia tej

ś

ruby jako

:

4

d

A

A

2

4D

4C

⋅

=

=

π

ma

dw

a

przekroje niebezpieczne

:

przekrój

A

1C

dla punktu

C

Pr

ę

t

1

ma

cztery

przekroje niebezpieczne

:

przekroje

A

3D

dla

Nakładka

3

ma

dw

a

przekroje niebezpieczne

:

przekrój

A

4C

dla punktu

C

Ś

ruba

4

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. - krok

2

i

3

. - Obliczenia

sił wewn

ę

trznych

oraz

napr

ęż

e

ń

w elementach

poł

ą

czenia

–

cz

ęść

2

–

okre

ś

lenie

przypadków

sił wewn

ę

trznych

i

napr

ęż

e

ń

.

odcinku

DB

,

powoduj

ą

c

ą

w przekroju

A

1C

napr

ęż

enie rozci

ą

gaj

ą

-

ce

σσσσ

1C

,

a w przekroju

umownym

A

1D

-

docisk powierzchniowy

p

1D

:

N

3

=

0

na odcinkach

AC

i

FB

, powoduj

ą

c

ą

w przekrojach

A

3D

i

A

3E

napr

ęż

enia rozci

ą

gaj

ą

ce

σσσσ

3D

i

σσσσ

3E

, a w przekrojach

umownych

A

3C

i

A

3F

-

docisk powierzchniowy

p

3C

oraz

p

3F

:

A

4C

i

A

4D

powoduje tzw.

ś

cinanie techniczne

, tj.

napr

ęż

enia stycz

-

ne

ś

rednie

ττττ

4C

i

ττττ

4D

obliczane jako:

1D

1D

1D

1C

1C

1C

A

N

p

,

A

N

=

=

σ

3F

3F

3F

3C

3C

3C

3E

3E

3E

3D

3D

3D

A

N

p

,

A

N

p

A

N

,

A

N

=

=

=

σ

=

σ

4D

4D

4D

4C

4C

4C

A

T

,

A

T

=

=

τ

τ

ma

sił

ę

wewn

ę

trzn

ą

N

1

=

S

na odcinku

AD

oraz

N

1

=

0

na

Pr

ę

t

1

ma

sił

ę

w ewn

ę

trzn

ą

N

3

=

0,5 S

na odcinku

CF

oraz

Nakładka

3

ma

sił

ę

wewn

ę

trzn

ą

tn

ą

c

ą

T

4

=

0,5 S

,

która w przekrojach

Ś

ruba

4

4

7

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. - krok

2

i

3

. - Obliczenia

sił wewn

ę

trznych

oraz

napr

ęż

e

ń

w elementach

poł

ą

czenia – cz

ęść

3 – tablica

sił wewn

ę

trznych

i

napr

ęż

e

ń

136,4

136,4

-

-

-

-

-

-

ττττ

t

, MPa

-

-

93,8

-

-

214,3

214,3

-

p

d

, MPa

-

-

-

136,4

136,4

-

-

136,4

σσσσ

r

,

MPa

1,1

1,1

0,7

1,1

1,1

0,7

1,4

2,2

A, cm

2

15

15

0

0

0

0

0

0

T

, kN

0

0

15

15

15

15

30

30

N

, kN

4

D

4

C

3

F

3

E

3

D

3

C

1

D

1

C

Kod

przekroju

Ś

ruby

4

Nakładki

3

Pr

ę

ty

1

i

2

Element

8

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. – krok

5

. - Sprawdzenie

warunków bezpiecze

ń

stwa

dla elementów poł

ą

-

czenia - cz

ęść

1- zasady formułowania

warunków bezpiecze

ń

stwa

1. Dla ka

ż

dego elementu mechanicznego analizowanego wytrzymało

ś

ciowo nale

ż

y sformułowa

ć

tyle

warunków bezpiecze

ń

stwa

, ile przypadków

napr

ęż

e

ń

dotyczy

tego elementu

.

2. Dla ka

ż

dego przypadku napr

ęż

e

ń

formułuje si

ę

warunek bezpiecze

ń

stwa

jako algebraiczny

zapis nast

ę

puj

ą

cej nierówno

ś

ci (

przypomnienie

):

Ekstremalna warto

ść

napr

ęż

enia

nomi-

nalnego

obliczona dla przypadku

nap

-

r

ęż

e

ń

, którego formułowany warunek

dotyczy,

Zadana warto

ść

dopuszczalna

napr

ęż

enia

nominalnego

odnosz

ą

ca si

ę

do przypadku

napr

ęż

e

ń

, którego formułowany warunek do-

tyczy.

≤

3.

Napr

ęż

enie

nominalne

oblicza si

ę

przy nast

ę

puj

ą

cych zało

ż

eniach (

przypomnienie

)

:

•

obci

ąż

enie wewn

ę

trzne

, którego

napr

ęż

enie

nominalne

dotyczy, jest

stałe

w czasie,

• przy obliczaniu

napr

ęż

enia

nominalnego

pomijane jest zjawisko tzw.

spi

ę

trzenia

napr

ęż

e

ń

.

5

9

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. – krok

5

. - Sprawdzenie

warunków bezpiecze

ń

stwa

dla elementów poł

ą

-

czenia - cz

ęść

2 - tablica

warunków bezpiecze

ń

stwa

Warunek nie jest

spełniony

Warunek nie jest

spełniony

Warunek jest

spełniony

Warunek nie jest

spełniony

Warunek jest

spełniony

136,4 > 90

214,3 > 190

136,4 < 150

214,3 > 190

136,4 < 150

ττττ

t max

≤

k

t

p

d max

≤

k

d

σσσσ

r max

≤

k

r

p

d max

≤

k

d

σσσσ

r max

≤

k

r

Warunek

bezpie-

cze

ń

stwa

90

136,4

190

214,3

150

136,4

190

214,3

150

136,4

k

t

ττττ

t max

k

d

p

d max

k

r

σσσσ

r max

k

d

p

d max

k

r

σσσσ

r max

Napr

ę

-

ż

enie,

MPa

Ś

ruby

4

Nakładki

3

Pr

ę

ty

1

i

2

Element

136,4

136,4

-

-

-

-

-

-

ττττ

t

,

MPa

-

-

93,8

-

-

214,3

214,3

-

p

d

, MPa

-

-

-

136,4

136,4

-

-

136,4

σσσσ

r

,

MPa

4

D

4

C

3

F

3

E

3

D

3

C

1

D

1

C

Kod

przekroju

Ś

ruby

4

Nakładki

3

Pr

ę

ty

1

i

2

Element

1). Tablic

ę

warunków bezpiecze

ń

stwa

sporz

ą

dza si

ę

na podstawie

tablicy napr

ęż

e

ń

:

2).Tablica

warunków bezpiecze

ń

stwa

dla poł

ą

czenia z przykładu nr 1

Koniec przykładu 1

10

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 2. –

Temat

Sprawdzi

ć

warunki bezpiecze

ń

stwa

dla elementów po-

ł

ą

czenia, je

ż

eli:

S

= 30 kN, k

r

= 150 MPa, k

ts

= 75 MPa.

3.

Grubo

ść

a

spoiny pachwinowej jest

wysoko

ś

ci

ą

trójk

ą

ta równoramiennego, który odwzo-

rowuje przekrój poprzeczny tej spoiny.

1. Spoina pachwinowa w zł

ą

czu spawanym jest

poprzeczna

, je

ż

eli

dłu

ż

szy bok przekroju obli-

czeniowego

tej spoiny jest prostopadły do kierunku

sił zewn

ę

trznych

działaj

ą

cych na poł

ą

-

czone elementy.

Przykład nr 2. – Obja

ś

nienie

poj

ęć

2.

Dłu

ż

szy bok przekroju obliczeniowego

b

o

spoiny pachwinowej oblicza si

ę

jako jej długo

ść

konstrukcyjn

ą

b

pomniejszon

ą

o dwie

grubo

ś

ci

a

tej spoiny:

a

2

b

b

⋅

−

=

oooo

4.

Przekrój obliczeniowy

A

o

spoiny pachwinowej jest iloczy-

nem jej

grubo

ś

ci

a

oraz

dłu

ż

szego boku

b

o

tego przekroju:

)

a

2

b

(

a

b

a

A

⋅

−

⋅

=

⋅

=

o

o

Pr

ę

ty

1

i

2

o grubo

ś

ci

2g

i szeroko

ś

ci

b = 30 mm

poł

ą

-

czono ze sob

ą

za pomoc

ą

zł

ą

cza spawanego maj

ą

ce-

go cztery takie same spoiny pachwinowe

poprzeczne

3

o grubo

ś

ci

a = 4 mm

oraz dwie nakładki

4

o grubo

ś

ci

g = 6 mm.

6

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 2. - krok

1

aw. - obliczenie

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

elementów poł

ą

czenia

Równie

ż

w przypadku poł

ą

czenia spawanego, obliczenia

sił zewn

ę

trznych

dla jego ele-

mentów s

ą

tak proste,

ż

e mo

ż

na je wykona

ć

w pami

ę

ci.

Rozdzielenie

poł

ą

czenia

na pojedyncze pr

ę

ty oraz przyło

ż

enie do ka

ż

dego z nich jego

obci

ąż

e

ń

zewn

ę

trznych

, zast

ę

puj

ą

cych

oddziaływanie

innych pr

ę

tów

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 1. - krok

2

i

3

. - Obliczenia rozkładu

obci

ąż

e

ń

wewn

ę

trznych

oraz

napr

ęż

e

ń

w elementach poł

ą

czenia – cz

ęść

1 - okre

ś

lenie

przypadków

sił wewn

ę

trznych

i

napr

ęż

e

ń

na odcinku

CB

, wskutek czego - w przekrojach odcinka

AC

- ma

napr

ęż

enia roz

-

ci

ą

gaj

ą

ce

σσσσ

1

do obliczenia ze wzoru:

A

N

1

1

1

=

σ

st

ą

d maj

ą

we wszystkich przekrojach takie same

napr

ęż

enia rozci

ą

gaj

ą

ce

σσσσ

4

:

na odcinku

CB

, wskutek czego - w przekrojach odcinka

CB

- ma

napr

ęż

enia roz

-

ci

ą

gaj

ą

ce

σσσσ

2

wynikaj

ą

ce ze wzoru:

A

N

2

2

2

=

σ

A

N

4

4

4

=

σ

ne tn

ą

ce T

3

=

0,5S

na swoich długo

ś

ciach obliczeniowych, st

ą

d maj

ą

we wszyst-

kich przekrojach tej długo

ś

ci

napr

ęż

enia tn

ą

ce

ττττ

3

do obliczenia ze wzoru:

maj

ą

takie same przekroje obliczeniowe A

3

i takie same

siły wewn

ę

trz-

A

T

3

3

3

=

τ

ma stały przekrój A1 i

sił

ę

wewn

ę

trzn

ą

N

1

=

S

na odcinku

AC

oraz

N

1

=

0

Pr

ę

t

1

ma stały przekrój A2 i

sił

ę

wewn

ę

trzn

ą

N

1

=

0

na odcinku

AC

oraz

N

1

=

S

Pr

ę

t

2

Spoiny

3

maj

ą

takie same przekroje A

4

i takie same

siły wewn

ę

trzne N4

=

0,5S

Nakładki

4

7

13

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 2. - krok

2

i

3

. - Obliczenia

sił wewn

ę

trznych

oraz

napr

ęż

e

ń

w elementach

poł

ą

czenia - cz

ęść

2 - tablica

sił wewn

ę

trznych

i

napr

ęż

e

ń

-

83,3

1,8

0

15

3

Nakładki

4

166,7

-

ττττ

t

, MPa

-

83,3

σσσσ

r

,

MPa

0,9

3,6

A, cm

2

15

0

T

, kN

0

30

N

, kN

4

1

lub

2

Kod przekroju

Spoiny

3

Pr

ę

ty

1

i

2

Element

14

Ć

wiczenie T3

Przykład nr 2. - Sprawdzenie

warunków bezpiecze

ń

stwa

dla elementów poł

ą

-

czenia - tablica

warunków bezpiecze

ń

stwa

-

83,3

4

Nakładki

4

166,7

-

ττττ

t

, MPa

-

83,3

σσσσ

r

,

MPa

3

1

lub

2

Kod przekroju

Spoiny

3

Pr

ę

ty

1

i

2

Element

1). Tablic

ę

warunków bezpiecze

ń

stwa

sporz

ą

dza si

ę

na podstawie

tablicy napr

ęż

e

ń

:

2).Tablica

warunków bezpiecze

ń

stwa

dla poł

ą

czenia z przykładu nr 2

Warunek jest

spełniony

83,3 < 150

σσσσ

r max

≤

k

r

83,3

σσσσ

r max

Nakładki

4

150

k

r

Warunek nie jest

spełniony

Warunek jest

spełniony

166,7 > 90

83,3 < 150

ττττ

t max

≤

k

t

σσσσ

r max

≤

k

r

Warunek

bezpie-

cze

ń

stwa

75

166,7

150

83,3

k

t

ττττ

t max

k

r

σσσσ

r max

Napr

ę

-

ż

enie,

MPa

Spoiny

3

Pr

ę

ty

1

i

2

Element

Koniec przykładu 2