1

1

Materiały dydaktyczne zawieraj

ą

ce 19 slajdów na 10 stronach,

dotycz

ą

ce

ć

wiczenia T4 z przedmiotu „Wytrzymało

ść

materiałów”,

przeznaczone

dla studentów II roku studiów I stopnia w kierunku „Energetyka”

na wydz. Energetyki i Paliw w AGH

Autor materiałów i osoba prowadz

ą

ca

ć

wiczenia:

Marek Płachno, dr hab. in

ż

., prof. AGH

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,

ni

ż

podane w ich przeznaczeniu.

Ć

wiczenie T4

Temat:

Analiza stanu napr

ęż

enia i odkształcenia w materiale elementu konstrukcji

Na

ć

wiczeniu T4 studenci poznaj

ą

wa

ż

ny

przypadek

analizy wytrzymało

ś

ciowej

dotycz

ą

cy tej analizy w punkcie materiału nale

żą

cym nie

tylko

do wskazanej

powierzchni

przekroju

pr

ę

ta, ale

te

ż

do

obj

ę

to

ś

ci

materiału w

bliskim otoczeniu

tego punktu.

Przykład nr 1. –

Temat

Obliczy

ć

warto

ś

ci

i

kierunki

dla ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

rozci

ą

gaj

ą

cych

oraz

ś

ciskaj

ą

cych -

tj.

napr

ęż

e

ń

głównych,

a tak

ż

e kierunki i warto

ś

ci ekstremalnych napr

ęż

e

ń

stycznych

w punk-

cie obj

ę

to

ś

ci materiału maj

ą

cym

płaski

stan napr

ęż

e

ń

o parametrach wyra

ż

onych w

ogólnej

postaci jako

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa.

Nowe

poj

ę

cia dotycz

ą

ce

tematu

zadania:

1. Definicje i oznaczenia

ogólnej postaci

parametrów dla

przestrzennego

stanu napr

ęż

e

ń

w punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału.

2. Definicje i oznaczenia

napr

ęż

e

ń

głównych

i

kierunków

głównych

dla

przestrzennego

stanu napr

ęż

e

ń

jw

.

3. Oznaczenia

napr

ęż

e

ń

głównych

i

kierunków

głównych

dla

płaskiego

i

jednoosiowego

stanu napr

ęż

e

ń

jw.

4. Zale

ż

no

ś

ci algebraiczne do obliczania warto

ś

ci i kierunków

napr

ęż

e

ń

głównych

oraz

warto

ś

ci i kierunków ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

stycznych

dla parametrów

płaskiego

stanu napr

ęż

e

ń

wyra

ż

onych w

postaci ogólnej

.

2

2

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Obliczy

ć

warto

ś

ci

i

kierunki

dla ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

rozci

ą

gaj

ą

cych,

ś

ciskaj

ą

cych

oraz

stycznych

w punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału maj

ą

cym

płaski stan

napr

ęż

e

ń

o parametrach

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa

1.

Szablon

tablicy

wyników oblicze

ń

.

2.

Schemat

elementarnego prostok

ą

ta

EPT

dla analizowanego stanu napr

ęż

e

ń

.

3.

Obliczenia

i wpisanie wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników.

4.

Ilustracja

warto

ś

ci

i

kierunków

napr

ęż

e

ń

głównych

na schemacie

EPT

.

Cztery

kroki

post

ę

powania

obliczeniowego:

σσσσ

3180

σσσσ

3135

σσσσ

390

σσσσ

345

σσσσ

3

ττττ

E135

ττττ

E90

ττττ

E45

ττττ

E

ττττ

E-45

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

α

αα

α

t

+ 135°

α

αα

α

t +

90°

α

αα

α

t

+ 45°

α

αα

α

t

α

αα

α

t

- 45°

K

ą

t

α

αα

α

tn

wzgl

ę

dem osi x

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

Parametry napr

ęż

e

ń

stycznych

Parametry napr

ęż

e

ń

normalnych

σσσσ

2180

σσσσ

1180

α

αα

α

1

+ 180°

σσσσ

2135

σσσσ

1135

α

αα

α

1

+ 135°

σσσσ

290

σσσσ

190

α

αα

α

1

+ 90°

σσσσ

245

σσσσ

145

α

αα

α

1

+ 45°

σσσσ

2

σσσσ

1

α

αα

α

1

K

ą

t

α

αα

α

1n

wzgl

ę

dem osi x

Krok 1 -

Szablon

tablicy

wyników oblicze

ń

σσσσ

1

≥

σσσσ

2

≥

σσσσ

3

–

napr

ęż

enie

główne

działaj

ą

ce w

kierunku

głównym

odpowiednio

1

,

2

i

3

,

σσσσ

145

≥

σσσσ

245

≥

σσσσ

345

–

napr

ęż

enie

działaj

ą

ce

pod k

ą

tem

45° do

kierunku

głównego

odpow.

1

,

2

i

3

.

4

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 2.

Schemat

elementarnego prostok

ą

ta

EPT

dla analizowanego stanu napr

ęż

e

ń

.

Cz

ęść

1. Zasady sporz

ą

dzania schematu

EPT

dla

płaskiego

stanu napr

ęż

e

ń

we

wskazanym

punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału

1). We

wskazanym

punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału umieszcza si

ę

my

ś

-

lowo

ś

rodek geometryczny

prostok

ą

ta o bokach dx i dy tak, aby

kierunki

x

,

y

, napr

ęż

e

ń

normalnych

σσσσ

x

,

σσσσ

y

analizowanego stanu

pokrywały si

ę

z bokami tego prostok

ą

ta.

2). Do

ś

rodków

długo

ś

ci

boków prostok

ą

ta przykłada si

ę

wektory

napr

ęż

enia

σσσσ

x

i

σσσσ

y

oraz

wektory

napr

ęż

enia

ττττ

xy

i

ττττ

yx

.

3).

Wektory

ττττ

xy

przykłada si

ę

z przeciwnymi zwrotami do boków

EPT

maj

ą

cych kierunek osi

y

. Gdy napr

ęż

enie

ττττ

xy

jest dodatnie, to

zwrot

wektora

ττττ

xy

przy boku pokrywaj

ą

cyo

ś

y

jest zgodny z t

ą

osi

ą

, natomiast jest przeciwny, gdy napr

ęż

enie

ττττ

xy

jest ujemne.

4).

Wektory

ττττ

yx

przykłada si

ę

z przeciwnymi zwrotami do boków

EPT

maj

ą

cych kierunek osi

x

. Je

ż

eli napr

ęż

enie

ττττ

xy

jest dodatnie, to

zwrot

wektora

ττττ

yx

przy boku pokrywaj

ą

cym o

ś

x

jest zgodny z t

ą

osi

ą

, natomiast jest przeciwny, gdy napr

ęż

enie

ττττ

xy

jest ujemne.

Wektory napr

ęż

enia

σσσσ

x

i

σσσσ

y

rozci

ą

gaj

ą

EPT

, gdy to napr

ęż

enie jest

dodatnie, natomiast

ś

ciskaj

ą

, gdy jest ujemne.

3

5

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Obliczy

ć

warto

ś

ci

i

kierunki

dla najwi

ę

kszych

napr

ęż

e

ń

rozci

ą

gaj

ą

cych

,

ś

ciskaj

ą

cych

oraz

stycznych

w punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału maj

ą

cym

płaski stan

napr

ęż

e

ń

o parametrach wyra

ż

onych w postaci ogólnej:

.

MPa

240

,

MPa

250

,

MPa

150

xy

y

x

−

=

−

=

=

τ

σ

σ

Krok 2.

Schemat

elementarnego go prostok

ą

ta

EPT

dla analizowanego stanu napr

ęż

e

ń

Cz.2. Sporz

ą

dzania schematu

EPT

dla

płaskiego

stanu napr

ęż

e

ń

zadanego w przykładzie 1

6

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników.

y

x

xy

1n

2

tg2

σ

σ

α

−

−

=

τ

?

α

αα

α

1

α

αα

α

1

+ 180°

α

αα

α

1

+ 135°

α

αα

α

1

+ 90°

α

αα

α

1

+ 45°

?

?

?

?

K

ą

t

α

αα

α

1n

wzgl

ę

dem

osi x

Cz

ęść

1 – Obliczenie kierunków

napr

ęż

e

ń

głównych

dla płaskiego stanu napr

ęż

e

ń

o parametrach

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa.

Nale

ż

y

obliczy

ć

:

Wzór

do oblicze

ń

:

(

)

(

)

o

o

o

o

90

n

25,1

2

1,

⋅

±

⇒

⋅

±

=

−

−

−

⋅

=

α

=

α

σ

σ

α

−

=

−

−

=

τ

n

1

n

1

y

x

xy

n

1

180

n

50,2

2

250

150

240

2

2

tg2

205°

α

αα

α

1

+ 180°

160°

α

αα

α

1

+ 135°

115°

α

αα

α

1

+ 90°

70°

α

αα

α

1

+ 45°

25°

α

αα

α

1

K

ą

t

α

αα

α

1n

wzgl

ę

dem

osi x

Obliczenia

:

Wyniki

oblicze

ń

:

o

25

1

≈

=

α

=

0)

(n

n

1

α

αα

α

Ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

rozci

ą

gaj

ą

cych

i

ś

ciskaj

ą

cych

nale

ż

y spodziewa

ć

si

ę

w kierunkach okre

ś

lonych wzgl

ę

dem osi x przez k

ą

t

α

αα

α

1

równy ok. 25° oraz przez

ka

ż

dy k

ą

t wi

ę

kszy lub mniejszy od

α

αα

α

1

o krotno

ść

90°.

4

7

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników

Cz

ęść

2 – Wzory dla

napr

ęż

e

ń

normalnych

w kierunkach

α

αα

α

1

+n·45°

wzgl

ę

dem osi x

płaskiego stanu napr

ęż

e

ń

:

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa

Nale

ż

y

obliczy

ć

:

Wzory

do oblicze

ń

:

?

?

?

?

?

σσσσ

3135

σσσσ

390

σσσσ

345

σσσσ

3

σσσσ

3

?

σσσσ

2180

?

σσσσ

1180

?

σσσσ

2135

?

σσσσ

1135

?

σσσσ

290

?

σσσσ

190

?

σσσσ

245

?

σσσσ

145

?

σσσσ

2

?

σσσσ

1

)

45

n

2

cos(

4

)

(

2

1

2

)

90

2

cos(

4

)

(

2

1

2

)

45

2

cos(

4

)

(

2

1

2

)

0

2

cos(

4

)

(

2

1

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

o

o

o

o

⋅

⋅

⋅













+

−

+

+

⋅

⋅













+

−

+

+

⋅

⋅













+

−

+

+

⋅

⋅













+

−

+

+

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

⋅

45

1n

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

190

145

1

,

0

4

)

(

2

1

2

gdy

,

,

0

4

)

(

2

1

2

gdy

),

45

n

2

cos(

4

)

(

2

1

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

<













+

−

−

+

=

≥













+

−

−

+

⋅

⋅

⋅













+

−

−

+

=

τ

σ

σ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ

⋅

⋅

0

lub

45

2n

45

2n

σσσσ

σσσσ

0

lub

45

3n

45

3n

0.

4

)

(

2

1

2

gdy

,

0,

4

)

(

2

1

2

gdy

),

45

n

2

cos(

4

)

(

2

1

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

2

xy

2

y

x

y

x

>













+

−

−

+

=

<













+

−

−

+

⋅

⋅

⋅













+

−

−

+

=

τ

σ

σ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ

⋅

⋅

σσσσ

σσσσ

o

8

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników

Cz

ęść

3 – Obliczenie

napr

ęż

e

ń

σσσσ

1n·45

w kierunkach

α

αα

α

1

+n·45°

okre

ś

lonych wzgl

ę

dem osi x

płaskiego stanu napr

ęż

e

ń

:

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa

MPa.

262,4

MPa

50

MPa

362,4

MPa

50

MPa

262,4

1180

1135

190

145

1

=

=

⋅













+

+

+

−

=

⋅

⋅













+

−

+

+

−

=

=

⋅













+

+

+

−

=

⋅

⋅













+

−

+

+

−

=

=

⋅













+

+

+

−

=

⋅

⋅













+

−

+

+

=

=

⋅













+

+

+

−

=

⋅

⋅













+

−

+

+

=

=













+

+

+

−

=













+

−

+

+

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

−

o

o

o

o

o

o

o

o

360

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

180

2

cos(

4

)

(

2

1

2

270

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

135

2

cos(

4

)

(

2

1

2

,

180

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

90

2

cos(

4

)

(

2

1

2

,

90

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

45

2

cos(

4

)

(

2

1

2

,

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

4

)

(

2

1

2

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

,

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

5

9

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników

Cz

ęść

4 – Obliczenie

napr

ęż

e

ń

σσσσ

2n·45

i

σσσσ

3n

·

45

w kierunkach

α

αα

α

1

+n·45°

okre

ś

lonych wzgl

ę

-

dem osi x stanu napr

ęż

e

ń

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa

MPa.

362,4

MPa,

50

MPa,

262,4

MPa,

50

MPa,

362,4

:

dlatego

MPa

362,4

3180

3135

390

345

3

45

2n

0

−

=

=

⋅













+

+

+

−

=

⋅

⋅













+

−

+

+

−

=

=

⋅













+

+

+

−

=

⋅

⋅













+

−

+

+

=

=

⋅













+

+

−

−

=

⋅

⋅













+

−

−

+

−

=

=

⋅













+

+

−

−

=

⋅

⋅













+

−

−

+

−

<

−

=













+

+

−

−

=













+

−

−

+

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

τ

σ

σ

σ

σ

=

=

=

τ

σ

σ

σ

σ

⋅

o

o

o

o

o

o

o

o

360

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

180

2

cos(

4

)

(

2

1

2

270

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

135

2

cos(

4

)

(

2

1

2

180

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

90

2

cos(

4

)

(

2

1

2

90

cos

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

)

45

2

cos(

4

)

(

2

1

2

,

0

4(-240)

)

250

150

(

2

1

2

250

150

4

)

(

2

1

2

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

2

2

2

xy

2

y

x

y

x

oraz

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

10

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników.

(

)

o

o

o

45

0

n

1

tn

t

1n

tn

)

(

90

n

45

+

α

=

α

=

α

⋅

±

+

α

α

=

=

?

α

αα

α

t

- 45°

α

αα

α

t

+ 135°

α

αα

α

t +

90°

α

αα

α

t

+ 45°

α

αα

α

t

?

?

?

?

K

ą

t

α

αα

α

tn

wzgl

ę

dem

osi x

Cz

ęść

5 – Obliczenie kierunków dla ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

stycznych

płaskiego

stanu napr

ęż

e

ń

o parametrach:

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa

Nale

ż

y

obliczy

ć

:

Wzór

do oblicze

ń

:

205°

α

αα

α

t

+ 135°

160

α

αα

α

t +

90°

115°

α

αα

α

t

+ 45°

70°

α

αα

α

t

25°

α

αα

α

t

- 45°

K

ą

t

α

αα

α

tn

wzgl

ę

dem

osi x

Obliczenia

:

Wyniki

oblicze

ń

:

o

o

o

o

70

t

=

+

=

+

α

=

45

25

45

1

α

αα

α

Ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

stycznych

nale

ż

y spodziewa

ć

si

ę

w kierunkach okre

ś

lonych

wzgl

ę

dem osi x przez k

ą

t

α

αα

α

t

równy ok. 70° oraz przez ka

ż

dy k

ą

t wi

ę

kszy lub mniejszy

od

α

αα

α

t

o krotno

ść

90°.

Poniewa

ż

dla stanu napr

ęż

e

ń

z przyk-

ładu 1

α

αα

α

1

= 25°, to dla

α

αα

α

t

ma warto

ść

:

6

11

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników

Cz

ęść

6 – Obliczenia

napr

ęż

e

ń

stycznych

w kierunkach

α

αα

α

t

+n·45°

wzgl

ę

dem osi x

płaskiego stanu napr

ęż

e

ń

:

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

= -250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa

Nale

ż

y

obliczy

ć

:

Wzory

do oblicze

ń

i obliczenia

:

ττττ

E135

ττττ

E90

ττττ

E45

ττττ

E

ττττ

E-45

Warto

ś

ci

napr

ęż

e

ń

stycznych MPa

?

?

?

?

?

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

MPa

312,4

0

MPa

312,4

0

E135

E90

E45

E

45

-

E

=

⋅

=

+

⋅

⋅

=

−

=

⋅

=

+

⋅

⋅

=

=

⋅

=

+

⋅

⋅

=

=

−

−

=

⋅

⋅

−

=

=

⋅

=

−

⋅

⋅

=

τ

τ

τ

τ

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

sin360

312,4

135

45

2

sin

sin270

312,4

90

45

2

sin

sin180

312,4

45

45

2

sin

90

sin

2

4

,

362

4

,

262

45

2

sin

2

σ

σ

sin0

312,4

45

45

2

sin

E

E

E

3

1

E

ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

12

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 3 –

Obliczenia

i

wpisanie

wyników

oblicze

ń

do

tablicy

tych wyników

Cz

ęść

7 –Tablica wyników

oblicze

ń

ekstremalnych

napr

ęż

e

ń

rozci

ą

gaj

ą

cych

,

ś

ciskaj

ą

cych

i

stycznych

dla płaskiego stanu napr

ęż

e

ń

o parametrach

σσσσ

x

= 150 MPa,

σσσσ

y

=

-250 MPa,

ττττ

xy

= -240 MPa.

3. Maksymalne

napr

ęż

enie

rozci

ą

gaj

ą

ce

jest wi

ę

ksze od napr

ęż

enia

σσσσ

x

o ok. 75 %, ekstremal-

ne

napr

ęż

enie

ś

ciskaj

ą

ce

przekracza napr

ęż

enie

σσσσ

y

o ok. 45%, a ekstremalne

napr

ęż

enie

styczne

przekracza napr

ęż

enie

ττττ

xy

o ok. 30%.

1. Ekstremalne

napr

ęż

enia

rozci

ą

gaj

ą

ce

i

ś

ciskaj

ą

ce

działaj

ą

w kierunkach głównych okre

ś

lo-

nych wzgl

ę

dem osi

x

przez k

ą

t

α

αα

α

1n

= 25° ± n ·90°, dla których

napr

ęż

enia

styczne

s

ą

zerowe

.

Wnioski wynikaj

ą

ce z tablicy wyników dla przykładu 1

-362,4

-50,0

-362,4

-50,0

-362,4

σσσσ

3180

σσσσ

3135

σσσσ

390

σσσσ

345

σσσσ

3

0

ττττ

E135

205°

α

αα

α

t

+ 135°

0000

σσσσ

2180

262,4

σσσσ

1180

205°

α

αα

α

1

+ 180°

-312,4

ττττ

E90

160°

α

αα

α

t +

90°

0000

σσσσ

2135

-50

σσσσ

1135

160°

α

αα

α

1

+ 135°

0

ττττ

E45

115°

α

αα

α

t

+ 45°

0000

σσσσ

290

262,4

σσσσ

190

115°

α

αα

α

1

+ 90°

312,4

ττττ

E

70°

α

αα

α

t

0000

σσσσ

245

-50,0

σσσσ

145

70°

α

αα

α

1

+ 45°

0

ττττ

E-45

25°

α

αα

α

t

- 45°

0000

σσσσ

2

262,4

σσσσ

1

25°

α

αα

α

1

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

, MPa

K

ą

t

α

αα

α

tn

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

, MPa

K

ą

t

α

αα

α

1n

Parametry ekstr. napr

ęż

e

ń

stycznych

Parametry napr

ęż

e

ń

głównych

2. Ekstremalne

napr

ęż

enia

styczne

wyst

ę

puj

ą

w kierunkach okre

ś

lonym wzgl

ę

dem osi

x

przez

k

ą

t

α

αα

α

tn

= 70°± n ·90°

,

dla których

napr

ęż

enia

styczne

s

ą

ró

ż

ne

od

zera

.

7

13

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 1

Krok 4 –

Ilustracja

warto

ś

ci

i

kierunków

napr

ęż

e

ń

głównych za pomoc

ą

schematu

EPT

.

Schemat

EPT

dla

zadanego

stanu

napr

ęż

e

ń

o parametrach

wyra

ż

onych

w postaci ogólnej

Schemat

EPT

dla

warto

ś

ci

i

kierunków

napr

ęż

e

ń

głównych obliczonych

dla

zadanego

stanu napr

ęż

e

ń

0

ττττ

E135

205°

α

αα

α

t

+ 135°

-362,4

σσσσ

3180

0000

σσσσ

2180

262,4

σσσσ

1180

205°

α

αα

α

1

+ 180°

-312,4

ττττ

E90

160°

α

αα

α

t +

90°

-50,0

σσσσ

3135

0000

σσσσ

2135

-50

σσσσ

1135

160°

α

αα

α

1

+ 135°

0

ττττ

E45

115°

α

αα

α

t

+ 45°

-362,4

σσσσ

390

0000

σσσσ

290

262,4

σσσσ

190

115°

α

αα

α

1

+ 90°

312,4

ττττ

E

70°

α

αα

α

t

-50,0

σσσσ

345

0000

σσσσ

245

-50,0

σσσσ

145

70°

α

αα

α

1

+ 45°

0

ττττ

E-45

25°

α

αα

α

t

- 45°

-362,4

σσσσ

3

0000

σσσσ

2

262,4

σσσσ

1

25°

α

αα

α

1

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

, MPa

K

ą

t

α

αα

α

tn

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

, MPa

K

ą

t

α

αα

α

1n

Parametry ekstr. napr

ęż

e

ń

stycznych

Parametry napr

ęż

e

ń

głównych

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 2

Temat:

Dla

płaskiego stanu

napr

ęż

e

ń

, który analizowano w przykładzie 1, obliczy

ć

– za pomoc

ą

uogólnionego prawa Hooke’a –

parametry

stanu odkształce

ń

głów-

nych

w punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału spr

ęż

ysto-plastycznego o parametrach:

E = 0,7·10

5

MPa,

νννν

= 0,2, R

0,05

= 370 MPa, R

0,2

= 450 MPa,

oraz okre

ś

li

ć

graniczne warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

, które w tym mate-

riale

nie

powinny by

ć

przekroczone

, aby wykonane obliczenia były dokładne.

Nowe

poj

ę

cia dotycz

ą

ce

tematu

zadania

:

1. Uogólnione prawo Hooke’a dla odkształce

ń

obj

ę

to

ś

ciowych

(głównych) oraz

odkształce

ń

postaciowych

w punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału.

2. Główne ró

ż

nice fizyczne pomi

ę

dzy odkształceniami

obj

ę

to

ś

ciowymi

a odksz-

tałceniami

postaciowymi

w punkcie objetosci materiału.

3. Nazwy i definicje fizyczne parametrów

spr

ęż

ysto

ś

ci

E,G,

νννν

dla materiałów kons-

trukcyjnych.

4. Nazwy i definicje fizyczne parametrów

wytrzymało

ś

ci

R

H

, R

0,05

, R

e

, R

0,2

, R

m

, R

c

,

R

r

dla materiałów

spr

ęż

ysto

-

plastycznych

i

spr

ęż

ysto

-

kruchych

.

14

8

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 2

Temat:

Dla

płaskiego stanu

napr

ęż

e

ń

, który analizowano w przykładzie 1, obliczy

ć

– za pomoc

ą

uogólnionego prawa Hooke’a – parametry stanu

odkształce

ń

głów-

nych

w punkcie obj

ę

to

ś

ci materiału spr

ęż

ysto-plastycznego o parametrach:

E = 0,7·10

5

MPa,

νννν

= 0,2, R

0,05

= 350 MPa, R

0,2

= 450 MPa,

oraz okre

ś

li

ć

graniczne warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

, które w tym mate-

riale

nie

powinny by

ć

przekroczone

, aby wykonane obliczenia były dokładne.

Kroki obliczeniowe:

1.Tablica

danych

i szablon tablicy

wyników

oblicze

ń

.

2. Obliczenie parametrów stanu

odkształce

ń

głównych

.

3. Okre

ś

lenie granicznych warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

.

4

.

Sformułowanie

wniosków

wynikaj

ą

cych z tablicy

wyników

oblicze

ń

.

15

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 2

Temat:

Dla

płaskiego stanu

napr

ęż

e

ń

, który analizowano w przykładzie 1, obliczy

ć

– za po-

moc

ą

uogólnionego prawa Hooke’a – parametry stanu

odkształce

ń

głównych

w punkcie

obj

ę

to

ś

ci materiału spr

ęż

ysto-plastycznego o parametrach

:

E = 0,7·10

5

MPa,

νννν

= 0,2, R

0,05

= 370 MPa, R

0,2

= 450 MPa

,

oraz okre

ś

li

ć

graniczne warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

, które w tym materiale

nie

po-

winny by

ć

przekroczone

, aby wykonane obliczenia były dokładne

.

Krok 1.Tablica

danych

i szablon tablicy

wyników

oblicze

ń

16

Wyniki oblicze

ń

?

?

?

?

?

-362,4

0

262,4

450

350

0,2

0,7·10

5

MPa

MPa

promil

promil

promil

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

÷

MPa

σσσσ

2g

σσσσ

1g

εεεε

3

εεεε

2

εεεε

1

σσσσ

3

σσσσ

2

σσσσ

1

R

0,2

R

0,05

νννν

E

Dane do oblicze

ń

9

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 2

Temat:

Dla

płaskiego stanu

napr

ęż

e

ń

, który analizowano w przykładzie 1, obliczy

ć

– za po-

moc

ą

uogólnionego prawa Hooke’a – parametry stanu

odkształce

ń

głównych

w punkcie

obj

ę

to

ś

ci materiału spr

ęż

ysto-plastycznego o parametrach

:

E = 0,7·10

5

MPa,

νννν

= 0,2, R

0,05

=

370 MPa, R

0,2

= 450 MPa

,

oraz okre

ś

li

ć

graniczne warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

, któ-

re w tym materiale

nie

powinny by

ć

przekroczone

, aby wykonane obliczenia były dokładne

.

Krok 2. Obliczenie parametrów stanu

odkształce

ń

głównych

17

Nale

ż

y

obliczy

ć

:

Wzory

do oblicze

ń

i obliczenia:

?

?

?

-362,4

0

262,4

0,2

0,7·10

5

promil

promil

promil

MPa

MPa

MPa

÷

MPa

εεεε

3

εεεε

2

εεεε

1

σσσσ

3

σσσσ

2

σσσσ

1

νννν

E

Parametry stanu

odkształce

ń

Dane do oblicze

ń

3

1

10

4,8

−

−

⋅

=

⋅

=

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

=

σ

+

σ

ν

−

σ

=

5

6

6

6

5

3

2

1

10

4

,

478

)]

10

4

,

362

0

(

2

,

0

10

4

,

262

[

10

10

7

,

0

1

)]

(

[

E

1

εεεε

5

2

10

0,3

−

−

⋅

=

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

σ

+

σ

ν

−

σ

=

5

6

6

6

5

3

1

2

10

6

,

28

)]

10

4

,

362

10

4

,

262

(

2

,

0

0

[

10

10

7

,

0

1

)]

(

[

E

1

εεεε

3

3

10

5,9

−

−

⋅

−

=

⋅

−

=

+

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

=

σ

+

σ

ν

−

σ

=

5

6

6

6

5

2

1

3

10

7

,

592

)]

0

10

4

,

262

(

2

,

0

10

4

,

362

[

10

10

7

,

0

)]

(

[

1

E

1

εεεε

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 2

Temat:

Dla

płaskiego stanu

napr

ęż

e

ń

, który analizowano w przykładzie 1, obliczy

ć

– za po-

moc

ą

uogólnionego prawa Hooke’a – parametry stanu

odkształce

ń

głównych

w punkcie

obj

ę

to

ś

ci materiału spr

ęż

ysto-plastycznego o parametrach

:

E = 0,7·10

5

MPa,

νννν

= 0,2, R

0,05

=

370 MPa, R

0,2

= 450 MPa

,

oraz okre

ś

li

ć

graniczne warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

, któ-

re w tym materiale

nie

powinny by

ć

przekroczone

, aby wykonane obliczenia były dokładne

.

Krok 3. Okre

ś

lenie granicznych warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

18

Nale

ż

y

okre

ś

li

ć

:

Zasada okre

ś

lania napr

ęż

e

ń

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

:

?

?

-362,4

0

262,4

450

350

0,2

0,7·10

5

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

÷

MPa

σσσσ

2g

σσσσ

1g

σσσσ

3

σσσσ

2

σσσσ

1

R

0,2

R

0,05

νννν

E

Wyniki

Dane do oblicze

ń

Uogólnione

prawo

Hooke’a

daje wyniki

zgodne

z

rzeczywisto

ś

ci

ą

wtedy

,

gdy

najwi

ę

ksza warto

ść

bezwzgl

ę

dna

napr

ęż

enia

głównego

w analizowanej

obj

ę

to

ś

ci

materiału

nie

jest

wi

ę

ksza

od

granicy

proporcjonalno

ś

ci

tego materiału.

10

Ć

wiczenie T4 - Przykład nr 2

Temat:

Dla

płaskiego stanu

napr

ęż

e

ń

, który analizowano w przykładzie 1, obliczy

ć

– za po-

moc

ą

uogólnionego prawa Hooke’a – parametry stanu

odkształce

ń

głównych

w punkcie

obj

ę

to

ś

ci materiału spr

ęż

ysto-plastycznego o parametrach

:

E = 0,7·10

5

MPa,

νννν

= 0,2, R

0,05

=

370 MPa, R

0,2

= 450 MPa

,

oraz okre

ś

li

ć

graniczne warto

ś

ci

σσσσ

1g

i

σσσσ

3g

napr

ęż

e

ń

głównych

, któ-

re w tym materiale

nie

powinny by

ć

przekroczone

, aby wykonane obliczenia były dokładne

.

Krok 4. Sformułowanie

wniosków

wynikaj

ą

cych z tablicy

wyników

oblicze

ń

19

-370

370

-5,9

0,3

4,8

-362,4

0

262,4

450

350

0,2

0,7·10

5

MPa

MPa

promil

promil

promil

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

÷

MPa

σσσσ

2g

σσσσ

1g

εεεε

3

εεεε

2

εεεε

1

σσσσ

3

σσσσ

2

σσσσ

1

R

0,2

R

0,05

νννν

E

Wyniki oblicze

ń

Dane do oblicze

ń

Wnioski

wynikaj

ą

ce z tablicy

wyników

oblicze

ń

dla przykładu 2

1. Ka

ż

dy z parametrów

εεεε

1

,

εεεε

2

,

εεεε

3

stanu

odkształce

ń

głównych

obliczony dla

płaskiego

stanu

napr

ęż

e

ń

jest ró

ż

ny od zera, co wskazuje,

ż

e

płaski

stan

napr

ęż

e

ń

powoduje w punkcie

obj

ę

to

ś

ci materiału

przestrzenny

stan

odkształce

ń

.

2. Gdy

napr

ęż

enie

główne

jest

dodatnie

(rozci

ą

gaj

ą

ce), to boki elementarnego prostopadło

ś

-

cianu

EPN

zgodne z kierunkiem tego napr

ęż

enia ul

ę

gaj

ą

wydłu

ż

eniu

, gdy jest

ujemne

–

ulegaj

ą

skróceniu

.