1

1

Materiały dydaktyczne zawieraj

ą

ce 15 slajdów na 8 stronach,

dotycz

ą

ce

ć

wiczenia T1 z przedmiotu „Wytrzymało

ść

materiałów”,

przeznaczone

dla studentów II roku studiów I – stopnia w kierunku „Energetyka”

na wydz. Energetyki i Paliw w AGH

Autor materiałów i osoba prowadz

ą

ca

ć

wiczenia:

Marek Płachno, dr hab. in

ż

., prof. AGH

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,

ni

ż

podane w ich przeznaczeniu.

2

Ć

wiczenie T1

Temat

ć

wiczenia : Obliczanie parametrów geometrycznych dla figur

płaskich odwzorowuj

ą

cych przekroje poprzeczne pr

ę

tów

1. Podstawowe poj

ę

cia:

• pr

ę

t

: model geometryczny elementów konstrukcyjnych, które najcz

ęś

ciej wyma-

gaj

ą

analizy wytrzymało

ś

ciowej,

• definicja geometryczna pr

ę

ta

: bryła, która ma długo

ść

znacznie wi

ę

ksz

ą

od in-

nych wymiarów tej bryły, utworzona przez figur

ę

płask

ą

wskutek ruchu jej

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci wzdłu

ż

pewnej linii w taki sposób,

ż

e figura płaska jest

prostopadła do tej linii na całej długo

ś

ci bryły,

• przekrój poprzeczny pr

ę

ta

: figura płaska z definicji geometrycznej pr

ę

ta,

• o

ś

pr

ę

ta

: linia z definicji geometrycznej pr

ę

ta.

2

3

Ć

wiczenie T1

2. Parametry geometryczne (parametry) przekrojów poprzecznych pr

ę

ta

najcz

ęś

ciej obliczane

• pole przekroju

: powierzchnia przekroju wypełniona materiałem pr

ę

ta,

•

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci przekroju

:

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci powierzchni przekroju wypełnionej

materiałem pr

ę

ta,

• osiowy moment bezwładno

ś

ci przekroju

: moment bezwładno

ś

ci przekroju obli-

czony wzgl

ę

dem jednej z dwu głównych centralnych osi bezw-

ładno

ś

ci tego przekroju,

• biegunowy moment bezwładno

ś

ci przekroju

: suma dwu osiowych momentów

bezwładno

ś

ci przekroju obliczonych dla dwu głównych central-

nych osi bezwładno

ś

ci tego przekroju.

Ć

wiczenie T1

3.

Parametry

dwusymetrycznych

przekrojów pr

ę

tów

Przekroje

dwusymetryczne

, to przekroje,

które maj

ą

dwie osie symetrii

, na przykład:

Osiowe momenty bezwładno

ś

ci

takich przekrojów oblicza si

ę

z nast

ę

puj

ą

cych wzorów:

Ka

ż

dy z tych przekrojów ma

ś

rodek ci

ęż

-

ko

ś

ci

w punkcie przeci

ę

cia si

ę

osi symetrii

,

z których ka

ż

da jest

główn

ą

centraln

ą

osi

ą

bezwładno

ś

ci

tego przekroju.

• dla przekroju

kołowego:

=

J

o

k

(1)

4

)

A

(

J

2

π

⋅

=

φ

φ

A

φφφφ

- powierzchnia przekroju kołowego,

• dla przekroju

kwadratowego:

(2)

12

)

A

(

J

2

k

k

=

A

k

- powierzchnia przekroju kwadratowego,

• dla przekroju

prostok

ą

tnego:

(3)

12

A

a

J

p

2

pa

⋅

=

A

p

- powierzchnia przekroju prostok

ą

tnego o bokach a, b,

(4)

12

A

b

J

p

2

pb

⋅

=

J

pa

-

osiowy moment bezwładno

ś

ci

wzgl

ę

dem

osi symetrii

prostok

ą

ta prostopadłej do boku a,

J

pb

-

osiowy moment bezwładno

ś

ci

wzgl

ę

dem

osi symetrii

prostok

ą

ta prostopadłej do boku b.

4

3

5

Ć

wiczenie T1

4.

Parametry

kształtowych

przekrojów pr

ę

tów

Przekroje

kształtowe

, to przekroje pr

ę

tów

hutniczych o nazwach:

ceowniki

,

k

ą

towni-

ki

,

dwuteowniki, teowniki, zetowniki

itp.:

Parametry przekrojów kształtowych, ta-

kie jak

powierzchnia

F

,

odległo

ś

ci

e

ś

rod-

ka ci

ęż

ko

ś

ci przekroju kształtowego od

=

J

o

k

głównych centralnych osi bezwładno

ś

ci takiego przekroju

nie b

ę

d

ą

cych

jego

osiami sy-

metrii

, a tak

ż

e

osiowe momenty bezwładno

ś

ci

J

x

,

J

y

- s

ą

podawane w przedmiotowych

normach wyrobów hutniczych.

75

mm

s

148

1910

32,2

2,01

200

cm

4

cm

4

cm

2

cm

mm

J

y

J

x

F

e

h

Wypis z normy PN-H-93400:2003 dla ceownika C200

6

Ć

wiczenie T1

5. Obliczanie

parametrów

przekrojów

zło

ż

onych

Przekroje

zło

ż

one

, to przekroje utworzone z figur płaskich maj

ą

cych swoje parametry okre

ś

-

lone przez dost

ę

pne wzory b

ą

d

ź

normy, np. normy wyrobów hutniczych:

=

J

o

k

Poniewa

ż

przekroje

zło

ż

one

maj

ą

zwykle jedn

ą

o

ś

symetrii

, to do

wyznaczenia

parametrów

takich

przekrojów wystarcz

ą

najcz

ęś

ciej

nast

ę

puj

ą

ce

kroki obliczeniowe

:

1

. Sporz

ą

dzi

ć

szablon tablicy dla zadanego przekroju

zło

ż

onego

.

2

. Na planie zadanego przekroju narysowa

ć

taki prostok

ą

tny układ osi

x

,

y

o

lub

x

o

,

y

, aby

jedna o

ś

- oznaczona jako

x

lub

y

- pokrywała si

ę

z

osi

ą

symetrii

przekroju (b

ę

dzie wtedy

jego

główn

ą

centraln

ą

osi

ą

bezwładno

ś

ci

), oraz aby druga o

ś

- oznaczona przez

x

o

lub

y

o

, przebiegała wzdłu

ż

lewej albo dolnej kraw

ę

dzi zadanego przekroju .

3

. Wpisa

ć

do tablicy zadanego przekroju te

parametry

, które mo

ż

na odczyta

ć

z planu tego

przekroju, obliczy

ć

z dost

ę

pnych wzorów, b

ą

d

ź

wypisa

ć

z wła

ś

ciwych norm.

4

. Dla zadanego przekroju sformułowa

ć

równanie momentów statycznych oraz rozwi

ą

za

ć

je

ze wzgl

ę

du na niewiadom

ą

, któr

ą

jest

nieznany parametr

zadanego przekroju.

5

. Narysowa

ć

na planie zadanego przekroju jego drug

ą

główn

ą

centraln

ą

o

ś

bezwładno

ś

ci

oraz obliczy

ć

pozostałe

parametry

wyszczególnione w tablicy tego przekroju.

4

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. –

Temat

+ krok obliczeniowy

1

.

=

J

o

k

Dla zadanego przekroju zło

ż

onego, który ma plan jak na rys.1.1,

wyznaczy

ć

poło

ż

enie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci i głównych centralnych

osi bezwładno

ś

ci oraz momenty bezwładno

ś

ci tego przekroju

.

1

. Szablon tablicy zadanego przekroju: .

cm

e

φφφφ

y

cm

2

A

φφφφ

cm

b

cm

a

cm

e

px

Prostok

ą

t obrysu

cm

e

py

cm

4

J

pb

cm

4

J

pa

cm

2

A

p

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

cm

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

φφφφ

e

φφφφ

x

d

Zadany przekrój

Koło otworu

a, b, A

p

, J

pa

, J

pb

– kolejno: długo

ś

ci boków, powierzchnia oraz momenty bezwładno

ś

ci obliczo-

ne za pomoc

ą

wzorów (3) i (4) dla prostok

ą

ta obrysu przynale

ż

nego do zadanego przekroju,

d, A

φφφφ

, J

φφφφ

– kolejno

ś

rednica, powierzchnia oraz moment bezwładno

ś

ci obliczony ze wzoru (1)

dla koła otworu przynale

ż

nego do zadanego przekroju,

c

D

, c

L

– odległo

ść ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci zadanego przekroju od jego kraw

ę

dzi dolnej i lewej,

A, J

x

, J

y

–

pole

zadanego przekroju i jego osiowe główne centralne

momenty bezwładno

ś

ci

.

e

p

x

, e

py

, e

φφφφ

x

, e

φφφφ

y

– odległo

ś

ci

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci prostok

ą

ta obrysu (indeks p) oraz koła otworu

(indeks

φφφφ

) – od

głównych centralnych osi bezwładno

ś

ci

zadanego przekroju, tj. od jego

osi

x

(indeks x) oraz osi

y

(indeks y),

7

8

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. – kroki obliczeniowe

2 i 3

.

=

J

o

k

2

. Narysowa

ć

na planie zadanego przekroju prostok

ą

tny układ osi

x

,

y

o

lub

x

o

,

y

A

-

A

A

,

4

)

A

(

J

,

12

A

b

J

,

12

A

a

J

p

2

p

2

pb

p

2

pa

φ

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

π

φ

φ

3

. Wpisa

ć

do tablicy zadanego przekroju te parametry, które mo

ż

na odczyta

ć

z planu

tego przekroju, obliczy

ć

z dost

ę

pnych wzorów b

ą

d

ź

wypisa

ć

z wła

ś

ciwych norm

.

?

?

38,4

?

3,0

12,6

12,6

?

0

4,0

307,0

153,0

51,0

?

0

8,5

6,0

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

φφφφ

A

φφφφ

e

φφφφ

y

e

φφφφ

x

d

J

pb

J

pa

A

p

e

py

e

px

b

a

Zadany przekrój

Koło otworu

Prostok

ą

t obrysu

5

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. – krok obliczeniowy

4

– cz

ęść

4.1

=

J

o

k

4

. Dla zadanego przekroju sformułowa

ć

równanie momentów statycznych oraz rozwi

ą

za

ć

je

ze wzgl

ę

du na niewiadom

ą

, któr

ą

jest

nieznany parametr

zadanego przekroju.

4.1.

Praktyczne definicje:

• Moment statyczny figury płaskiej wzgl

ę

dem wskazanej osi prostok

ą

tnego układu współrz

ę

d-

nych jest

iloczynem powierzchni figury

oraz

tej współrz

ę

dnej

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci figury,

której warto

ść

bezwzgl

ę

dna okre

ś

la odległo

ść

tego

ś

rodka od wskazanej osi.

•

Moment statyczny zadanego przekroju wzgl

ę

dem osi nie b

ę

d

ą

cej jego osi

ą

symetrii jest

ilo-

czynem pola

zadanego przekroju oraz

tej współrz

ę

dnej

jego

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci, która jest

nieznanym parametrem

zadanego przekroju.

• Równanie momentów statycznych zadanego przekroju, to algebraicznie zapisana równo

ść

:

• Moment statyczny figury płaskiej, która nale

ż

y do zadanego przekroju, ale nie jest wypeł-

niona materiałem pr

ę

ta (

tak

ą

figur

ą

jest np. odwzorowanie: otworu, wydr

ąż

enia, tzw. wybrania,

wady materiałowej

), uczestniczy w sumie momentów statycznych z przeciwnym znakiem.

Suma momentów statycznych obliczonych dla
ka

ż

dej z figur płaskich przynale

ż

nych do zada-

nego przekroju wzgl

ę

dem tej osi narysowanej

na planie przekroju, która nie jest osi

ą

symetrii

Iloczyn pola

zadanego przekroju oraz

tej współrz

ę

dnej

jego

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

-

ci, która jest

nieznanym parametrem

zadanego przekroju.

=

9

10

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. - krok obliczeniowy

4

- cz

ęść

4.2

=

J

o

k

4.2

. Obliczenie

nieznanego parametru

zadanego przekroju:

4,7cm

c

c

c

c

L

L

L

L

=

⋅

=

−

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

−

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

+

φ

φ

38,4

5,5)]

(8,5

[-12,6

8,5

0,5

51

A

5,5)]

(b

[-A

b

0,5

A

A

S

S

p

yo

yop

4

. Dla zadanego przekroju sformułowa

ć

równanie momentów statycznych oraz rozwi

ą

za

ć

je ze

wzgl

ę

du na niewiadom

ą

, któr

ą

jest

nieznany parametr

zadanego przekroju.

Równanie momentów statycznych i jego rozwi

ą

zanie ze wzgl

ę

du na

nieznany parametr

c

L

:

?

?

38,4

?

3,0

12,6

12,6

?

0

4,0

307,0

153,0

51,0

?

0

8,5

6,0

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

φφφφ

A

φφφφ

e

φφφφ

y

e

φφφφ

x

d

J

pb

J

pa

A

p

e

py

e

px

b

a

Zadany przekrój

Koło otworu

Prostok

ą

t obrysu

6

11

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. – krok obliczeniowy

5

- cz

ęść

5.1

i

5.2

=

J

o

k

5

. Narysowa

ć

na planie zadanego przekroju jego drug

ą

główn

ą

centraln

ą

o

ś

bezwładno

ś

ci

oraz obliczy

ć

pozostałe

parametry

wyszczególnione w tablicy tego przekroju

.

5.1

. Plan zadanego przek-

roju po wrysowaniu jego
drugiej

głównej central-

nej osi bezwładno

ś

ci

•

Główny centralny moment bezwładno

ś

ci zadanego przek-

roju zło

ż

onego, obliczony wzgl

ę

dem jego wskazanej osi, jest

sum

ą

momentów bezwładno

ś

ci obliczonych wzgl

ę

dem tej

osi dla wszystkich figur płaskich do niego przynale

ż

nych.

• Je

ż

eli jest znany osiowy moment bezwładno

ś

ci J

v

figury płaskiej o powierzchni A

F

, odpo-

wiadaj

ą

cy osi v figury, to osiowy moment bezwładno

ś

ci J

u

tej figury, odpowiadaj

ą

cy osi u

poprowadzonej równolegle i w odległo

ś

ci e

Fu

wzgl

ę

dem osi v spełnia tzw. uproszczone

twierdzenie Steinera opisane wzorem:

(5)

)

e

(

A

J

J

2

u

F

F

v

u

⋅

+

=

• Moment bezwładno

ś

ci figury płaskiej przynale

ż

nej do zada-

nego przekroju zło

ż

onego, ale nie wypełnionej materiałem

pr

ę

ta (

tak

ą

figur

ą

jest np. odwzorowanie: otworu, wydr

ąż

enia,

tzw. wybrania, wady materiałowej),

uczestniczy w sumowa-

niu momentów bezwładno

ś

ci jako składnik ujemny.

5.2

. Praktyczne definicje:

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 1. – krok obliczeniowy

5

- cz

ęść

5.3

=

J

o

k

5

. Narysowa

ć

na planie zadanego przekroju jego drug

ą

główn

ą

cent-

raln

ą

o

ś

bezwładno

ś

ci

oraz obliczy

ć

pozostałe

parametry

wysz-

czególnione w tablicy tego przekroju.

5.3

. Obliczenia pozostałych

parametrów

:

•

odległo

ść

e

py

:

?

?

38,4

4,7

3,0

12,6

12,6

?

0

4,0

307,0

153,0

51,0

?

0

8,5

6,0

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

φφφφ

A

φφφφ

e

φφφφ

y

e

φφφφ

x

d

J

pb

J

pa

A

p

e

py

e

px

b

a

Zadany przekrój

Koło otworu

Prostok

ą

t obrysu

cm

0,45

e

py

=

⋅

=

L

c

-

8,5

0,5

•

moment bezwładno

ś

ci

J

x

:

•

moment bezwładno

ś

ci

J

y

:

•

odległo

ść

e

φφφφ

y

:

cm

1,7

e

y

=

−

−

=

L

c

5,5

8,5

φφφφ

jest sum

ą

momentów bezwładno

ś

ci obliczonych wzgl

ę

dem osi

x

dla prostok

ą

ta obrysu oraz dla koła otworu. Poniewa

ż

parametry e

px

i e

φφφφ

x

s

ą

zerowe

, to ze

wzoru (5) uzyskuje si

ę

:

4

x

cm

140,4

J

=

−

=

−

+

=

φ

12,6

153

)

J

(

J

pa

te

ż

jest sum

ą

momentów bezwładno

ś

ci obliczonych dla prostok

ą

-

ta obrysu oraz dla koła otworu,

4

y

cm

268,3

J

=

⋅

−

+

⋅

+

=

⋅

−

−

+

⋅

+

=

φ

φ

φ

]

)

1,7

(

12,6

-

12,6

[

(0,45)

51

07

3

]

)

e

(

A

J

[

)

e

(

A

J

2

2

2

y

2

py

p

pb

d

ą

ce

ró

ż

ne od zera

. Z tego powodu, ze wzoru (5) wynika,

ż

e:

ale

wzgl

ę

dem osi

y

, której odpowiadaj

ą

parametry e

py

i e

φφφφ

y

b

ę

-

12

7

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 2. –

Temat

+ krok obliczeniowy

1

=

J

o

k

Dla przekroju zło

ż

onego, który ma plan jak na rys. 2.1, wyzna-

czy

ć

poło

ż

enie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci i głównych centralnych osi

bezwładno

ś

ci oraz momenty bezwładno

ś

ci tego przekroju.

1

. Szablon tablicy zadanego przekroju: .

Prostok

ą

t

cm

2

A

p

cm

4

J

pa

cm

e

py

cm

e

px

cm

b

cm

s

cm

h

cm

e

Ceownik

cm

e

Cx

cm

4

J

Ch

cm

2

A

C

cm

e

Cy

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

cm

4

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

pb

a

J

Cs

Zadany przekrój

29,3

cm

4

J

y

206

cm

4

J

x

13,5

cm

2

F

1,55

cm

e

50

mm

s

100

mm

h

Wypis z normy PN-H-93400:2003

dla ceownika C100

x, y, F, J

x

, J

y

-

kolejno: główne centralne osie bezwładno

ś

ci,

pole oraz główne centralne momenty bezwładno

ś

ci przekro-

ju ceownika.

Oznaczenia dla przekroju ceownika wg normy:

Oznaczenia dla przekroju ceownika w tablicy parametrów:

A

C

, J

Ch

, J

Cs

– kolejno: F, J

x

, J

y

,

e

Cx

,

e

Cy

– odległo

ś

ci

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci przekroju ceownika na-

le

żą

cego do przekroju zło

ż

onego, od głównych centralnych

osi bezwładno

ś

ci

x

,

y

przekroju zło

ż

onego.

13

14

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 2. – kroki obliczeniowe

2

,

3

i

4

=

J

o

k

3

.Tablica parametrów zadanego przekroju zło

ż

onego, po

wpisaniu parametrów odczytanych z planu tego przekro-

ju, obliczonych ze wzorów:

Prostok

ą

t

14,0

cm

2

A

p

1,2

cm

4

J

pa

0

cm

e

py

?

cm

e

px

14,0

cm

b

50

mm

s

100

mm

h

1,55

cm

e

Ceownik

?

cm

e

Cx

206

cm

4

J

Ch

13,5

cm

2

A

C

0

cm

e

Cy

?

?

27,5

7,0

?

229

1,0

29,3

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

cm

4

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

pb

a

J

Cs

Zadany przekrój

2

. Plan zadanego przekroju zło

ż

onego po narysowaniu

prostok

ą

tnego układu osi

x

o

,

y

- rys. 2.2:

A

A

A

,

12

A

b

J

,

12

A

a

J

p

C

p

2

pb

p

2

pa

+

=

⋅

=

⋅

=

oraz wypisanych z normy PN-H-93400:2003.

4

. Równanie momentów statycznych dla zadanego przekroju oraz rozwi

ą

zanie tego równa-

nia ze wzgl

ę

du na nieznany parametr c

D

:

(

)

D

D

c

c

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

+

A

a

0,5

s

0,1

A

e

A

A

S

S

p

C

xop

xoC

cm

3,56

c

c

D

D

=

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

27,5

1)

0,5

(5

14

1,55

13,5

8

15

Ć

wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe

Przykład nr 2. – krok obliczeniowy

5

=

J

o

k

5.1

. Plan zadanego przekroju zło

ż

onego po narysowaniu

drugiej

głównej centralnej osi bezwładno

ś

ci

tego

przekroju – rys. 2.3:

•

odległo

ść

e

Cx

:

4

x

x

px

Cx

x

cm

135

J

1,9

2,0

J

e

e

J

=

⋅

+

+

⋅

+

=

⋅

+

+

⋅

+

=

2

2

2

p

pa

2

C

Cs

)

(

14

1,2

)

(

13,5

29,3

)

(

A

J

)

(

A

J

cm

2,0

e

e

Cx

Cx

≈

−

=

−

=

1,55

3,56

e

c

D

•

moment bezwładno

ś

ci J

x

:

• moment bezwładno

ś

ci J

y

:

4

y

y

y

cm

435

J

J

J

=

⋅

+

+

⋅

+

=

⋅

+

+

⋅

+

=

2

2

2

py

p

pb

2

Cy

C

Ch

(0)

14

229

(0)

13,5

206

)

e

(

A

J

)

e

(

A

J

•

odległo

ść

e

px

:

cm

1,9

e

e

px

px

≈

−

+

=

−

+

⋅

=

3,56

0,5

5

c

0,5

s

0,1

D

?

?

27,5

7,0

3,56

229

1,2

14,0

0

?

14,0

1,0

29,3

206

13,5

0

?

1,55

50

100

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

cm

cm

4

cm

4

cm

2

cm

cm

cm

mm

mm

J

y

J

x

A

c

L

c

D

J

pb

J

pa

A

p

e

py

e

px

b

a

J

Cs

J

Ch

A

C

e

Cy

e

Cx

e

s

h

Zadany przekrój

Prostok

ą

t

Ceownik

5.2

. Obliczenie pozostałych parametrów zadanego przek-

roju zło

ż

onego, wyszczególnionych w jego tablicy: