Równania Eulera

Prawo Pascala

Prawo naczyń

połączonych

Wykład 3

PODSTAWY MECHANIKI

PŁYNÓW

Siły działające w płynach

Siły działające w płynach

masowe

masowe

powierzchniowe

powierzchniowe

ciężkości

ciężkości

bezwładności

bezwładności

(d’Alamberta

(d’Alamberta

)

)

zewnętrzne

zewnętrzne

(np. nacisk

(np. nacisk

tłoka)

tłoka)

SIŁY

SIŁY

wewnętrzne

wewnętrzne

(naprężenia,

(naprężenia,

napięcia)

napięcia)

Siły masowe działają wówczas, gdy płyn znajduje

Siły masowe działają wówczas, gdy płyn znajduje

się w polu sił (ciężkości, bezwładności).

się w polu sił (ciężkości, bezwładności).

Q

D

ur

M

D

( )

A t

( )

V t

( , , )

x y z

Jednostkową siłę masową definiujemy w postaci:

Jednostkową siłę masową definiujemy w postaci:

gdzie:

gdzie:

Q

D

ur

- jest wektorem głównym elementarnych sił

- jest wektorem głównym elementarnych sił

masowych.

masowych.

X,Y,Z – składowe jednostkowej siły masowej,

M – elementarna masa płynu.

Q





k

j

i











Z

Y

X

M

Q

q

M

















0

lim

Siły powierzchniowe

Siły powierzchniowe

σ

σ

definiujemy w postaci:

definiujemy w postaci:

s

ur

n

r

A

D

W ogólnym przypadku:

W ogólnym przypadku:

(

)

, , , , , ,

x

y

z

x y z t n n n

s

s

=

ur ur

A

P

A















0

lim



)

,

,

,

,

,

,

(

z

y

x

n

n

n

t

z

y

x











Rodzaje ciśnień

Rodzaje ciśnień

Ciśnienie absolutne p

Ciśnienie absolutne p

1

1

– ciśnienie

– ciśnienie

mierzone względem absolutnej próżni.

mierzone względem absolutnej próżni.

n

b

p

p

+

b

p

b

w

p

p

+

n

p

w

p

1

p

0

-

Ciśnienie względne

Ciśnienie względne

– ciśnienie mierzone

– ciśnienie mierzone

względem innego ciśnienia.

względem innego ciśnienia.

Nadciśnienie p

Nadciśnienie p

n

n

– nadwyżka ciśnienia

– nadwyżka ciśnienia

absolutnego p

absolutnego p

1

1

nad ciśnieniem barometrycznym

nad ciśnieniem barometrycznym

p

p

b

b

.

.

p

p

n

n

=

=

Podciśnienie p

Podciśnienie p

w

w

– różnica między

– różnica między

ciśnieniem barometrycznym p

ciśnieniem barometrycznym p

b

b

i ciśnieniem

i ciśnieniem

absolutnym p

absolutnym p

2

2

p

p

w

w

=

=

Równania równowagi

Równania równowagi

płynów

płynów

Siły masowe i powierzchniowe działające na element

Siły masowe i powierzchniowe działające na element

płynu

płynu

dy

dy

Wypadkowa, elementarna siła powierzchniowa w
kierunku x,y,z

dxdydz

x

p

dydz

dx

x

p

p

dydz

dx

x

p

p















































2

1

2

1

dxdydz

y

p

dxdz

dy

y

p

p

dxdz

dy

y

p

p















































2

1

2

1

dxdydz

z

p

dxdy

dz

z

p

p

dxdy

dz

z

p

p















































2

1

2

1

Po dodaniu elementarnych sił masowych i
powierzchniowych:

Po podzieleniu przez

Po podzieleniu przez

dxdydz

dxdydz

otrzymamy

otrzymamy

równania Eulera

równania Eulera

Postać wektorowa:

Postać
analityczna:

Prawa strona równania jest różniczką zupełną

Prawa strona równania jest różniczką zupełną

ciśnienia. Dla

ciśnienia. Dla

dp=0

dp=0

otrzymamy równanie

otrzymamy równanie

powierzchni jednakowego ciśnienia:

powierzchni jednakowego ciśnienia:

Po pomnożeniu równań Eulera kolejno przez
dx,dy,dz i dodaniu stronami otrzymamy:

Prawo Pascala

Prawo Pascala

W przypadku gdy na płyn nie działają siły

W przypadku gdy na płyn nie działają siły

masowe (q=0) równanie Eulera przybiera

masowe (q=0) równanie Eulera przybiera

postać:

postać:

czyli:

czyli:

Prawo Pascala

Prawo Pascala

– gdyby na płyn

– gdyby na płyn

działały siły wyłącznie powierzchniowe, to

działały siły wyłącznie powierzchniowe, to

ciśnienie miało by jednakową wartość w

ciśnienie miało by jednakową wartość w

każdym punkcie płynu.

każdym punkcie płynu.

Ten warunek spełniony jest w przybliżeniu dla

Ten warunek spełniony jest w przybliżeniu dla

gazów. Prawo Pascala stosuje się również dla

gazów. Prawo Pascala stosuje się również dla

cieczy, gdy płyn znajduje się pod dużym

cieczy, gdy płyn znajduje się pod dużym

ciśnieniem, np. w prasach hydraulicznych.

ciśnieniem, np. w prasach hydraulicznych.

Równowaga cieczy w polu sił ciężkości

Równowaga cieczy w polu sił ciężkości

z

g

h

o

z

z

o

p

r

W polu sił ciężkości składowe jednostkowej siły

W polu sił ciężkości składowe jednostkowej siły

masowej wynoszą:

masowej wynoszą:







Z

Y

X

,

,

Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia ma

Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia ma

postać:

postać:

W polu sił ciężkości powierzchnie
jednakowego ciśnienia są poziomymi
płaszczyznami.

Czyli:

Różniczka i całkowita zmiana ciśnienia określona
jest wzorem:

Ciśnienie zmienia się liniowo tylko w kierunku
pionowym (osi z).

.

0

const

z

gdz







C

gz

p

gdz

dp













(

)

0

/

h

p p

g

r

= -

p – p

p – p

0

0

ciśnienie hydrostatycze

ciśnienie hydrostatycze

- wysokość ciśnienia

- wysokość ciśnienia

hydrostatycznego,

hydrostatycznego,

Stałą c wyznaczamy z warunku

Stałą c wyznaczamy z warunku

brzegowego:

brzegowego:

zatem

0

0

0

0

,

gz

p

C

p

p

to

z

z

gdy

















0

p

p





g

p

p

h



/

0





Prawo naczyń połączonych

Prawo naczyń połączonych

Cząstki cieczy należące do tej samej masy

Cząstki cieczy należące do tej samej masy

ciekłej, leżące na tej samej płaszczyźnie

ciekłej, leżące na tej samej płaszczyźnie

poziomej, podlegają działaniu jednakowego

poziomej, podlegają działaniu jednakowego

ciśnienia.

ciśnienia.

A

2

z

1

z

B

b

p

b

p

Zgodnie z prawem naczyń połączonych

Zgodnie z prawem naczyń połączonych

:

:

B

A

p

p 

2

1

gz

p

p

gz

p

p

b

B

b

A













A

2

z

B

1

p

2

p

1

z

h

Z prawa naczyń połączonych:

Z prawa naczyń połączonych:





2

1

p

p

Hg

b

b

Hg

p

h

g

r

=

b

p

para rtęci

0

a

p �

Barometr

Barometr

A

2

z

B

1

p

2

p

2

H

1

H

m

r

r

z

D

A

B

n

p

H

m

r

r

z

D

b

p

0

A

z

r

z

D

(

)

A

B

2

2

2

1

2

2

1

2

2

p =p

4

4

p

p

1

ponieważ

1, to

D

d

z

z

d

z z

D

p

g z

z

d

p

p

gz

D

d

D

p

gz

p

p

r

r

r

D =

� �

D = � �

� �

= +

+D

�

�

� �

D = -

=

+

�

�

� �

� �

�

�

�

�

� �

� �

� �

D �

=

Błąd: np. d=5 mm, D=80 mm,

Błąd: np. d=5 mm, D=80 mm,

2

0,4%

d

D

� �=

� �

� �

B

1

p

2

p

d

D

0

1

2















D

d

ponieważ , to

ponieważ , to

gz

p





















2

D

d

A

r

1

p

2

p

B

2

d

z

l

D

� �

D =� �

� �

sin

z l

a

=

l

0

0

1

A

1

p

2

p

p

1

z

D

2

z

D

1

B

2

A

1

r

2

r

B

2











2

1

gdy

gdy

, to

, to



p