Dr inż. JANUSZ LICHOTA

PODSTAWY AUTOMATYKI

Opis transmitancyjny obiektu

Algebra bloków

Wydział Mechaniczno-
Energetyczny

PLAN WYSTĄPIENIA

• Definicja transformaty Laplace’a

– Własności
– Dowody twierdzeń
– Przykłady

• Transmitancja obiektu

– Przykłady

• Algebra bloków

– Typowe połączenia
– Zagadki dla starych i młodych

Definicja transformaty
Laplace’a

[

]

0

( )

( )

( )

st

L f t

F s

f t e dt

�

-

=

=

�

C – zbiór liczb zespolonych,
s – liczba zespolona,
t – czas.

Całka jest zbieżna wtedy, gdy istnieją takie skończone liczby K
oraz , że

,

,

Niech będzie dana funkcja

, przy czym f(t)=0 dla t

< 0. Wówczas transformatą Laplace’a jest nazywane
przekształcenie

,

:

f

�

� �

s��

( )

t

f t

Ke

g

�

t��

Re( )

s

s

g

= >

Oryginał funkcji czasu f(t) może być obliczony z następującej formuły

1

( )

( )

2

c j

st

c j

f t

F s e ds

j

p

+ �

- �

=

�

Definicja transformaty
Laplace’a

j-liczba urojona,
c-stała

Pierre-Simon markiz de Laplace

23 III 1749 – 5 III 1827

Portret sporządzony już po transformacie.

Definicja transformaty
Laplace’a

Własności

Liniowość

Skalowanie

Przesunięcie w dziedzinie czasu
T

t

0 (przesunięcie w prawo)

T

t

0 (przesunięcie w lewo)

Tłumienie

L

A f t

AL f t

i

i

n

i

i

n

( )

[ ( )]

















 

1

1

[

]

[

]

[

]

( )

( )

( )

( )

L

f t

f t

L f t

L f t

a

b

a

b

+

=

+

[

]

[

]

1

( )

( )

L f at

L f t

a

=

[

]

[

]

(

)

( )

t

sT

t

L f t T

e L f t

-

-

=

[

]

0

(

)

( )

( )

t

t

T

sT

s

t

L f t T

e

F s

f

e d

t

t

t

-

-

-

�

�

-

=

-

�

�

�

�

�

�

�

[

]

( )

(

)

(

)

s

L e f t

L f s a

F s a

t

�

�=

-

=

-

�

�

Różniczkowanie

Całkowanie

Splot funkcji (twierdzenie Borela)

Wartości graniczne

( )

(0)

L f

sF s

f

�

� �=

-

� �

� �

1

2

1

1

2

( )

(0)

(0)

...

(0)

( )

n

n

n

n

n

n

n

n

d f t

d f

d

f

L

s

s f

s F s

dt

dt

dt

-

-

-

-

-

�

�

=-

-

- -

+

�

�

�

�

2

0

( )

(0) ( )

t

L f

s F s sf

��

�

=

� �=

-

-

� �

� �

0

1

( )

( )

t

L

f t dt

F s

s

�

�

=

�

�

�

�

�

1

2

1

2

1

2

0

0

( )* ( )

(

) ( )

( ) (

)

t

t

f t

f t

f t

f

d

f

t

d

t

t t

t

t t

=

-

=

-

�

�

[

]

1

2

1

2

( )* ( )

( ) ( )

L f t

f t

F s F s

=

0

lim ( ) lim ( )

t

s

f t

sF s

�+�

�

=

0

lim ( ) lim ( )

t

s

f t

sF s

� +

��

=

Własności

Dowody twierdzeń
Liniowość

Z liniowości transformaty Laplace’a wynika, że nie może być ona zastosowana
do obiektów nieliniowych

(

)

1

2

0

1

2

0

0

1

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

st

st

st

f t

f t e dt

f t e dt

f t e dt

F s

F s

a

b

a

b

a

b

�

-

�

�

-

-

+

=

+

=

+

�

�

�

Dowody twierdzeń
Skalowanie

Po podstawieniu =at otrzymano

Dowody twierdzeń
Przesunięcie w dziedzinie czasu

=0 dla T

t

>0, bo f(t)=0 dla t<=0

Po podstawieniu =t-T

t

otrzymano

Dowody twierdzeń
Tłumienie

Po podstawieniu p=s-a otrzymano

0

( )

( )

(

)

pt

e f t dt F p

F s a

�

-

=

=

-

�

Dowody twierdzeń
Różniczkowanie

Całkując przez części otrzymano

1

2

1

1

2

( )

(0)

(0)

...

(0)

( )

n

n

n

n

n

n

n

n

d f t

d f

d

f

L

s

s f

s F s

dt

dt

dt

-

-

-

-

-

�

�

=-

-

- -

+

�

�

�

�

Kontynuując całkując wyprowadzany jest wzór ogólny

 

f

g

g

f

fg

'

'

'





 

g

f

fg

f

g

'

'

'





Dowody twierdzeń
Całkowanie

Całkując przez części otrzymano

O ile całka istnieje

Dowody twierdzeń
Splot funkcji

Po podstawieniu =t- otrzymano

Dowody twierdzeń
Wartości graniczne

Twierdzenie o wartości początkowej
Jeżeli F(s) = L[f(t)] oraz istnieje granica

, to

0

lim ( )

(0 )

t

f t

f

� +

=

+

Jeżeli f(t) ma granicę niewłaściwą,

to uogólnienie

Czynnik e

-s

„ściąga” całkę do zera

Twierdzenie o wartości końcowej.
Jeżeli F(s) = L[f(t)] oraz istnieje
granica

Dowody twierdzeń
Wartości graniczne

lim ( )

(

)

t

f t

f

�+�

= +�

Laplace est aussi connu pour sa conception d'un démon (ou

démon de Laplace

) capable de

connaître, à un instant donné, tous les paramètres de toutes les particules de l'univers. Dans
cette perspective, l'auteur adopte une position

déterministe

, soit une position philosophique et

scientifique capable d'inférer de ce qui est, ce qui doit être. Ce concept de démon sera
notamment remis en cause par le

principe d'incertitude

d'

Heisenberg

.

Laplace strongly believed in

causal determinism

, which is expressed in the following quote from the

introduction to the Essai:
"We may regard the present state of the universe as the effect of its past and the cause of its future. An
intellect which at a certain moment would know all forces that set nature in motion, and all positions of all
items of which nature is composed, if this intellect were also vast enough to submit these data to
analysis, it would embrace in a single formula the movements of the greatest bodies of the universe and
those of the tiniest atom; for such an intellect nothing would be uncertain and the future just like the past
would be present before its eyes."

Laplacescher Dämon bezeichnet die erkenntnis- und wissenschaftstheoretische Auffassung, dergemäß
es möglich sei, unter der Kenntnis sämtlicher

Naturgesetze

und aller Initialbedingungen jeden

vergangenen und jeden zukünftigen Zustand zu berechnen. Der metaphysische Unterbau dieser Haltung
ist der

Gesetzesdeterminismus

: für

Laplace

ist die Welt durch Anfangsbedingungen und

Bewegungsgesetze vollständig determiniert, so dass die Aufgabe der

Naturphilosophie

, die in der

Himmelsmechanik

ihr Vorbild besitzt, ausschließlich in der Integration von Differentialgleichungen

besteht. Das wäre die Aufgabe des Dämons, den Laplace im Vorwort des Essai philosophique sur les
probabilités von 1814 entwirft; er spricht dort jedoch weniger effektheischend von einer Intelligenz (une
intelligence).
В философии Лаплас был приверженцем

детерминизма

. Он постулировал, что если бы какое-

нибудь разумное существо смогло узнать положения и скорости всех частиц в мире в некий
момент, оно могло бы абсолютно точно предсказать эволюцию Вселенной. Такое гипотетическое
существо впоследствии названо

демоном Лапласа

.

Chwila oddechu. Coś bardziej
zrozumiałego.

Tablica transformat

Tablica transformat

Laplace, Louisiana

From Wikipedia, the free encyclopedia

Jump to: navigation, search
La Place (sometimes spelled LaPlace or Laplace) is a census-designated place located in St. John the
Baptist Parish, Louisiana, on the East Bank of the Mississippi River. As of the 2000 census, the CDP had a
total population of 27,684.
It is the southern terminus of Interstate 55 highway, where it joins with Interstate 10. La Place is located
25 miles west of New Orleans.

Proszę nie
pomylić
transformaty
Laplace’a z
miasteczkiem
LaPlace (franc.
miejsce) pod
Nowym
Orleanem.

Tablica transformat

F s

ke dt k

e

s

k

s

st

st

( ) 

















0

0

Znaleźć transformatę skoku o amplitudzie k (funkcji
Heaviside’a)

f(t) = k dla t >0

Rozwiązanie

Tablica transformat
Przykład 1

Impuls Diraca, pseudofunkcja






( )

,

( )

,

( )

t

t

t

t

t dt





 





















 





0

0

0

1

L t

[ ( )]



1

Transformata Laplace’a impulsu Diraca

t

t

Model geometryczny:
trójkąty o polu 1 i
wierzchołku  

Oczywiście

1

1 s

s

=

Stąd związek pomiędzy funkcją Heaviside’a i
impulsem Diraca

[ ]

1

1

1

1( )

1

( )

d t

L

L s

t

s

dt

d

-

-

� �

=

=

=

� �

� �

Tablica transformat
Przykład 2

Wyprowadzenie

Tablica transformat
Przykład 3

1

t

e

s

a

a

�

�

m

0

0

(

)

0

(

)

0

( )

( )

1

1

st

t

st

s

t

s

t

F s

f t e dt

e e dt

e

dt

e

s

s

a

a

a

a

a

�

-

�

-

�

- -

�

- -

=

=

=

�

�

=-

�

�

-

=

-

�

�

�

Transformata

Znaleźć transformatę równania

( )

( )

y t

ku t

=

Rozwiązanie

( )

( )

Y s

kU s

=

Transformata Laplace’a zamienia funkcję czasu f(t) w funkcję
zmiennej zespolonej F(s), dlatego

Obiekt dynamiczny

u(t)

y(t)

k - stała

Tablica transformat
Przykład 4

.

T y y ku

+ =

Transformata pochodnej wynosi

Znaleźć transformatę Laplace’a równania
różniczkowego

Rozwiązanie

1

2

1

1

2

( )

(0)

(0)

( )

...

(0)

n

n

n

n

n

n

n

n

d f t

d f

d

f

L

s F s

s

s f

dt

dt

dt

-

-

-

-

-

�

�

=

-

-

- -

�

�

�

�

Stąd

[

]

( )

(0)

( )

( )

TsY s

y

Y s

kU s

-

+

=

Jeżeli warunek początkowy y(0) = 0, to

(

)

( )

( )

( )

( )

1

( )

TsY s Y s

kU s

Y s Ts

kU s

+

=

+ =

Obiekt dynamiczny

u(t)

y(t)

Tablica transformat
Przykład 5

Znaleźć transformatę Laplace’a równania
różniczkowego

Rozwiązanie

..

.

1

2

T y T y y ku

+

+ =

2

1

1

2

1

( )

(0)

(0)

( )

(0) ....

n

n

n

n

n

n

n

n

d f t

d

f

d f

L

s F s s f

s

dt

dt

dt

-

-

-

-

-

�

�

=

-

-

-

-

�

�

�

�

Transformata pochodnej wynosi

[

]

2

2

1

(0)

( )

(0)

( )

(0)

( )

( )

dy

T s Y s sy

TsY s

y

Y s

kU s

dt

�

�

-

-

+

-

+

=

�

�

�

�

Stąd

Obiekt dynamiczny

u(t)

y(t)

W przypadku zerowych warunków początkowych

2

2

1

( )

1

( )

Y s T s

Ts

kU s

�

�

+

+ =

�

�

Tablica transformat
Przykład 6

.

.

T y y ku u

+ = +

Znaleźć transformatę Laplace’a liniowego równania
różniczkowego

Rozwiązanie

Obiekt dynamiczny

u(t)

y(t)

[

]

[

]

( )

(0)

( )

( )

(0)

( )

TsY s

y

Y s

ksU s u

U s

-

+

=

-

+

W przypadku zerowych warunków początkowych równania
różniczkowego y(0)=0, u(0)=0 otrzymujemy

( )

( )

( )

( )

TsY s Y s

ksU s U s

+

=

+

[

]

[

]

( )

1

( )

1

Y s Ts

U s ks

+ =

+

Tablica transformat
Przykład 7

Znaleźć transformatę odwrotną wyrażenia







 



F s

s

s

s

( ) 









1

1

20

1

3

2

2

3











 











F s

s

A

s

B

s

C

s

D

s

E

s

( ) 

































1

1

20

1

1

3

3

3

2

2

3

2



















 











s

F s

s

s

A

s

B

s

C

s

D

s

E

s



 











































1

1

1

1

20

1

1

3

3

3

2

2

2

2

3

2

( )

























lim

( )

s

s

F s

A

s

B

s

C

s

D

s

E

s

 



 

 

 

































1

2

2

3

2

1

1 20

1

1

3

3

3











 







lim

lim

s

s

s

s

s

s

s

A

 

 



















 













  

1

2

2

2

3

1

3

1

1

1

20

1

3

1

20

3

1 20

1

20

8

1 20



 

A

A

B

C

D

E











1
8

3

16

1
4

1
4

3

16









f t

t e

t

t e

t

t

( )

.

.

.

.







 





375 15

375 5 25

2

3

Rozwiązanie.

Rozkład na ułamki proste

Wyznaczymy A, dlatego

Po wyzerowaniu prawej strony
otrzymywane jest A

Z tablicy transformat wynika, że

Tablica transformat
Przykład 8

Przebieg funkcji f(t) w
czasie

Schemat w Simulinku

Różniczkowanie s
realizuje odpowiedź
obiektu na impuls
Diraca
s /s = 1

Wprowadzono skok 1/s, ze
względu na brak impulsu Diraca
w programie

F(s)

u(t)=(t)

f(t)







 



F s

s

s

s

( ) 









1

1

20

1

3

2

2

3









f t

t e

t

t e

t

t

( )

.

.

.

.







 





375 15

375 5 25

2

3

Tablica transformat
Przykład 8

Transmitancja obiektu

Transmitancja obiektu

Przekształcając dalej transformatę np. równania
różniczkowego (przykład 5)

.

T y y ku

+ =

(

)

( )

1

( )

Y s Ts

kU s

+ =

znajdujemy ciekawą zależność opisującą stosunek
transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału
wejściowego danego obiektu

(

)

( )/ ( )

/

1

Y s U s

k Ts

=

+

Po lewej stronie zależności znajdują się transformaty
sygnałów, po prawej iloraz wielomianów.

Transmitancja obiektu

Def. Transmitancja operatorowa G(s) (funkcja przejścia,
przepustowość) to
stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty
sygnału wejściowego przy zerowych warunkach
początkowych równania różniczkowego

( )

( )

( )

Y s

G s

U s

=

Obiekt dynamiczny

u(t)

y(t)

G(s)

u(t)

y(t)

Transmitancja operatorowa, podobnie jak transformata Laplace’a, nie może być
zastosowana do obiektów nieliniowych.

Transmitancja obiektu

( )

( )

( )

Y s

G s

U s

=

Jeżeli jest znana transmitancja operatorowa obiektu

oraz sygnał sterujący U(s), to można wyznaczyć sygnał wyjściowy z obiektu

( )

( ) ( )

Y s

G s U s

=

A korzystając z twierdzenia Borela można wyznaczyć przebieg sygnału
wyjściowego y(t) z obiektu

( )

( )* ( )

y t

g t u t

=

Innym sposobem jest odczytanie oryginału z tablicy transformat.

1

0

1 ( )

( ),

m

n

i i

i

i

i

i

i

T s

Y s

ks U s n m

=

=

�

�

�

�

+

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

M s

T s

i

i i

i

m

( ) 

















1

1

L s

ks

i

i

i

n

( ) 















0

( )

( )

( )

( )

( )

Y s

L s

G s

U s

M s

=

=

Transmitancja obiektu

Transformata Laplace’a liniowego równania różniczkowego ma postać

Obiekty realizowalne fizycznie spełniają warunek n<=m. Przyjmując oznaczenia
dla wielomianów

Otrzymywana jest transmitancja obiektu jako iloraz dwóch wielomianów

Transmitancja obiektu

Równaniem charakterystycznym nazywany jest mianownik transmitancji
Operatorowej M(s)

( )

( )

( )

( )

( )

Y s

L s

G s

U s

M s

=

=

Transmitancja obiektu
Przykład 1

Znaleźć przebieg sygnału wyjściowego y(t), jeżeli na
wejście elementu o transmitancji :

G s

s Ts

( )

(

)





1

1

wprowadzono sygnał narastający liniowo u(t)=t.

Y s

G s U s

s Ts

( )

( ) ( )

(

)







1

1

3

Rozkład na ułamki proste

Y s

s Ts

A

s

B

s

C

s

D

s

T

( )

(

)





 







1

1

1

3

3

2

(

)

D C s

C

T

B s

B

T

A s

A

T











 







 







 

3

2

1

0

Przyrównując współczynniki wielomianu do 0 otrzymuje się

A

B

T C T D

T









1

2

2

y t

t

Tt T

T e

t

T

( ) 









1
2

2

2

2

Rozwiązanie.
Z tablicy transformat wynika, że
U(s)=1/s

2

, stąd

Stąd wynika przebieg sygnału wyjściowego

G s

s Ts

( )

(

)





1

1

y t

t

Tt T

T e

t

T

( ) 









1

2

2

2

2

Przebieg funkcji y(t) dla T=1
sekunda
na sygnał liniowo narastający w
czasie

2

1

( )

1

2

t

y t

t

t

e

-

=

- + -

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

2

4

6

8

10

12

czas t, sekundy

y(

t)

Transmitancja obiektu
Przykład 1 – odpowiedź czasowa

[

]

2

( ) (

1)

( )

( )

( )

( )

Y s s Ts

U s

Ts Y s sY s U s

+ =

+

=

2

2

( )

( )

( )

( )

d y t

dy t

T

u t

dt

dt

Ty y u t

+

=

+ =

&& &

Z transmitancji obiektu po przekształceniach

można otrzymać równanie różniczkowe

Transmitancja obiektu
Przykład 1 – równanie
różniczkowe

Równaniem charakterystycznym obiektu jest

(

1) 0

s Ts+ =

Równanie posiada dwa bieguny (zera równania
charakterystycznego)

0

s =

1

s

T

=-

i nie posiada zer (zera licznika). Jeżeli np.T=1 sekunda, to
położenie biegunów można zaznaczyć na płaszczyźnie
Gaussa

j=j Im(s)

-1/T

0

=Re(s)

s=+ j

Położenie bieguna

Transmitancja obiektu
Przykład 1 - bieguny

Transmitancja obiektu
Przykład 2 – rozwiązanie
czasowe

Wróćmy do przykładu 5. Równanie różniczkowe

.

0

y ay

+ =

nosi nazwę jednorodnego (homogenicznego) i ma rozwiązanie

( )

(0)

at

at

y t

Ce

y e

-

-

=

=

y(0) jest stałą zwaną warunkiem początkowym. Równanie
niejednorodne

.

T y ay bu

+ =

ma rozwiązanie czasowe określone przez twierdzenie Borela
(całkę splotu)

(

)

0

( )

( )

t

at

a t

y t

Ce

b e

u dt

t

t

-

-

-

=

+

�

Pierwszy człon zależy od warunków początkowych, drugi – od sygnału
sterującego u(t). Jeżeli a>0, to sygnał wyjściowy z obiektu y(t) zmierza
do zera. Jeżeli a<0, to sygnał wyjściowy zmierza do nieskończoności.

Transmitancja obiektu
Opis wielu obiektów
jednocześnie

Zapisując jedną transmitancję znajdując jego rozwiązanie znajdujemy
rozwiązania dla nieskończenie wielu obiektów opisywanych równaniem o takiej
samej strukturze równania różniczkowego.

Nawet tych o których nie mamy pojęcia, że istnieją.

Algebra bloków

Algebra bloków
Postać blokowa

U(s)

Y(s)

Celem analizy blokowej jest doprowadzenie równań obiektu do najprostszej
postaci. Takiej w której jawnie występuje równanie charakterystyczne. Z postaci
blokowej widać również graficznie przebieg sygnałów sterujących.

Obiekt jednowymiarowy można zapisać w postaci blokowej

1

(

1)

s Ts+

U(s)

Y(s)

( )

G s

Lub ogólniej

Algebra bloków
Postać blokowa

Obiekt jednowejściowy, dwuwyjściowy

ma postać blokową

1

1

2

2

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Y s

G s U s

Y s

G s U s

=

=

U(s)

Y

1

(s

)

1

( )

G s

Y

2

(s

)

2

( )

G s

Algebra bloków
Postać blokowa

W obiekcie dwuwejściowym, dwuwyjściowym

Transmitancje G

12

, G

21

tworzą sprzężenia skrośne.

1

11

1

12

2

2

21

1

22

2

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Y s

G s U s G s U s

Y s

G s U s G s U s

=

+

=

+

U

1

(s)

Y

1

(s

)

11

( )

G s

Y

2

(s

)

22

( )

G s

U

2

(s)

12

( )

G s

21

( )

G s

+

+

+

+

Algebra bloków
Postać blokowa

U

1

(s)

U

2

(s)

Y

1

(s

)

Y

2

(s

)

Y

3

(s

)

Y

4

(s

)

Algebra bloków
Obiekt wielowymiarowy

1

2

( )

( )

( )

...

( )

p

U s
U s

U s

U s

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

�

�

Y s

Y s
Y s

Y s

q

( )

( )

( )

...

( )



























1

2

G s

G s G s G s

G s G s G s

G s G s G

s

p

p

q

q

q p

( )

( )

( )...

( )

( )

( )...

( )

...

( )

( )...

( )







































11

12

1

21

22

2

1

2

1

( )

( ) ( )

s

s

s

=

Y

G X

Ogólnie, obiekt wielowymiarowy można zapisać w postaci rozwiniętej –
macierzowo-wektorowej

lub w postaci skróconej

Algebra bloków
Przykład - wymiennik

v

zi

, T

zi

v

pi

, T

pi

v

zs

T

zs

v

ps

T

ps

G s

T

T

T

T

v
T

v

T

T

v

T

v

v
v

v

v

T

T

T

T

v

T

v

T

T

v

T

v

v

v

v

v

ps

pi

zi

pi

ps

pi

zi

pi

ps

pi

zi

pi

ps

pi

zi

pi

ps

zs

zi

zs

ps

zs

zi

zs

ps

zs

zi

zs

ps

zs

zi

zs

( ) 





















































T

pi

v

pi

T

zs

v

zs

T

ps

v

p

s

T

zi

v

zi

T –
temperatura,
v - prędkość

Postać blokowa wymiennika

Wlot wody
ogrzewanej

Wylot wody
ogrzewanej

Wlot
wody
grzejnej

Wylot
wody
grzejnej

Transmitancja wymiennika

Algebra bloków
Przykład - wymiennik

Wymienniki ciepła typu JAD

Połączenie równoległe 3 wymienników

Połączenie równoległe 2 wymienników

Algebra bloków

Połączenia członów – rodzaje
połączeń

1

( )

G s

2

( )

G s

( )

n

G s

Szeregowe

1

( )

G s

2

( )

G s

Równoległe

Ze sprzężeniem zwrotnym

1

( )

G s

2

( )

G s

U(s)

Y(s)

+

+

U(s)

Y(s)

Y(s)

-

+

U(s)

1

( )

G s

2

( )

G s

Y(s)

-

+

U(s)

Postać zakłóceniowa

Postać uchybowa

Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia

Zasada przekształceń :

sygnał wyjściowy Y(s) nie ulega zmianie po
przeniesieniu bloku

(sygnał wejściowy, z natury rzeczy, nie może ulec zmianie)

Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia

1

( )

G s

2

( )

G s

( )

n

G s

U(s)

Y(s)

1

2

1

2

1

1

( ) ( )

( )

( )

( )

...

( ) ( )... ( )

( )

( ) ( )

( )

n

n

Y s Y s

Y s

Y s

G s

G s G s G s

U s

U s Y s

Y

s

-

=

=

=

Transmitancja zastępcza połączenia szeregowego
bloków jest ILOCZYNEM transmitancji członów

Y

1

(s)

Y

2

(s)

Y

n-1

(s)

Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia

1

( )

G s

2

( )

G s

U(s)

Y(s)

+

+

Transmitancja zastępcza połączenia równoległego
bloków jest SUMĄ transmitancji członów

1

2

1

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Y s

Y s

Y s

G s

G s G s

U s

U s

U s

=

=

+

=

+

Y

1

(s)

Y

2

(s)

Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia

1

( )

G s

2

( )

G s

Y(s)

+

+

U(s)

Y

1

(s)

Stąd transmitancja zastępcza połączenia z dodatnim
sprzężeniem zwrotnym

Y

2

(s)

2

1

1

2

1

2

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Y s U s Y s
Y s

G s Y s

Y s

G s Y s

=

+

=

=

W połączeniu występują następujące związki

Po wstawieniu równania 1-go i 2-go do trzeciego
otrzymano

1

1

2

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y s

G s U s G s G s Y s

=

+

1

1

2

( )

( )

( ) 1

( ) ( )

G s

Y s

U s

G s G s

=

-

Postać zakłóceniowa

Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia

1

( )

G s

2

( )

G s

Y(s)

-

+

U(s)

W praktyce ważniejsza transmitancja zastępcza
połączenia z ujemnym sprzężeniem zwrotnym ma
postać

1

1

2

( )

( )

( ) 1

( ) ( )

G s

Y s

U s

G s G s

=

+

Zmianie uległ znak w mianowniku

Postać zakłóceniowa

Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia

1

( )

G s

2

( )

G s

Y(s)

-

+

U(s)

Y

1

(s)

Y

2

(s)

Stąd transmitancja zastępcza połączenia z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym

2

1

2

2

1

1

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Y s U s Y s
Y s

G s Y s

Y s

G s Y s

=

-

=

=

W połączeniu występują następujące związki

Po wstawieniu równania 1-go i 2-go do trzeciego
otrzymano

(

)

1

2

1

2

1

2

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y s

G s G s U s Y s

G s G s U s G s G s Y s

=

-

=

-

1

2

1

2

( ) ( )

( )

( ) 1

( ) ( )

G s G s

Y s

U s

G s G s

=

+

Postać uchybowa

Algebra bloków
Zagadka 1 dla starych i
młodych

Algebra bloków
Zagadka 1 dla starych i
młodych

Wyznaczyć transmitancję wypadkową układu G(s) =
Y(s)/U(s)

Algebra bloków
Zagadka 2 dla starych i
młodych

Rozwiązanie

G

2

(s)

G

4

(s)

-

+

G

24

(s)

2

24

2

4

( )

( )

1

( ) ( )

G s

G s

G s G s

=

+

zamieniany jest na pojedynczy blok

Układ

o transmitancji

Stąd nowa postać układu

G

1

(s)

G

3

(s)

-

+

G

24

(s)

G

1

(s)

G

3

(s)

-

G

24

(s)

Algebra bloków
Zagadka 2 dla starych i
młodych

Kolejny ruch polega na zamianie połączenia szeregowego na transmitancję zastępczą

G

124

(s)

G

3

(s)

-

G

124

(s)=G

1

(s) G

24

(s)

Do zredukowania pozostało jedynie ujemne sprzężenie zwrotne. Nazwijmy je G

1234

Stąd

124

1234

124

3

( )

( )

1

( ) ( )

G

s

G

s

G

s G s

=

+

Ostatecznie, po wstawieniu wszystkich wzorów

2

1

2

4

1234

2

1

3

2

4

( )

( )

1

( ) ( )

( )

( )

1

( ) ( )

1

( ) ( )

G s

G s

G s G s

G

s

G s

G s G s

G s G s

+

=

+

+

Algebra bloków
Zagadka 2 dla starych i
młodych

1

2

1234

2

4

1

2

3

( ) ( )

( )

1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

G s G s

G

s

G s G s G s G s G s

=

+

+

2

4

1

2

3

1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

G s G s G s G s G s

+

+

=

Najprostsza postać

Można z niej odczytać np. równanie charakterystyczne

Algebra bloków
Zagadka 3 dla starych i
młodych

Wyznaczyć transmitancję wypadkową układów G(s) =
Y(s)/U(s)

Algebra bloków
Obiekt hydrauliczny

Proces mieszania dwóch cieczy o różnych stężeniach.

C – stężenie,
m – strumień masy
V – strumień objętości
t - czas

Rozwiązanie dla a) stężenia b) strumieni masy

Ca

Cawe

1/(Ts+1)

V

1/m

Ca

-Vawy

Va

+Vawe

1/s

Stąd dla jednego obiektu otrzymano transmitancję zastępczą.

Rozwiązanie dla a) stężenia b) strumieni masy

Dla dwóch identycznych obiektów połączonych szeregowo

Ca

Cawe

1/(Ts+1)

Ca

Cawe

1/(Ts+1)

Algebra bloków
Obiekt hydrauliczny

Dziękuję za uwagę i

zainteresowanie