4. TEORIA RUCHU POJAZDÓW SZYNOWYCH

 

Dynamika pojazdu szynowego

Ruch postępowy pociągu wzdłuż toru odbywa się pod wpływem

działania następujących sił, a ściślej ich rzutów na kierunek biegu

pociągu:

•

siła pociągowa F [N] – zależna od działań maszynisty lub

urządzeń automatycznej jazdy pociągu; w czasie jazdy wywołana

momentami napędowymi silników trakcyjnych i przypisuje się jej

wtedy znak „+”, w czasie hamowania wywołana działaniem

hamulców lub momentów hamujących silników trakcyjnych i

przypisuje się jej wtedy znak „-”

•

opory ruchu W [N] – wszystkie inne siły skierowane wzdłuż

drogi pociągu, niezależne od woli maszynisty; przypisuje im się

znak „+”, gdy są skierowane przeciw ruchowi pociągu i znak „-”,

gdy są zgodne z jego kierunkiem.

Różnicę między siłą pociągową a oporami ruchu nazywamy siłą

przyśpieszającą F

p

[N], która może być dodatnia lub ujemna.

W

F

F

p





Energia kinetyczna pociągu

 

kwir

kp

k

E

E

E















2

2

2

2

2

2

w

w

k

k

k

I

I

mv

E





gdzie:
m – masa pociągu,
v – prędkość pociągu,
I

k

– moment bezwładności kół wagonów lub lokomotyw,

I

w

– moment bezwładności wirników silników trakcyjnych,

ω

k

– prędkość kątowa kół wagonów lub lokomotyw,

ω

w

– prędkość kątowa wirników silników trakcyjnych.

k

k

R

v





l

w

R

z

v





gdzie:
R

k

– promień koła wagonu lub lokomotywy,

R

l

– promień koła lokomotywy,

z – przełożenie przekładni.

















































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

l

w

k

k

l

w

k

k

k

R

z

I

R

I

m

mv

R

z

v

I

R

v

I

mv

E























kp

kwir

kp

kwir

kp

k

E

E

E

E

E

E

1

Wielkość: γ wyraża stosunkowy pozorny wzrost masy pociągu
wywołany wpływem jego mas wirujących.





















2

2

2

1

l

w

k

k

R

z

I

R

I

m







2

2

1

2

2

v

m

v

m

E

k





















1

Uwzględniając wpływ mas wirujących, masa pozorna pociągu
wynosi mα, gdzie α=1+γ nosi nazwę współczynnika
bezwładności mas wirujących pociągu.

Znając wymiary i momenty bezwładności mas wirujących można
współczynnik α obliczyć osobno dla lokomotywy i wagonów, a
następnie dla całego składu pociągu według wzoru:

 

 

 











n

i

i

n

i

i

i

G

G

1

1





gdzie:

G

i

– ciężar lokomotywy, wagonu,

α

i

– współczynnik bezwładności lokomotywy, wagonu.

 

Zwykle nie ma potrzeby dokładnego obliczania wielkości wpływu
mas wirujących, ponieważ wpływ ten jest niemal stały dla
określonych rodzajów pojazdów. Wartości współczynnika α mogą
być przyjmowane w następujących granicach:

lokomotywy elektryczne

1,20

– 1,40

wagony motorowe

1,10 – 1,15

wagony osobowe

1,04

– 1,05

wagony towarowe 4-osiowe próżne

1,07

– 1,08

wagony towarowe 4-osiowe naładowane

1,03

– 1,04

tramwaj – wagon motorowy

1,15 – 1,20

tramwaj 2-wagonowy

1,10

– 1,15

trolejbus

1,25

– 1,30

Siła przyspieszająca i przyspieszenie

k

p

dE

ds

F





dt

dv

m

ds

dv

dt

ds

m

ds

dv

v

m

ds

dv

v

m

ds

dv

m

v

m

ds

d

ds

dE

F

k

p





































































2

2

2

2

2

2

a

m

F

p















m

F

a

p

lub





g

f

g

G

F

a

p

p









gdzie f

p

jest jednostkową siłą przyspieszającą tj. siłą przyspieszającą

przypadającą na jednostkę ciężaru pociągu. Taki wzór będzie
słuszny, jeżeli f

p

jest bezwymiarowa, to znaczy kiedy siła F

p

oraz

ciężar G określone są w tych samych jednostkach

W praktyce F

p

podaje się w [N], a G w [kN].

Dlatego wprowadzono jednostkową siłę określaną w promilach jako
stosunek [N/kN]:

]

[

]

[

]

/

[

00

0

kN

G

N

F

f

p

p



]

[

]

[

]

/

[

00

0

kN

G

N

F

f



]

[

]

[

]

/

[

00

0

kN

G

N

W

w



jednostkowa siła przyspieszająca

jednostkowa siła pociągowa

jednostkowe opory ruchu

Jeżeli: m[t], G[kN], F[N], W[N], F

p

[N], przyspieszenie oblicza się

następująco:













102

1

)

(

1000

)

(

1000

1000

1000

1000































w

f

g

w

f

g

f

g

G

W

F

g

G

F

m

F

a

p

p

p

Opory ruchu

Na pociąg będący w ruchu, oprócz siły pociągowej, działa

wiele sił różnego rodzaju i pochodzenia, których większość
skierowana jest zwykle przeciw ruchowi pociągu. Rzuty tych
wszystkich sił, odniesionych do obwodu kół pociągu, na
kierunek jego biegu nazywamy oporami ruchu. Przypisujemy
im znak „+”, gdy są skierowane przeciw ruchowi pociągu i znak
„-”, gdy ich kierunek jest zgodny z ruchem pociągu

Wszystkie opory składowe jak i całkowite określa się jako

siłę w [N] lub w postaci oporów jednostkowych, odniesionych do
1kN ciężaru pociągu, w [N/kN] lub [

0

/

00

].

Opory ruchu można podzielić na opory zasadnicze, opory

profilu linii oraz opory dodatkowe ośrodka.

Opory zasadnicze ruchu

Opory zasadnicze są nierozłącznie związane z toczeniem się pojazdu,
działają stale przy jeździe pociągu po torze otwartym w linii prostej i
poziomej, bez wiatru. Do oporów zasadniczych należą:

•opory wewnętrzne taboru,

•opory toru,

•opory ośrodka powietrznego na czołowe i boczne ściany lokomotywy i
wagonów.

Ze względu na trudność analitycznego ujęcia zjawisk, praktyka
kolejowa ogranicza się do pomiarów całkowitych zasadniczych oporów
ruchu danego rodzaju pociągu w danych warunkach. Na podstawie
dużej ilości pomiarów tworzy się odpowiednie wzory empiryczne.

Postać większości wzorów na zasadnicze opory ruchu to trójmian
kwadratowy będący funkcją prędkości. Wpływ niektórych czynników
uwzględnia się w wartości współczynników trójmianu.

2

2

1

v

w

v

w

w

w

o







Wzory opracowane dla kolei
rosyjskich

• dla 2 i 3-osiowych wagonów
towarowych

v

m

w

w





















25

1

02

,

0

4

,

1

• dla 4-osiowych wagonów
towarowych

w

m

v

w

55

,

0

12

65







• dla 2 i 3-osiowych wagonów
pasażerskich

2

0003

,

0

017

,

0

4

,

1

v

v

w







• dla 4 i 6-osiowych wagonów
pasażerskich

2

0003

,

0

012

,

0

4

,

1

v

v

w







(określają jednostkowe
opory ruchu w funkcji
v – prędkość pociągu w
[km/h] )

• dla lokomotyw

2

0005

,

0

01

,

0

4

,

1

v

v

w







• dla zespołów trakcyjnych





2

0

045

,

0

1

0064

,

0

v

m

m

n

v

k

w

w

D

M

















gdzie:

m

w

– masa wagonu w [t]

n – całkowita liczba
wagonów
w pociągu,
m

M

– masa wagonów

motorowych [t],
m

D

– masa wagonów

doczepnych [t].

62

,

1

0



w

014

,

0



k

dla jazdy
pod prądem

5

,

2

0



w

03

,

0



k

dla jazdy bez
prądu

Wzór Francka





2

2

10

2

1

,

1

54

,

0

10

0142

,

0

5

,

2







































v

nq

S

k

m

v

w

gdzie:
m – całkowita masa pociągu w [t],
n – liczba wagonów,
kS – przekrój zastępczy lokomotywy w [m

2

], przy czym S stanowi

przekrój
rzeczywisty i wynosi zwykle 10-12 m

2

, zaś k jest

współczynnikiem
uwzględniającym wpływ kształtu ściany przedniej
lokomotywy:

k = 1,0 - dla przodu płaskiego,
k = 0,8 – dla przodu z krawędziami zaokrąglonymi,
k = 0,6 – dla przodu całkowicie zaokrąglonego,
k = 0,35 – dla przodu o kształcie opływowym,

q – współczynnik zależny od rodzaju wagonu:

q = 0,56 – dla wagonów krytych (towarowych i

osobowych),

q = 0,32 – dla wagonów otwartych załadowanych,
q = 1,62 – dla wagonów otwartych próżnych

Wzory opracowane dla kolei polskich przez Centrum Naukowo-
Techniczne Kolejnictwa (

wzory określają opory w [N] w funkcji prędkości v w

[km/h])

• dla
wagonów





2

10

5

,

2

150

10

5

,

1



































 



v

n

f

n

m

v

K

W

o

w

w

gdzie:
K – współczynnik rodzaju łożysk, który wynosi:

dla łożysk tocznych 6,5; dla łożysk ślizgowych 9,0

m

w

– masa wagonów w [t],

n

o

– liczba osi w pociągu

f – współczynnik rodzaju pociągu, który wynosi:

dla wagonów pasażerskich 10
dla wagonów towarowych 8,

n – liczba wagonów w pociągu.

• dla lokomotywy

2

10

35

150

10

5

,

1

9





























 



v

n

m

v

W

o

l

l

gdzie:
m

l

– masa lokomotywy w [t],

n

o

– liczba osi lokomotywy

• całkowite opory ruchu
pociągu

[N]

l

w

W

W

W





l

w

G

G

W

w





jednostkowe opory ruchu
[N/kN]

• dla zespołów elektrycznych i
spalinowych





2

10

7

,

2

10

150

10

5

,

1



































 



v

n

n

m

v

K

W

o

j

j

gdzie:
K – współczynnik rodzaju łożysk, jak we wzorze dla wagonów,
m

j

– masa zespołu wraz z pasażerami [t],

n

o

– liczba osi w zespole,

n – liczba wagonów w zespole

W przypadku braku dokładnych danych odnośnie wartości mas
poszczególnych pojazdów, można przyjmować następujące
wartości średnie:

4-osiowy wagon pasażerski z obciążeniem

42 t

wagon towarowy próżny 2-osiowy

10 t

wagon towarowy próżny 4-osiowy

20 t

wagon towarowy 2-osiowy całkowicie załadowany

33 t

wagon towarowy 4-osiowy całkowicie załadowany

80 t

lokomotywa 4-osiowa

80 t

lokomotywa 6-osiowa

120 t

wagon motorowy w zespole trakcyjnym

55 t

wagon doczepny w zespole trakcyjnym

40 t

(masy dla wagonów w zespole trakcyjnym podane są bez
pasażerów, zwykle przyjmuje się zapełnienie 150 osób o masie 70
kg na wagon)

Wzór profesora Jaworskiego

2

0

10

1

















v

k

w

w

[N/kN]

gdzie:

2

0



w











 



G

G

w

L

1

2

0

jazda pod prądem i
hamowanie

jazda z rozpędu

0



F

0



F

G

L

– ciężar lokomotywy,

G – ciężar całego pociągu,
k – współczynnik zależny od rodzaju pociągu:

k = 40 dla ciężkich pociągów towarowych,
k = 40 dla pociągów pasażerskich z wagonami 4-

osiowymi,

k = 30 dla długich zespołów trakcyjnych,
k = 20 dla krótkich zespołów trakcyjnych,
k = 20 dla samych lokomotyw elektrycznych,
k = 15 dla samych wagonów motorowych,
k = 10 dla pociągów towarowych próżnych z

wagonami otwartymi.

v

w

v

w

Jednostkowe opory ruchu w funkcji prędkości pociągu

Opory profilu linii

Opory te dotyczą pionowego i poziomego profilu linii. Na wzniesieniach
i na łukach pojawiają się opory dodatkowe, które dodają się do oporów
zasadniczych.

Opory na wzniesieniach i spadkach.





G

Rozkład ciężaru pociągu
stojącego na wzniesieniu

Jeżeli ciężar pociągu G wyrażony
jest w [kN], dodatkowy opór na
wzniesieniu w [N] będzie wynosił:



sin

1000 





G

W

i

Kąt nachylenia toru określa
się zwykle w tysięcznych
częściach jako stosunek
wysokości wzniesienia w [m]
do jego długości w [km] i
oznacza i [

0

/

00

].

sin α ≈ tg α

i

G

W

i





i

G

W

w

i

i





[N]

[

0

/

00

]

Przy wzniesieniach wartość oporu
dodaje się do oporów
zasadniczych, przy spadkach –
odejmuje.

Opory krzywizny

Wózek na łuku

Układ kół pojazdu i szyn na
łuku

Opory krzywizn oblicza się zwykle według różnych wzorów
empirycznych. Najbardziej rozpowszechnione są wzory Rőckla,
określające jednostkowe opory w zależności od promienia łuku R:

m

R 350



m

R 350

250 



m

R 250



55

650





R

w

k

35

530





R

w

k

30

500





R

w

k

Wzory te dają niezgodne wyniki przy wartościach granicznych
promienia łuku R. Stosować można wzór ogólny w postaci:

20

700





R

w

k

[N/kN]

Opory dodatkowe ośrodka

Opory wiatru

Wpływu wiatru na opory ruchu nie da się uwzględnić zgodnie z
rzeczywistością, ponieważ ma on zmienną siłę i kierunek działania.
Wpływu tego nie uwzględnia się wcale lub na trasach, na których
spotyka się silne wiatry, zakłada się, że prędkość pociągu
przyjmowana do obliczania zasadniczych oporów ruchu jest o 10 do
15 km/h większa od rzeczywistej.

Opory w tunelach

2

10

1

50



















v

q

L

W

t

[N]

gdzie:
L – długość tunelu w [km], dla metra długość L
przyjmuje się
jako odległość między dużymi i dobrze
przewietrzanymi
stacjami,
q – stosunek przekroju tunelu do przekroju pociągu.

Całkowite opory ruchu

Całkowite opory ruchu są sumą oporów zasadniczych, oporów
profilu linii i ewentualnie oporów dodatkowych ośrodka





k

c

c

w

i

w

G

w

G

W













W[N], w[

0

/

00

], G[kN]

Przyczepność

M

G

F

Warunkiem uzyskania siły pociągowej na
obwodzie kół lokomotywy jest sczepienie
koła z szyną. Sczepienie występuje, jeżeli
ciężar

zestawu

kołowego

wraz

z

przypadającym nań ciężarem lokomotywy,
czyli tzw. nacisk osi na szyny jest
wystarczająco duży.

Siła działająca na obwodzie koła nie może być zbyt duża, gdyż
inaczej przekroczy wytrzymałość powiązań koła z szyną, nastąpi
zerwanie przyczepności, koło zamiast toczyć się zacznie obracać się
w miejscu i nastąpi poślizg.

Największa siła pociągowa, jaką może rozwijać koło napędne,
występująca w punkcie styku koła napędnego z szyną nosi nazwę
siły przyczepności i stanowi iloczyn nacisku osi napędnej na szynę i
pewnego

współczynnika

zwanego

współczynnikiem

przyczepności.

Prawidłowe toczenie koła wymaga w punkcie styczności koła
napędnego z szyną takiej siły pociągowej, która spełnia warunek:

 

n

G

f

F





gdzie:
F – siła działająca na obwodzie koła,
f – współczynnik przyczepności,
G

n

= m g – ciężar części pojazdu przypadający na

jedno koło oraz
ciężar tego koła (ciężar napędny).

Współczynnik przyczepności można zdefiniować jako stosunek siły
pociągowej wywołującej zerwanie przyczepności między kołem a
szyną do ciężaru obciążającego koło.

Wartość współczynnika przyczepności ma bardzo duże znaczenie,
ponieważ od niej zależy niezbędny minimalny ciężar lokomotywy,
potrzebny do wywołania określonej siły pociągowej.

Wartość współczynnika przyczepności zależy od wielu czynników, w
szczególności od rodzaju szyn i ich stanu (głównie czystości), od
pogody i prędkości pociągu. Wartość współczynnika przyczepności
spada ze wzrostem prędkości. Można ją powiększyć posypując
szyny piaskiem.

Opisując zjawisko przyczepności określa się współczynnik
przyczepności
całej lokomotywy f

L

.

Analityczne ujęcie wpływu wielu różnorodnych czynników na wartość
f

L

nie jest możliwe. Do obliczeń stosuje się przybliżone wzory

empiryczne.
 
Wzór Parodi’ego

v

f

f

L

L

01

,

0

1

0





gdzie: f

L0

= 0,33 dla szyn suchych,

f

L0

= 0,27 dla szyn mokrych,

średnio przyjmuje się f

L0

= 0,3.

Wzór Kothera

v

f

L





42

9

Jest to wzór dla szyn suchych.
Dla szyn mokrych należy wartość f

L

zmniejszyć
do krotności 0,85-0,75.

Wzór stosowany
w PŁ

v

v

f

f

L

L

2

100

100

0









współczynnik f

L0

taki sam, jak we

wzorze Parodi’ego

Współczynnik przyczepności f

L

maleje ze wzrostem prędkości – rys.

Tak samo przebiega zależność siły przyczepności F

L

lokomotywy ,

ograniczającej siłę pociągową lokomotywy, w funkcji prędkości v.
We wzorze ciężar napędny będzie równy ciężarowi całej
lokomotywy, G

n

=G

L

, jeżeli wszystkie osie w lokomotywie są

napędne.

Aby nie dopuścić do poślizgu, przyjmuje się, że maksymalna siła
pociągowa, jaką lokomotywa może rozwijać wynosi 90% siły
przyczepności.

v

f

L

f

L

(F

L

)



Współczynnik przyczepności i
współczynnik tarcia
w funkcji prędkości

n

L

L

G

f

F





L

F

F



 9

,

0

Siła pociągowa lokomotywy, pochodząca z momentów obrotowych
przyłożonych do kół napędnych, musi pokonać opory ruchu samej
lokomotywy i wagonów oraz nadać lokomotywie i wagonom
odpowiednie przyspieszenie. Jednocześnie, siła ta musi być mniejsza
od siły przyczepności.

L

L

p

G

f

W

F

F

















g

m

f

w

g

m

m

a

m

m

F

L

L

w

L

w

w

L

L

































g

m

f

w

g

m

m

a

m

m

L

L

w

L

w

w

L

L



















max





































m

G

w

G

f

m

m

w

g

m

m

g

m

f

a

L

L

w

w

L

L

w

L

L

L

)

(

max

g

m

f

w

g

m

a

m

L



















L

f

w

g

a















g

w

f

a

L





max

Jeżeli pojazd lub pociąg
ma wszystkie osie
napędne

W wyniku ograniczenia siły pociągowej lokomotywy, przede wszystkim
względami przyczepności, ograniczona zostaje wielkość przyspieszenia
rozruchowego.
Możliwe do uzyskania przyspieszenie będzie większe, jeśli większy
będzie ciężar napędny. Konieczne jest zatem nadanie lokomotywom
(również

wagonom

motorowym

w

zespołach

trakcyjnych)

wystarczającego ciężaru napędnego, z czym związane jest odpowiednie
rozwiązanie konstrukcji podwozia lokomotywy.

W wyniku ograniczenia siły pociągowej lokomotywy, przede
wszystkim względami przyczepności, ograniczona zostaje
wielkość przyspieszenia rozruchowego.

Przyjmując średnią siłę pociągową lokomotywy F o 10% niższą od
maksymalnej, wynikającej z warunków przyczepności, F=0,9 F

L

,

otrzymuje się dla pociągów prowadzonych lokomotywami 4-
silnikowymi, następujące najwyższe wartości przyspieszeń, przy
prędkości 50 km/h:

dla pociągu towarowego o masie 1800 t 0,06 m/s

2

,

dla pociągu towarowego o masie 900 t

0,14 m/s

2

.

Dla zespołu trakcyjnego 3-wagonowego o masie 155 t

0,6 m/s

2

.

Względy ograniczające siłę pociągową, przede wszystkim
przyczepność, powodują również ograniczenie masy pociągu.

L

L

p

G

f

W

F







L

L

G

f

w

a

g

G





















w

a

g

G

f

G

L

L









lub

w

a

g

m

f

m

L

L









Maksymalna masa pociągu jest wprost proporcjonalna do masy
lokomotywy

i

współczynnika

przyczepności,

zależy

od

jednostkowych oporów ruchu i przyspieszenia pociągu. Zatem
maksymalna masa pociągu będzie inna dla każdego typu
lokomotywy i profilu trasy.

Siła pociągowa na obwodzie kół lokomotywy jest to siła F

h

rozwijana

„na haku” (sprzęgu), czyli siła, z jaką lokomotywa ciągnie wagony,
pomniejszona o siłę pociągową samej lokomotywy, stanowiącą sumę
oporów ruchu lokomotywy i siły nadającej lokomotywie
przyspieszenie.

g

a

G

w

G

F

F

F

F

L

L

L

L

lok

h



















Wytrzymałość sprzęgów jest ściśle ograniczona i siła na haku F

h

nie może być dowolnie duża. Tak więc i sama siła pociągowa F (na
obwodzie kół napędnych) jest, prócz przyczepności, ograniczona
wytrzymałością sprzęgów wagonowych.