ELEMENTY ASTRONOMII

GEODEZYJNEJ

Metody wyznaczenia azymutu

1. Wyznaczenie azymutu A na podstawie pomiarów

odległości zenitalnej gwiazdy Biegunowej (Polaris)

Dzieląc trójkąt paralaktyczny PZG na dwa

trójkąty, gdzie trójkąt PG’G, ze względu na krótkie
boki x i y, można przyjąć jako trójkąt płaski.
Przyjmując:

o

o

p

gdzie

,

δ

p

1

90







otrzymamy:

t

sin

p

y

,

t

cos

p

x





gdzie:

α

θ

t





Z trójkąta prostokątnego ZGG’ wynika:

Kąt A’ oraz bok y są bardzo małymi wielkościami,
stąd:









y

tg

A

ctg

x

φ

cos

o







180

Dla

małego

kąta:









x

φ

sec

t

sin

p

x

φ

sec

y

'

A









Zachodzi

następująca

zależność:

A

'

A

o



180

x

φ

z

o





90

Daną gwiazdę Biegunową G o współrzędnych α

i δ można odszukać po obliczeniu A i z metodą
przybliżoną. Znajomość przybliżonej szerokości φ jest
niezbędna.

Rozwiązanie trójkąta paralaktycznego PZG można
przeprowadzić

przy

zastosowaniu

wzoru

połówkowego:





p

s

sin

r

tg

A

ctg





2

Przyjmując oznaczenia:



 

 







p

s

sin

s

sin

z

s

sin

p

s

sin

f

s

sin

A

tg

o













1

2

180

Podstawiając do powyższego równania:





2

90

90

90

z

p

f

s

,

h

z

,

δ

p

,

φ

f

o

o

o



















r

tg

2

Otrzymujemy:

Kontrolę obliczeń stanowią następujące wzory:

Oraz wzór kontrolny:









f

s

sin

r

tg

tgq

,

z

s

sin

r

tg

t

tg









2

Wyznaczenie

azymutu

tą

metodą

można

wykorzystać obserwacje Słońca

s

sin

r

tg

q

tg

t

tg

A

ctg



2

2

2

2. Wyznaczenie azymutu A metodą jednakowych

wysokości gwiazdy

Metoda ta polega na pomiarze wysokości h lub

odległości zenitalnej wybranej gwiazdy (α, δ) na tej
samej wysokości h po obu stronach południka.

Bezwzględne wartości azymutów A i kątów

godzinnych t po stronie wschodniej E i zachodniej W są
sobie równe.

Obserwacje wykonuje się na punkcie P

o

(punkt

sieci geodezyjnej). Rejestruje się odczyt z koła
poziomego O’

E

dla gwiazdy G

E

na wysokości h po

stronie wschodniej oraz O’

W

– po stronie zachodniej.

Kierunek południowy będzie wynosił:

2

W

E

S

O

O

O





i – błąd inklinacji, z odczytu libeli nasadkowej,
c – błąd kolimacji osi celowej, z odczytów na kole
poziomym.

Uwzględniając wpływ błędów inklinacji i

kolimacji na odczyt koła poziomego, otrzymamy:

z

ec

cos

c

z

ctg

i

'

O

O

E

E







1

gdzie:

S

O

O

A





1

01

z

ec

cos

c

z

ctg

i

'

O

O

W

W







2

Po wykonaniu odczytu O

1

na kole poziomym,

przy wycelowaniu na punkt P

1

, azymut A

01

kierunku

P

0

P

1

wynosi:

Obserwacje

można

prowadzić

dla

kilku

wysokości h po stronie wschodniej i dla tych samych
wysokości po stronie zachodniej dla jednej gwiazdy
lub kilku gwiazd. Obserwacje te mogą być
przeprowadzone również dla Słońca.

Wyznaczenie długości

astronomicznych

Długość astronomiczna równa się różnicy

czasów gwiazdowych miejscowych w południku
Greenwich i w południku obserwatora oraz można ją
wyrazić różnicą kątów godzinnych danej gwiazdy w
tych południkach:

A

Gr

A

Gr

t

t

θ

θ

λ









Biorąc pod uwagę dwie miejscowości, dla

których jednoczesne kąty godzinne t

1

i t

2

tej samej

gwiazdy w tych miejscowościach różnią się o Δλ,
przyjmiemy:

2

1

2

1

1

2

θ

θ

t

t

λ

λ

λ















2

2

1

1

μ

θ

θ

,

μ

θ

θ

chr

chr









czyli:

Poprawka tego samego zegara do wypisanych

czasów

gwiazdowych

miejscowych

danych

miejscowości wyniesie:

2

1

2

1

μ

μ

θ

θ

λ











Wyznaczenie jednoczesnych poprawek tego

samego zegara do czasów gwiazdowych lub
słonecznych

miejscowych

obu

punktów

jest

jednoznaczne z wyznaczeniem różnicy długości tych
punktów

Wyznaczenie szerokości

astronomicznych

Obserwacje przeprowadza się za pomocą

teodolitu wyposażonego w precyzyjną Horrebowa,
która służy do kontroli stałości odległości zenitalnej,
oraz w mikrometr okularowy, którym mierzy się
różnicę

odległości

zenitalnej

dwu

gwiazd

kulminujących, jednej na południe, drugiej na północ
od zenitu.

Stąd znane δ

S

, δ

N

oraz odległości zenitalne

pozorne z’

S

, z’

N

. Oznaczając odpowiednio wartości

refrakcji ρ

S

, ρ

N

dla G

S

otrzymamy:

dla G

N

otrzymamy:

S

S

S

S

ρ

'

z

δ

z

δ

φ











N

N

N

N

ρ

'

z

δ

z

δ

φ











Po dodaniu obu równań i podzieleniu przez 2,
otrzymamy:













N

S

N

S

N

S

ρ

ρ

'

z

'

z

δ

δ

φ













2

1

2

1

2

1

Po

obserwacji

pierwszej

gwiazdy

i

zaobserwowaniu z’

S

obraca się instrument o 180

o

i

odnotowuje się z’

N

dla drugiej gwiazdy.

Różnica odległości zenitalnych obu gwiazd nie może
przekraczać pola widzenia gwiazdy (około 25’).
Stałość z’ zapewnia libella Horrebowa. Odczyty z
libeli stanowią o wielkości poprawki do różnic
odległości zenitalnych.

Zwykle obserwuje się szereg par gwiazd a

zwiększając

liczbę

obserwacji

uzyskuje

się

dokładniejsze wyniki.

Celem wyznaczenia φ z wysokości gwiazdy

Polarnej wyprowadza się wzór kosinusowy dla trójkąta
paralaktycznego PZG:

t

cos

φ

cos

p

sin

φ

sin

p

cos

z

cos





Po przekształceniu otrzymamy:

t

sin

p

t

cos

p

I

2

2







II

I

h

φ







gdzie:





1

2

2

2





h

tg

t

sin

p

II

W Roczniku Astronomicznym opracowane są tablice
podające wartości I w zależności od t i δ oraz
wartości II w zależności od t i h.

Wyznaczenie szerokości φ z obserwacji

momentów przejść gwiazdy przez pierwszy wertykał
przeprowadza

się

dla

sferycznego

trójkąta

paralaktycznego:









φ

tg

δ

tg

δ

tg

φ

tg

t

cos

o

o









90

90

Ponieważ:

t

sec

δ

tg

φ

tg 

α

θ

t





,

to

ostatecznie:





α

θ

sec

δ

tg

φ

tg





Wyznaczenie deklinacji,

rektascensji, położenia punktu

równonocy

Między szerokością φ, odległością zenitalną z i

deklinacją δ zachodzi związek w kulminacji górnej:





δ

φ

z







natomiast w kulminacji dolnej:





δ

φ

z

o





180

stąd:





z

φ

δ

lub

z

φ

δ

o











180

Uwaga: φ oraz z muszą być znane.

Wyznaczenie rektascensji gwiazdy poprzedza

wyznaczenie rektascensji Słońca.

Rektascensja Słońca jest odległością kątową

punktu równonocy wiosennej od Słońca.

Z prostokątnego trójkątnego sferycznego SS’

otrzymuje się:













sin

tg

tg







tg

tg







sin

stąd:

W celu wyznaczenia rektascensji gwiazdy,

obserwuje się moment przejęcia gwiazdy przez
południk miejscowy:

G

G

α

θ 

Czas gwiazdowy przejęcia Słońca przez południk
miejscowy:











Znając zaobserwowane momenty przejścia przez
południk miejscowy gwiazdy i Słońca otrzymuje się:



















G

G

Po uporządkowaniu:





















G

G

Tym sposobem wyznacza się rektascensje

gwiazd tzw. fundamentalnych. Stanowią one
podstawę systemu katalogu. Rektascensje gwiazd
fundamentalnych służą do wyznaczania rektascensji
innych gwiazd, np. związku:

n

G

G

n













