Geodezja i astronomia geodezyjna /Andrzej Stateczny/

02.03.2011r.

Wprowadzenie do trygonometrii sferycznej:

Literatura:

- Czarnecki „Geodezja współczesna w zarysie” wydawnictwo Wiedza i życie 1996

- Szpunar W. „Podstawy Geodezji wyższej” PPWK, 1983

- Barlik M. „Pomiary grawimetryczne w geodezji” OWPW 2000

- Barlik M. „Wstęp do teorii figury Ziemi” 1995

- Opalski W. Ciechowicz L. „Astronomia geodezyjna” PPWK 1986

GEOMETRIA SFERYCZNA

- Geometria sferyczna jest działem geometrii, który zajmuje się badaniem właściwości figur należących do powierzchni kuli.

- W geometrii tej role prostych odgrywają Koła Wielkie sfery.

- Płaszczyzny południków oraz przekroje sfery płaszczyznami tnącymi przechodzącymi przez środek kuli są Kołami Wielkimi.

- Na sferze przez dwa punkty nie będące końcami jej średnicy przechodzi tylko jedno Koło Wielkie, podobnie jak w planimetrii przez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.

TRYGONOMETRIA SFERYCZNA

- Związkami między bokami i kątami trójkątów sferycznych zajmuje się trygonometria sferyczna.

- Powstała wcześniej od trygonometrii płaskiej.

- Rozwijali ją Ptolemeusz, Menelaos z Aleksandrii [70-140 r.]

- Całościowy opis wzorów podał Enler

- Trójkąt sferyczny jest to część powierzchni sfery, jaką tworzą łuki trzech Kół Wielkich [KW]

- Łuki te spełniają tę samą funkcję, co odcinki w trójkącie, więc muszą się one stykać wierzchołkami.

- Odcinkiem łuku Koła Wielkiego jest sferyczna odległość dwóch punktów.

TRYGONOMETRIA PŁASKA A SFERYCZNA

Trygonometria płaska	Trygonometria sferyczna
Wzór sinusów	Wzór sinusów
Wzór cosinusów	Wzór cosinusów dla boków
	Wzór cosinusów dla kątów
Wzory tangensów	Wzory cotangensów
Wzory na pole trójkątów	Wzory na pole trójkąta
Wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami

Na ogół boki trójkąta ozn. małymi literami, zaś jego wierzchołki i kąty dużymi.

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO

1. Każdy element trójkąta sferycznego jest mniejszy od 180^O

2. Suma boków trójkąta sferycznego jest mniejsza od 360^O

3. Suma kątów A +B + C trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180^O i mniejsza od 540^O co zapisujemy

180^O <A +B +C < 540^O

4. Bok każdego trójkąta sferycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy dwóch pozostałych boków i mniejszy od ich sumy |b- c| < a < b + c

5. Jeżeli dwa boki trójkąta sferycznego są równe , to przeciwległe do nich kąty też są równe.

6. Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt a < b => A < B

7. Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok . A < B => a < b

8. Pole powierzchni trójkąta sferycznego nie może być większe od 2πR²

9. Obwód trójkąta sferycznego nie może być większy od 2πR , gdzie R- promień sfery.

PODSTAWOWE TWIERDZENIA TRGONOMETRII SFERYCZNEJ

1. Wzór sinusów

Twierdzenie: W trójkącie sferycznym iloraz sinusa boku i sinusa przeciwległego kąta jest wielokrotnością stałą:

=

2. Równanie to nosi nazwę wzoru sinusów lub twierdzenia sinusów.

3. Zakres zastosowania: gdy znamy trzy elementy trójkąta sferycznego, z których dwa są do siebie przeciwległe, możemy znaleźć wtedy element przeciwległy do trzeciego z nich np. znamy a, A i C.

Sinc= sinC x

Uwaga: Przy stosowaniu twierdzenia sinusów możemy otrzymać dwa rozwiązania. Właściwe rozwiązanie wybieramy na podstawie własności elementów trójkąta sferycznego.

PRZYKŁAD I wyk. Twierdzenia sinusów

Elementy Wartości

a 56^O 21' = 0.983493032375 rad

b 89^O11' = 1.556542802791 rad

A 44^O 47' = 0.781616615792 rad

Niech będą dane dwa boki a, b oraz kąt A przeciwległy do boku a. Wyznaczyć kąt B.

Rozwiązanie I

sinB= sinA x

sinB=

Stąd:

B_1,2= arcsin 0,846136553177= 57^o47'38,088” = 1,0086947628 rad

122^o12'21,912” = 2,13289773893 rad

Oznacza to, że w tym przypadku mamy dwie prawdziwe odpowiedzi. Wynika to stąd, że jeżeli bok b jest większy od boku a, to kąt B musi być większy od kąta A. Na temat trzeciego boku i trzeciego kąta nic nie możemy powiedzieć.

PRZYKŁĄD II

Elementy Wartości

A 124^o = 2.1642032711 rad

B 45^o = 0.7353981625 rad

a 101^o = 1.7627825425 rad

Niech będą dane dwa kąty A i B i bok przeciwległy do A. Wyznaczamy bok b.

Rozwiązanie II

sin b= 0,981627183832 x
= 0,837254256601

B_1,2= arcsin 0,837254256601= 56^o51'4,686” = 0,992242397817 rad

123^o8'55,314” = 2, 149350255770 rad

Ponieważ kąt A jest większy od kąta B to bok a musi być większy od boku b, czyli b= b1

WZORY COSINUSÓW DLA BOKÓW

Twierdzenie: W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego boku jest równy sumie iloczynu cosinusów dwóch pozostałych boków i iloczynu sinusów tych boków oraz cosinusa kąta zawartego między nimi:

Cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A

Cos b = cos a * cos b + sin a * sin c * cos B

Cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C

Nazwa: wzór cosinusów dla boków lub twierdzenie cosinusów dla boków.

Zakres zastosowania:

1. Gdy znamy trzy boki trójkąta, możemy znaleźć trzy kąty

2. Gdy znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi, możemy znaleźć trzeci bok.

PRZYKŁAD III

Elementy Wartości

a 87^o 47' = 1.532108193290 rad

b 25^o02' = 0.436914088917 rad

c 104^o45' = 1.828232389380 rad

Niech będą dane 3 boki trójkąta sferycznego - a, b, c

Wyznaczyć wartości kątów A, B, C trójkąta

Sprawdzić, czy proporcje wstępujące w twierdzeniu sinusów są prawdziwe.

Rozwiązanie III

cos A=
= 0,658266982877

cos B=

cos C=

Stąd:

A= 48^o49'55,788” = 0,852282032112 rad

B= 18^o35'20,086” = 0,324437731364 rad

C= 133^o14'14,412” = 2, 2325430209310 rad

Następnie mamy

PRZYKŁAD IV WYKORZYSTANIE TWIERDZENIA COSINUSÓW

Elementy Wartości

a 66^o25'42'' = 1.15939313196 rad

b 124^o12'36'' = 2.16787346143 rad

C 33^o26'42'' = 1.45638999267 rad

Niech będą dane dwa boki trójkąta sferycznego: a, b i kąt zawarty między nimi.

Wyznaczyć bok c.

Rozwiązanie

Cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

cos c= 0,399895834342 x (-0,562227720038) + 0,916560593565 x 0,826982461012 x 0,114156923624= -1,70954498926 rad

WZORY COSINUSÓW DLA KĄTÓW

Twierdzenie: W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego kąta jest równy różnicy iloczynu sinusów dwóch pozostałych kątów oraz cosinusa boku zawartego między nimi i iloczynu cosinusów dwóch pozostałych kątów.

Cos A = sin B sin C cos a - cos B cos C

Cos B = sin A sin C cos b - cos A cos C

Cos C = sin A sin B cos c - cos A cos B

Nazwa: wzór cosinusów dla kątów lub twierdzenie cosinusów dla kątów

Zakres zastosowania:

1. Gdy znamy trzy kąty trójkąta, możemy znaleźć trzy boki

2. Gdy znamy dwa kąty i bok zawarty między nimi, możemy znaleźć trzeci kąt.

PRZYKŁAD V

Elementy Wartości

A 78^o25' = 1.36862902021 rad

B 39^o45' = 1.56643300188 rad

C 39^o39' = 1.56468767263 rad

Niech będą dane trzy kąty A, B, C trójkąta sferycznego.

Wyznaczyć jego boki.

Rozwiązanie:

cos a=

cos a=

cos b=

cos c=

Stąd:

a= arcos 0,200825279707 = 1,36859603591 rad = 78^o24'53,197”

b = arccos 0,005706196652 = 1,56509009918 rad = 89^o40'23,006”

c = arccos 0,007130016911 = 1,56366624947 rad= 89^o35'29,316”

PRZYKŁAD VI

Elementy Wartości

A 65^o12' = 1,13795467101 rad

B 74^o33' = 1,30114295587 rad

c 76^o44'36” = 1,33942384410 rad

Niech w trójkącie sferycznym będą dane dwa kąty A, B oraz bok c zawarty między nimi. Wyznaczyć kąt C.

Rozwiązanie:

cos C= sin A * sin B * cos C - cos A * cos = sin 1,13795467101 rad x sin 1,30114295587 rad x cos 1,33942384410 rad - cos 1,13795467101 x cos 1,30114295587

cos C= 0,907777477992 x 0,963863295336 x 0,229313648672 - 0,419452083617 x 0,266397349657 = 0,088902417482

C= arcos 0,088902417482 = 84^o53'58,319”= 1,48177638205 rad

---