Wektory w przestrzeni

trójwymiarowej

Układ współrzędnych w R

3

Osie współrzędnych

Reguła prawej ręki – układ prawoskrętny

Współrzędne punktu P (a,b,c)

Iloczyn kartezjański





R

R

R

R









z

y

x

z

y

x

,

,

:

)

,

,

,

(

Współrzędne prostokątne

Odległość w R

3



 

 



2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

BP

AB

A

P

P

P

AB

A

P

B

P

BP

B

P

P

P

z

z

BP

y

y

AB

x

x

A

P



















































Przykład
Znajdź odległość pomiędzy punktami P(2,-1,7) i Q(1,-3,5) .





3

4

4

1

)

7

5

(

)

1

3

(

2

1

2

2

2























PQ

Przykład
Znajdź równanie sfery o środku w punkcie C(h,k,l) i promieniu r .





r

PQ

z

y

x

P

r

C

S





:

)

,

,

(

)

,

(

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

r

l

z

k

y

h

x













Przykład

Jak wygląda obszar dany równaniami:

Wektory

Składanie wektorów

AB





v

CD





u

BC

AB

AC











Reguła
równoległoboku

Suma wektorów

Przykład Znajdź
sumę
wektorów
a i b

Mnożenie wektora przez

liczbę

)

( v

u

v

u









Różnica wektorów

b

a 2



Przykład

Współrzędne

wektora

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

1

,

,

)

,

,

(

)

,

,

(

z

z

y

y

x

x

z

y

x

B

z

y

x

A

AB













a

a

Dodawanie wektorów

– dodawanie
współrzędnych

Mnożenie przez liczbę

Długość
wektora

2

3

2

2

2

1

a

a

a







a

3

2

1

,

,

a

a

a



a

Własności wektorów

Przykład
 
Ciężar 100 kg wisi sobie na dwóch drutach.
(rys ). Znajdź, siły T

1

, T

2

.

 

Iloczyn skalarny

Własności iloczynu

skalarnego

Twierdzenie

Niech  oznacza kąt pomiędzy wektorami a i b .



cos

b

a

b

a 



Kąt między wektorami niezerowymi

Wektory ortogonalne

Cosinusy kierunkowe

 

Przykład.

Oblicz cosinusy kierunkowe wektora a

Projekcja – rzut wektora na kierunek

Skalarna projekcja wektora b na wektor a
( składowa b wzdłuż a).

Przykład
Oblicz pracę wykonaną przez siłę
200N działającą na długości 8 m
pod kątem 25

o

 

Iloczyn wektorowy

Twierdzenie
Wektor jest ortogonalny do a
i b
 

b

a

Twierdzenie 

Niech



oznacza kąt pomiędzy wektorami a i b

.

Pole równoległoboku którego boki są
odpowiedni wektorami a b jest równe: