Badanie dynamiki wielu

zjawisk jednocześnie

Janusz Górczyński

2

Indeksy proste i agregatowe

Dotychczas

zajmowaliśmy

się

wyznaczaniem wskaźników dynamiki dla

pojedynczych zjawisk, stąd tego typu

wskaźniki

będziemy

nazywać

indywidualnymi lub prostymi.

W praktyce z reguły będziemy chcieli

badać wiele zjawisk jednocześnie (np.
zmiany cen szeregu artykułów, wielkość
produkcji kilku różnych produktów).

3

Indeksy zespołowe

Ocena łączna dynamiki zmian takich niejedno-

rodnych

zjawisk

wymaga

zbudowania

zespołowego

(agregatowego)

wskaźnika.

Poprawna konstrukcja takiego zespołowego
wskaźnika nie jest prosta, a jedna z głównych
trudności związana jest z wyrażeniem roli
(wagi) pojedynczych zjawisk .

Jednym

z

możliwych

rozwiązań

jest

zbudowanie

wskaźnika

agregatowego

jako

ważonej średniej z indywidualnych wskaźników.
Wagi muszą być tak dobrane, aby spełniony był
warunek proporcjonalności.

4

Indeksy zespołowe (cd)

Warunek proporcjonalności można
sformułować następująco:

• Jeżeli wszystkie wskaźniki indywidualne są

takie same, to wskaźnik agregatowy
również musi być taki sam.

• W sytuacji, gdy wskaźniki indywidualne są

zróżnico-wane, to wskaźnik agregatowy
musi być zawarty między najmniejszym a
największym wskaźnikiem indywidualnym.

5

Podstawowe wskaźniki

agregatowe

W dalszej części tego pokazu będziemy się

zajmować

trzema

najważniejszymi

w badaniach ekonomicznych wskaźnikami
agregatowymi:

indeksem
agregatowym cen,
indeksem agregatowym
ilości,

indeksem agregatowym
wartości

6

Założenia ogólne

Powiedzmy, że interesuje nas dynamika zmian
cen, ilości i wartości m produktów w ustalonym
momencie czasu t=1 (moment badany)
względem ustalonego czasu t=0 (moment
podstawowy). Oznaczmy odpowiednio przez:

w

j0

; w

j1

Wartość j-tego (j=1,2,...m) produktu w

okresie podstawowym i badanym

q

j0

; q

j1

Ilość j-tego (j=1,2,...m) produktu w

okresie podstawowym i badanym

p

j0

; p

j1

Cenę jednostkową j-tego

(j=1,2,...m) produktu w okresie
podstawowym i badanym

7

Podstawowe związki

Między wartością, ilością i ceną dla
poszczególnych produktów w obu badanych
momentach czasu zachodzi związek:

jt

jt

jt

p

q

w





dla t = 0; 1 oraz dla j = 1, 2, ..., m

8

Indeksy indywidualne

Dla poszczególnych produktów możemy oczywiście
wyznaczyć indeksy indywidualne opisujące zmianę
ich wartości, ilości i ceny w okresie badanym
względem okresu podstawowego.

)

...,

,

2

,

1

(

0

1

m

j

w

w

i

j

j

w

j





Indywidualny indeks
wartości

)

...,

,

2

,

1

(

0

1

m

j

q

q

i

j

j

q

j





Indywidualny
indeks ilości

)

...,

,

2

,

1

(

0

1

m

j

p

p

i

j

j

p

j





Indywidualny
indeks cen

9

Formalne warunki poprawności

Indeksy indywidualne wartości, ilości i cen muszą
spełniać pewne formalne warunki poprawności
zwane testami.
Do najważniejszych testów należą:

Test odwracalności w czasie

)

...,

,

2

,

1

;

,

,

(

1

1

0

0

1

m

j

p

q

w

k

k

k

k

k

j

j

j

j









Test odwracalności czynników

)

...,

,

2

,

1

(

0

0

1

1

0

1

m

j

i

i

p

q

p

q

w

w

i

p

j

q

j

j

j

j

j

j

j

w

j















10

Agregatowy indeks wartości

Dla określenia łącznej dynamiki zmian wartości
wszystkim produktów w momencie badanym
względem momentu podstawowego można
wyznaczyć agregatowy indeks wartości:

























m

j

j

j

m

j

j

j

m

j

j

m

j

j

w

p

q

p

q

w

w

I

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

11

Standaryzacja agregatowego indeksu

wartości

Łączne zmiany wartości wszystkim produktów w
momencie badanym względem podstawowego
mogą wynikać zarówno ze zmian ilości produktów
jak i ich ceny.

Indywidualny wpływ każdego z tych dwóch
czynników na zmiany wartości może być ustalony
poprzez

tzw.

standaryzację

agregatowego

indeksu wartości polegającą na ustaleniu w obu
badanych momentach na stałym poziomie
drugiego z tych czynników.

12

Indeksy agregatowe cen i ilości

Wybranie momentu podstawowego do ustalenia
ilości produktów lub ich ceny prowadzi nas do
agregatowego indeksu wg tzw. formuły
Laspeyresa, a wybór momentu badanego
prowadzi do indeksu wg tzw. formuły
Paaschego

Agregatowy indeks określający wpływ zmian cen

na dynamikę wartości (ustalone są ilości
produktów)

nazywamy

indeksem

agregatowym cen. Podobnie agregatowy
indeks

określający

wpływ

zmian

ilości

produktów na dynamikę wartości (ustalone są
ceny

produktów)

nazywamy

indeksem

agregatowym ilości.

13

Indeks agregatowy cen wg formuły

Laspeyresa















m

j

j

j

m

j

j

j

L

p

q

p

q

p

I

1

0

0

1

0

1

Agregatowy indeks cen wg formuły Laspeyresa
informuje nas o tym, jak zmieniałaby się łączna
wartość produktów w okresie badanym
względem podstawowego, gdyby ilości
produktów w obu badanych momentach były
takie same i równe ich ilości w momencie
podstawowym.

14

Indeks agregatowy cen wg formuły

Laspeyresa (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu
cen agregatowy indeks cen wg formuły
Laspeyresa można zapisać w trochę innej postaci:

















m

j

j

j

m

j

j

j

p

j

L

p

q

p

q

p

i

I

1

0

0

1

0

0

wykorzystano
zależność:

0

1

j

p

j

j

p

i

p





15

Indeks agregatowy cen wg formuły

Laspeyresa - interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 14 agregatowy
indeks cen wg formuły Laspeyresa jest ważoną
średnią arytmetyczną indywidualnych
indeksów cen, gdzie rolę wag spełniają wartości
poszczególnych produktów w momencie
podstawowym.

Tym samym tak zdefiniowany agregatowy
indeks cen informuje nas o przeciętnej
zmianie cen w badanym okresie.

16

Indeks agregatowy cen wg

formuły Paaschego















m

j

j

j

m

j

j

j

P

p

q

p

q

p

I

1

1

0

1

1

1

Agregatowy indeks cen zdefiniowany wg formuły
Paaschego informuje nas o tym, jak zmieniałaby
się łączna wartość produktów w okresie
badanym względem podstawowego, gdyby ilości
produktów w obu badanych momentach były
takie same i równe ich ilości w momencie
badanym.

17

Indeks agregatowy cen wg

formuły Paaschego (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu cen
agregatowy indeks cen wg formuły Paaschego
można zapisać w trochę innej postaci:















m

j

p

j

j

j

m

j

j

j

P

p

i

q

p

q

p

I

1

1

1

1

1

1

wykorzystano
zależność:

p

j

j

j

i

p

p

1

0



18

Indeks agregatowy cen wg

formuły Paaschego-interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 17
agregatowy indeks cen wg formuły
Paaschego jest ważoną średnią
harmoniczną z indywidualnych
indeksów cen, gdzie wagami są
wartości produktów w momencie
badanym.

19

Indeks agregatowy ilości wg

formuły Laspeyresa















m

j

j

j

m

j

j

j

L

q

q

p

q

p

I

1

0

0

1

1

0

Agregatowy indeks ilości
zdefiniowany wg formuły
Laspeyresa informuje nas
o tym, jak zmieniałaby się
łączna wartość produktów
w okresie badanym
względem podstawowego,
gdyby ceny produktów w
obu badanych momentach
były takie same i równe ich
cenom w momencie
podstawowym.

20

Indeks agregatowy ilości wg formuły

Laspeyresa (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu
ilości agregatowy indeks ilości wg formuły
Laspeyresa można zapisać w trochę innej postaci:

















m

j

j

j

m

j

j

j

q

j

L

q

q

p

q

p

i

I

1

0

0

1

0

0

wykorzystano
zależność

0

1

j

q

j

j

q

i

q





21

Indeks agregatowy ilości wg formuły

Laspeyresa-interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 20
agregatowy indeks ilości jest ważoną
średnią arytmetyczną
z indywidualnych indeksów ilości, gdzie
wagami są wartości produktów w
momencie podstawowym.
Tym samym indeks ten informuje nas o
przeciętnym poziomie zmian ilości
produktów w obu badanych okresach

22

Indeks agregatowy ilości wg

formuły Paaschego















m

j

j

j

m

j

j

j

P

q

q

p

q

p

I

1

0

1

1

1

1

Agregatowy indeks ilości
zdefiniowany wg formuły
Paaschego informuje nas o
tym, jak zmieniałaby się
łączna wartość produktów
w okresie badanym
względem podstawowego,
gdyby ceny produktów w
obu badanych momentach
były takie same i równe ich
cenom w momencie
badanym.

23

Indeks agregatowy ilości wg

formuły Paaschego (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu
ilości agregatowy indeks ilości wg formuły
Paaschego można zapisać w trochę innej
postaci:















m

j

q

j

j

j

m

j

j

j

P

q

i

q

p

q

p

I

1

1

1

1

1

1

wykorzystano
zależność:

q

j

j

j

i

q

q

1

0



24

Indeks agregatowy ilości wg

formuły Paaschego -

interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 23
agregatowy indeks ilości wg formuły
Paaschego jest ważoną średnią
harmoniczną z indywidualnych
indeksów ilości, gdzie wagami są
wartości produktów w momencie
badanym.

25

Uwagi co do równości indeksów

W zastosowaniach praktycznych wartości indeksów
agrega-towych cen lub ilości obliczone wg formuł
Laspeyresa czy Paaschego nie będą takie same.
Im większe będą zmiany w cenach czy ilościach
produktów, tym bardziej indeksy te będą się różnic
miedzy sobą. Można wykazać, że dla obu indeksów
zachodzą związki:

)

1

(

)

1

(

;

;

q

p

q

p

L

q

P

q

q

p

q

p

L

p

P

p

V

V

r

I

I

V

V

r

I

I





















26

Indeksy są równe w trzech

sytuacjach

Nie istnieje związek między indywidualnymi

indeksami cen i ilości r

pq

= 0.

Nie występuje zmienność indywidualnych indeksów

cen (V

q

=0), co oznacza jednakowe tempo zmian cen

dla wszystkich produktów.

Nie występuje zmienność indywidualnych

indeksów ilości (V

p

=0), co oznacza jednakowe

tempo zmian ilości wszystkich produktów.

27

Indeks „idealny” Fishera

Omówione dotychczas indeksy agregatowe cen i
ilości wg formuł Laspeyresa i Paaschego nie
spełniają warunków testu odwracalności w
czasie i odwracalności czynników.

W 1927 roku I. Fisher zaproponował formułę
indeksu, który spełnia te warunki:

P

p

L

p

F

p

I

I

I





P

q

L

q

F

q

I

I

I





Jak widzimy „idealny” indeks Fishera jest
średnią geometryczną z odpowiednich
indeksów wyliczonych wg formuł Laspeyresa
i Paaschego.

28

Związki między indeksami

Dla zdefiniowanych w tym materiale indeksów
spełniona jest następująca równość:

F

q

F

p

L

q

P

p

P

q

L

p

w

I

I

I

I

I

I

I













Powyższa relacja nosi nazwę równości
indeksowej

Wynika z niej, że kryterium odwracalności
czynników zostaje spełnione, jeżeli stosujemy
tzw. mieszanie formuł, czyli mnożymy indeks
Laspeyresa cen przez indeks Paaschego ilości
lub odwrotnie.

29

Przykład liczbowy 1

Na podstawie poniższych danych
przeprowadźmy analizę dynamiki cen, ilości i
wartości niektórych artykułów spożywanych
przez jednego mieszkańca w roku 1990
względem spożycia tych artykułów w roku 1985

Lp

Nazwa

Jedno-stki

1985

1990

1985

1990

produktu

1

Jaja świeże

szt.

14,12

1 137,00

220

190

2

Masło

kg

400 23 284,00

6,7

7,8

3

Mięso schab

kg

540 32 330,00

30

37,6

4

Ziemniaki

kg

17,11

491

143

148

Cena

Ilość

j

0

j

p

1

j

p

0

j

q

1

j

q

30

Przykład liczbowy 1 (cd)

Nazwa produkt

Jaja świeże

3 106,40

216 030,00

80,524

0,864

69,544

Masło

2 680,00

181 615,20

58,21

1,164

67,767

Mięso schab

16 200,00

1 215 608,00

59,87

1,253

75,038

Ziemniaki

2 446,73

72 668,00

28,697

1,035

29,7

24 433,13

1 685 921,20

0

0

0

j

j

j

q

p

w





1

1

1

j

j

j

q

p

w





0

1

j

j

p

j

p

p

i 

0

1

j

j

q

j

q

q

i 

0

1

j

j

w

j

w

w

i 

Analizę dynamiki zaczniemy od wyznaczenia
wartości poszczególnych produktów w obu
badanych okresach oraz wyznaczymy indeksy
indywidualne cen, ilości i wartości.

31

Przykład liczbowy 1

- wstępna interpretacja

Analiza

indeksów

indywidualnych

cen

poszczególnych produktów wskazuje, że w badanym
okresie ceny jaj świeżych wzrosły ponad 80-cio
krotnie, ceny masła ponad 58-krotnie, ceny schabu
prawie 60-cio krotnie, a ceny ziemniaków prawie 29-
cio krotnie.

Ilości produktów nie podlegały oczywiście takiej
dynamice; spożycie jaj świeżych zmalało o prawie
13%, masła wzrosło o ponad 16%, mięsa
schabowego o ponad 25%, a ziemniaków jedynie o
3,5%.

Indeksy

indywidualne

wartości

można

zinterpretować

analogicznie

jak

indeksy

indywidualne cen; widzimy, że wartości trzech
pierwszych produktów wzrosły 68-75-cio krotnie, a
wartość ziemniaków prawie 30-to krotnie.

32

Wyznaczenie indeksów agregatowych

Przed wyznaczeniem agregatowych indeksów
cen i ilości wg formuł Laspeyresa i Paaschego
wyznaczymy jeszcze pomocnicze wielkości:

Nazwa

produktu

Jaja świeże

2 682,80

250 140,00

Masło

3 120,00

156 002,80

Mięso schab

20 304,00

969 900,00

Ziemniaki

2 532,30

70 213,00

28 639,10 1 446 255,80

1

0 j

j

q

p

0

1 j

j

q

p

33

Wyznaczenie indeksów agregatowych

(cd)

Korzystając z pośrednich wyników zawartych
w

obu

ostatnich

tabelach

wyliczamy

agregatowe indeksy:

Wartośc
i

0014

,

69

13

,

433

24

20

,

921

685

1





w

I

Interpretacja: przeciętna wartość badanych

produktów spożywczych wzrosła ponad 69-
cio krotnie w 1990 roku względem roku
1985

34

Wyznaczenie indeksów agregatowych

(cd)

Cen wg Laspeyresa

59,1924

433,13

24

255,80

446

1





L

p

I

58,8678

639,10

28

921,20

685

1





P

p

I

Cen wg Paaschego

Analiza indeksów cen i ilości wskazuje, że
główną przyczyną tak dużego wzrostu wartości
był wzrost cen – odpowiednio ponad 59-cio
krotny wg formuły Laspeyresa i prawie 59-cio
krotny wg formuły Paaschego.

35

Wyznaczenie indeksów agregatowych

(cd)

Ilości wg
Laspeyresa

1,1721

433,13

24

639,10

28





L

q

I

Ilości wg
Paaschego

1,1657

255,80

446

1

921,20

685

1





P

q

I

Zmiana ilości spożytych produktów w
niewielkim stopniu przyczyniła się w badanym
okresie do wzrostu wartości produktów (rzędu
16,5% do 17,2%) .

36

Indeksy Fishera

Na zakończenie tego przykładu wyznaczmy
jeszcze indeksy Fishera cen i ilości produktów.
Otrzymamy odpowiednio:

59,0299

8678

,

58

1924

,

59







F

p

I

1,1689

1657

,

1

1721

,

1







F

q

I

37

Indeksy Fishera - interpretacja

Możemy więc powiedzieć, że w badanym okresie
zmiana cen produktów (przy ustalonej ilości)
spowodowałaby ponad 59-cio krotny wzrost
wartości spożywanych produktów. W tym samym
okresie zmiana ilości spożywanych produktów
(przy ustalonej cenie) spowodowałaby wzrost
wartości produktów o 16,89%.

38

Dziękuję za uwagę