

Funkcją pierwotną

danej funkcji f(x),

nazywamy taką funkcję F(x), której

pochodna jest równa f(x), tj. gdy:



xX : F’(x) =

f(x)

Definicja
:

Przykład 1.

Funkcja F(x) = sin x jest funkcją
pierwotną

funkcji f(x) = cos x , ponieważ:

Przykład 2.

Funkcja G(x) =  x jest funkcją

pierwotną

funkcji g(x) = ,

ponieważ:

2

x

1

F’(x) = (sin x)’ = cos x = f(x)

2

x

1

G’(x) = (

 x

)’ = =

g(x)

Twierdzenie
1:

Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną
funkcji f(x) , to:

1

o

funkcja

G(x) = F(x) + c

, cR jest

także funkcją pierwotną funkcji
f(x) ;

2

o

każda funkcja pierwotna funkcji

f(x) da się przedstawić w postaci

F(x) + c

.

Mając jakąkolwiek funkcję pierwotną F(x)
możemy z niej otrzymać każdą inną funkcję
pierwotną przez dodanie stałej.

Wniosek:

Definicja
:

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych
funkcji f(x) nazywamy

całką nieoznaczoną

funkcji f(x)

i oznaczamy symbolem:



dx

x

f

)

(

przy tym
znak



nazywamy symbolem
całki,

f(x) dx

- wyrażeniem
podcałkowym,

f(x)

- funkcją podcałkową.

Mając na uwadze definicję całki
nieoznaczonej oraz ostatnie twierdzenie o
funkcjach pierwotnych otrzymujemy
podstawowy wzór rachunku całkowego:



dx

x

f

)

(

= F(x) + c ,

w którym F(x) jest dowolną ustaloną funkcją
pierwotną funkcji f(x) , c - dowolną stałą,
zwaną tu stałą całkowania.

Podstawowe wzory (1):

Podstawowe wzory (1):



 c

dx

0







c

x

dx

1

,

1

1















n

c

n

x

dx

x

n

n

,

ln

1







c

x

dx

x







c

e

dx

e

x

x











1

,

0

,

ln

a

a

c

a

a

dx

a

x

x

Podstawowe wzory (2):

Podstawowe wzory (2):









c

x

dx

x

cos

sin









c

x

x

dx

ctg

sin

2







c

x

dx

x

sin

cos







c

x

x

dx

tg

cos

2









c

x

arc

x

dx

tg

1

2









c

x

arc

x

dx

sin

1

2

Twierdzenie
:

Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną , a k
jest stałą to funkcja

k f(x)

jest również

całkowalna, przy czym dla k0, spełniona

jest równość:





dx

x

f

k

)

(



dx

x

f

k

)

(

Twierdzenie
:

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne ,
to ich suma oraz różnica są również
całkowalne, przy czym:











dx

x

g

x

f

)

(

)

(







dx

x

g

dx

x

f

)

(

)

(

Przykład 1.

Przykład 2.







dx

x

e

x

)

3

(

2









dx

x

dx

e

x

2

3











dx

x

dx

e

x

2

3









c

x

x

e

3

3

3

c

x

e

x





3







dx

x

x 3

2









dx

x

dx

x

x

3

2











dx

x

dx

1

3

2

c

x

x



 ln

3

2



















dx

x

x

x

3

2

Przykład 1.











dx

x

x

x

15

7

7

2

2

Twierdzenie
:

0

)

(

,

)

(

ln

)

(

)

(

'









x

f

c

x

f

dx

x

f

x

f

c

x

x







15

7

ln

2

Przykład 2.





dx

x

x

cos

sin





dx

x

tg

c

x 

cos

ln

1

o

Metoda tożsamościowego

przekształcenia funkcji
podcałkowej;

2

o

Metoda całkowania przez

podstawienie;

3

o

Metoda całkowania przez

części.

Podstawowe metody

Podstawowe metody

całkowania

całkowania

Metoda tożsamościowego

Metoda tożsamościowego

przekształcenia funkcji

przekształcenia funkcji

podcałkowej

podcałkowej

Przykład:





x

x

dx

2

2

cos

sin







dx

x

x

x

x

2

2

2

2

cos

sin

cos

sin





















dx

x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

2

2

cos

sin

cos

cos

sin

sin



















dx

x

x

2

2

sin

1

cos

1











x

dx

x

dx

2

2

sin

cos

c

x

x



 ctg

tg

Metoda całkowania przez

Metoda całkowania przez

podstawienie

podstawienie

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja t = (x) jest różniczkowalna w
przedziale (, ) i odwzorowuje ten przedział na
przedział (a, b), w którym funkcja f (t) jest
całkowalna, to zachodzi wzór:







dt

t

f

dx

x

x

f

)

(

)

(

'

)]

(

[





Wniosek.

W praktyce możemy korzystać z dwóch wzorów:















dt

t

f

dt

dx

x

g

t

x

g

dx

x

g

x

g

f

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

)]

(

[













dt

t

h

t

h

f

dt

t

h

dx

t

h

x

dx

x

f

)

(

'

)]

(

[

)

(

'

)

(

)

(

Przykład 1.

Przykład 2.

dt

dx

dt

dx

t

x

2

1

2

3

2















dx

x

)

3

2

(

cos







dt

t

cos

2

1







c

t

sin

2

1

c

x



 )

3

2

(

sin

2

1







dx

x

x

)

tg

tg

(

5









dt

t

t

t

2

5

1











dt

t

dx

t

arc

x

t

x

2

1

1

tg

tg











dt

t

t

t

1

)

1

(

2

4











dt

t

t

t

t

1

)

1

)(

1

(

2

2

2







dt

t

t

)

(

3











dt

t

dt

t

3







c

t

t

2

4

2

4

c

x

x





2

tg

4

tg

2

4

Metoda całkowania przez części

Metoda całkowania przez części

Twierdzeni
e.

Jeżeli funkcje u(x), v(x) mają pochodne
będące funkcjami ciągłymi w pewnym
przedziale X, to na tym przedziale
prawdziwy jest wzór:









dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

nazwany wzorem

całkowania przez

części

.

Przykład 1.











x

e

x

v

x

u

x

e

x

v

x

x

u

)

(

1

)

(

'

)

(

'

)

(





dx

e

x

x











dx

e

e

x

x

x

1

c

e

e

x

x

x





Przykład 2.





dx

x

ln







dx

x

ln

1











x

x

v

x

x

u

x

v

x

x

u

)

(

1

)

(

'

1

)

(

'

ln

)

(











dx

x

x

x

x

1

ln

c

x

x

x





ln

•





•



