Dwuczynnikowa analiza

wariancji

Badamy pewną cechę (np. przyrosty masy ciała)
po zastosowaniu dwóch czynników
doświadczalnych (np. poziomu żywienia i płci).
Mamy a poziomów czynnika doświadczalnego A
(a różnych dawek żywieniowych)
i b poziomów czynnika doświadczalnego B (b
płci) i wybieramy do doświadczenia ab grup

(ab grup zwierząt)
W każdej grupie jest po r elementów (r
zwierząt) na których wykonujemy
doświadczenie

Dwuczynnikowa analiza

wariancji

Dwuczynnikowa analiza wariancji jest

metodą statystyczną służącą do weryfikacji
(przy użyciu testu F) następujących
hipotez:

1.

wartości średnie dla różnych poziomów

czynnika A są równe

2.

wartości średnie dla różnych poziomów

czynnika B są równe

3. wartości średnie dla różnych poziomów

czynnika A nie zależą od poziomu czynnika
B i odwrotnie (nie zachodzi interakcja)

Model liniowy

dwuczynnikowej analizy

wariancji

ijk

ij

j

i

ijk

ε

)

αβ

(

β

α

μ

x











x

ijk

- k-ta obserwacja

μ - średnia populacji
α

i

– efekt czynnika

doświadczalnego A
β

j

– efekt czynnika

doświadczalnego B
(α β)

ij

– efekt interakcji między

A i B
ε

ijk

– błąd losowy

Efekty proste

Efekty proste dla czynnika A
(

a

2

-a

1

): a

2

b

1

- a

1

b

1

oraz a

2

b

2

–

a

1

b

2

Efekty proste dla czynnika B
(

b

2

-b

1

): a

1

b

2

– a

1

b

1

oraz a

2

b

2

– a

2

b

1



 









 









 









 







1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

B

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

A

































Efekty główne



 









 







1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

2

2

b

a

b

a

b

a

b

a

2

1

b

a

b

a

b

a

b

a

2

1

AB

















Interakcja

Interakcja między A i B (AB):

Określa w jakim stopniu wpływ
jednego czynnika zależy od poziomów
drugiego czynnika
Jeżeli wpływ ten nie zmienia się, to nie
wystepuje interakcja; w przeciwnym
wypadku (tzn. gdy wpływ jednego
czynnika zależy od poziomu drugiego)
zachodzi interakcja między czynnikami

Interakcja

Interakcja między A i B (AB):

Jeśli efekty proste czynnika różnią się
znacznie
(o więcej niż można uznać za różnice
przypadkowe) to mówimy, że między
czynnikami występuje interakcja

Interakcja

Przykładowo:

badamy

działanie

kilku leków na wylosowanej próbie
pacjentów obu płci
Jeden z badanych leków daje lepsze
wyniki niż pozostałe leki, zarówno u
kobiet, jak i u mężczyzn (czyli
niezależnie od płci) - oznacza to, że
interakcji nie ma.
Jeżeli jednak jeden lek daje lepsze
wyniki u kobiet, a inny lek - u
mężczyzn, to mówimy o wystąpieniu
interakcji między tymi dwoma
czynnikami (rodzajem leku i płcią).

Efekty proste i główne

Czynni
k

A = hormon

Pozio

m

a

1

a

2

Średn

ia

a

2

– a

1

b

1

30

32

31

2

B =

płeć

b

2

36

38

37

2

Średni

a

33

35

34

2

b

2

–

b

1

6

6

6

Efek

ty

pros

te

Efek

ty

pros

te

Efekty proste i główny dla

A

Efekt główny = 2

2

2

Efekty proste i główny dla

B

6

6

Efekt główny = 6

Efekty proste i główne

Czynni

k

A = hormon

Pozio

m

a

1

a

2

Średni

a

a

2

– a

1

b

1

30

32

31

2

B =

płeć

b

2

36

44

40

8

Średn

ia

33

38

35.5

5

b

2

– b

1

6

12

9

Efek

ty

pros

te

Efek

ty

pros

te

Efekty proste i główny dla

A

2

8

Efekt główny = 5

Efekty proste i główny dla

B

6

12

Efekt główny = 9

Efekty proste i główne

Czynni

k

A = hormon

Pozio

m

a

1

a

2

Średni

a

a

2

– a

1

b

1

30

32

31

2

B =

płeć

b

2

36

26

31

-10

Średni

a

33

29

31

-4

b

2

– b

1

6

-6

0

Efek

ty

pros

te

Efek

ty

pros

te

Efekty proste i główny dla

A

2

-10

Efekt główny = -4

Efekty proste i główny dla

B

6

-6

Efekt główny = 0

Tabela analizy wariancji

ijk

ij

j

i

ijk

ε

)

αβ

(

β

α

μ

x











Źródło
zmien.

df

stopnie

swobody

SS

suma kwadratów

MS

średni kwadrat

(wariancja)

Ogóln

a

N-1

–

czynni

k A

a-1

czynni

k B

b-1

interakc

ja AB

(a-1)(b-

1)

Błąd

ab(r-1)

C

x

SS

ijk

T







2

C

br

x

SS

j

A







2

.

.

C

ar

x

SS

i

B







2

..

B

A

ij

AB

SS

SS

C

r

x

SS













.

2

AB

B

A

T

E

SS

SS

SS

SS

SS









1





a

SS

MS

A

A

1





b

SS

MS

B

B







1

1 





b

a

SS

MS

AB

AB





1





r

ab

SS

MS

E

E

Dwuczynnikowa analiza

wariancji

Oznaczenia:
C (Correction) – poprawka
a – liczba poziomów czynnika A
b – liczba poziomów czynnika B
r – liczba obserwacji dla jednego poziomu czynnika

A i jednego poziomu czynnika B

N=a·b·r (liczba obserwacji w doświadczeniu)
(N – 1) – [(a – 1)+(b – 1)+(a – 1)(b – 1)] =
(abr – 1) – [(a – 1)(

1

+b –

1

)+(b – 1)] =

abr–1– [(a – 1)b+b – 1] = abr – 1 – [(ab –

b

+

b

– 1]

=abr –1 – [ab –1] =abr–1 –ab+1=abr – ab=ab(r –1)

abr

x

C

2

j

,

i

ijk

















Dwuczynnikowa analiza

wariancji

Weryfikacja hipotezy o braku interakcji:

Jeśli F

0

> F

α

to interakcja między A i

B występuje
WÓWCZAS NIE BADA SIĘ ISTOTNOŚCI
WPŁYWU ŻADNEGO Z CZYNNIKÓW !!!
Jeśli F

0

< F

α

to brak interakcji między A

i B

E

AB

o

MS

MS

F 

Dwuczynnikowa analiza

wariancji

Weryfikacja hipotezy o braku
wpływu czynnika A:

Jeśli F

0

> F

α

to czynnik A ma

istotny wpływ na badaną cechę
Jeśli F

0

< F

α

to brak istotnego

wpływu czynnika A

E

A

o

MS

MS

F 

Dwuczynnikowa analiza

wariancji

Weryfikacja hipotezy o braku
wpływu czynnika B:

Jeśli F

0

> F

α

to czynnik B ma

istotny wpływ na badaną cechę
Jeśli F

0

< F

α

to brak istotnego

wpływu czynnika B

E

B

o

MS

MS

F 

Przykład

Badano wpływ sposobu żywienia (A) i
płci (B) na ciężar mostka cieląt

Sposób żywienia

(A)

Płeć

(B)

I (a

1

)

II (a

2

)

suma

samce

(b

1

)

2, 4, 1

7

2, 3, 5

10

17

samice

(b

2

)

4, 4, 3

11

6, 6, 8

20

31

Suma

18

30

48

Przykład

Sposób żywienia

(A)

Płeć

(B)

I (a

1

)

II (a

2

)

sum

a

samce

(b

1

)

2, 4, 1

7

2, 3, 5

10

17

samice

(b

2

)

4, 4, 3

11

6, 6, 8

20

31

Suma

18

30

48





192

12

2304

3

2

2

48

N

x

C

236

8

6

6

...

1

4

2

x

2

2

ijk

2

2

2

2

2

2

2

ijk

































192

C

236

x

2

ijk







I (a

1

)

II

(a

2

)

sum

a

samce

(b

1

)

7

10

17

samice

(b

2

)

11

20

31

Suma

18

30

48

44

192

236

C

x

SS

2

ijk

T













3

33

,

28

33

,

31

)

33

,

16

12

(

192

33

,

223

)

SS

SS

(

C

3

20

10

11

7

)

SS

SS

(

C

r

.

x

SS

33

,

16

192

33

,

208

C

3

2

31

17

C

r

a

..

x

SS

12

192

204

C

3

2

30

18

C

r

b

.

.

x

SS

B

A

2

2

2

2

B

A

2

ij

AB

2

2

2

i

B

2

2

2

j

A





















































































SS

E

=44 - (12+16,33+3)=44-31,33=12,67

F

A

=MS

A

/MS

E

F

B

=MS

B

/MS

E

F

AB

=MS

AB

/MS

E

Źródło

zmiennoś
ci

df

SS

MS

F-test

Ogólna

11

44

–

czynnik A

(żywienie

)

1

12

MS

A

=12/1=

12 

F

A

= 8,53

czynnik B

(płeć)

1

16,33

MS

B

=16,33/

1= 16,33

F

B

=11,6

1

interakcj

a AB

1

3

 

MS

AB

=3/1

=3

F

AB

=

2,13

Błąd

8

12,67

MS

E

=12,67/

8= 1,407  

Weryfikacja hipotez

Istotność interakcji
F

AB

= 2,13 < F

0,05

= 5,32

Interakcja między żywieniem a płcią jest

nieistotna

Badamy istotność wpływu czynników

głównych

Czynnik A (żywienie):
F

A

= 8,53 > F

0,05

= 5,32 i F

A

< F

0,01

=11,26

Żywienie ma istotny wpływ na badaną cechę
Czynnik B (płeć):
F

B

=11,61 > F

0,01

=11,26

Płeć ma wysoce istotny wpływ na badaną cechę

Efekty proste i główne

Czynni

k

A = żywienie

Pozio

m

a

1

a

2

Średni

a

a

2

– a

1

b

1

2,33

3,33

2,83

1

B =

płeć

b

2

3,67

6,67

5,17

3

Średn

ia

3

5

4

2

b

2

– b

1

1,34

3,34

2,34

Efekt

y

prost

e

Efek

ty

pros

te

a

1

a

2

sum

a

b

1

7

10

17

b

2

11

20

31

Suma

18

30

48