„Największym

nierozwiązanym problemem

w matematyce jest to,

dlaczego niektórzy ludzie

rozumieją ją lepiej od

innych.”

Adrian Mathesis

PODZIAŁ ODCINKA NA

RÓWNE CZĘŚCI.

Konstrukcyjne podzielenie odcinka na dwie
równe części jest bardzo proste, tak samo jak
podzielenie go na cztery, osiem, szesnaście
czy wreszcie 2

n

równych części. Problem

pojawia się w momencie, gdy musimy
podzielić odcinek na trzy czy siedem równych
części. W takich przypadkach z pomocą
przychodzi twierdzenie Talesa, dzięki niemu
możemy podzielić odcinek na dowolną ilość
równych części.

PODZIAŁ ODCINKA.

Jak przeprowadzić podział odcinka na równe
części za pomocą cyrkla i linijki pokażemy na
przykładzie podziału odcinka AB na trzy
równe części.

A

B

PODZIAŁ ODCINKA.

1. Rysujemy dowolną półprostą o początku w
punkcie A nachyloną do odcinka AB (pod
kątem różnym od 180°)

PODZIAŁ ODCINKA.

2. Wbijamy nóżkę cyrkla w punkcie A i
zaznaczamy na prostej k odcinek dowolnej
długości – otrzymujemy punkt M (oczywiście
dobieramy długość odcinka rozsądnie – nie
za długi, nie za krótki).

PODZIAŁ ODCINKA.

3. Nie zmieniając rozwartości cyrkla wbijamy
nóżkę w punkcie M i odkładamy kolejny
odcinek – otrzymujemy punkt N. Całość
powtarzamy tyle razy, na ile części musimy
podzielić odcinek(my dzielimy na 3 części).

PODZIAŁ ODCINKA.

4. Rysujemy prostą przechodzącą przez
ostatni narysowany punkt i koniec odcinka, w
tym przypadku przez punkty L i B.

PODZIAŁ ODCINKA.

5.

Kreślimy

proste

równoległe

do

narysowanej prostej tak aby przechodziły
przez pozostałe punkty – u nas N i M. Dzielą
one odcinek AB na trzy równe części.

PODZIAŁ ODCINKA.

Oto

animacja

przedstawiająca

podział

odcinka na 5 równych części:

PROSTE RÓWNOLEGŁE.

Jak podczas podanej konstrukcji narysować
proste równoległe? Najlepiej użyć do tego
ekierki i linijki. Pierwszą prostą rysujemy „od
ekierki” ustawiając ją w następujący sposób:

PROSTE RÓWNOLEGŁE.

Przytrzymując linijkę przesuwamy ekierkę
tak, aby można było narysować linię
przechodzącą przez kolejny punkt:

PROSTE RÓWNOLEGŁE.

Kontynuujemy

przesuwanie

aż

do

narysowania wszystkich prostych.

PODZIAŁ ODCINKA W

DANYM STOSUNKU.

Często istnieje potrzeba podzielenia odcinka w

danym stosunku, np. 1 : 2; 2: 3 itp. Co to oznacza?

Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 2 : 3,

jeśli |AC|:|CB| = 2 : 3

Aby podzielić odcinek w stosunku 2 : 3, trzeba

go najpierw podzielić na 5 równych części.

Aby podzielić odcinek w stosunku a : b,

należy go najpierw podzielić na a + b

równych części.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Odcinek AB o długości 6,3 cm podzielono w
stosunku
3 : 4. Jaką długość ma dłuższy z otrzymanych
odcinków?

Odcinek podzielony jest w stosunku 3 : 4, a
więc można w nim wyróżnić 3 + 4 = 7
równych części. Z tego wynika,
że dłuższa część odcinka stanowi długości
całego

odcinka. Obliczamy więc długość tej części:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Punkt O dzieli odcinek NM w stosunku 2 : 5.
Dłuższy z otrzymanych odcinków – odcinek
OM,

ma

długość

20 cm. O ile krótszy od odcinka OM jest
odcinek ON?
Mamy długość jednego z odcinków, możemy
więc ułożyć prostą proporcję:

20 cm – 8 cm = 12 cm
Odcinek ON jest o 12 cm krótszy od odcinka
OM.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Narysuj

dowolny

trójkąt

i

prostymi

przechodzącymi przez jeden z wierzchołków
podziel go na 3 części o równych polach.

Trójkąty mają równe pola, gdy mają wspólną
wysokość i jednakowe podstawy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Aby rozwiązać to zadania wystarczy podzielić
podstawę trójkąta na 3 równe części, wtedy
każda część będzie miała tę samą wysokość i
podstawę.
Rysujemy dowolny trójkąt:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Dzielimy jego podstawę na 3 równe części:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Łączymy punkty podziału z wierzchołkiem.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Każdy z trzech otrzymanych trójkątów ma
takie

samo

pole.

Dla

niedowiarków

zamieszczamy rysunek na którym pole
zostało wyliczone przez specjalny program
komputerowy: