Wprowadzenie do

inwestycji

Inwestycja

Inwestycja – zaangażowanie określonej

kwoty kapitału na pewien okres
czasu

w

celu

osiągnięcia

w

przyszłości przychodu w wysokości,
która zrekompensuje inwestorowi:

• czas zamrożenia kapitału,
• oczekiwaną stopę inflacji,
• niepewność wielkości przyszłego

strumienia przychodu.

Dochód w okresie inwestycji

(Holding Period Return - HPR)

HPR - efektywny łączny dochód na

koniec okresu inwestycji, obliczony
przy

założeniu,

że

strumienie

pieniężne otrzymywane w trakcie
okresu są reinwestowane po stopie
procentowej wolnej od ryzyka.

inwestycji

wartosc

Poczatkowa

inwestycji

wartosc

Koncowa

HPR

n

HPR

HPR

Annual

1



Stopa dochodu w okresie inwestycji

(Holding Period Yield – HPY)

HPY (Holding Period Yield) = HPR – 1

Zadanie 1

Wartość początkowa inwestycji wynosi

250 USD, a wartość końcowa
inwestycji 350 USD. Czas trwania
inwestycji wynosi 2 lata. Oblicz HPR
oraz HPR i HPY w skali rocznej.

Zadanie 2

Wartość początkowa inwestycji wynosi

1000 USD, a wartość końcowa
inwestycji 750 USD. Czas trwania
inwestycji wynosi 2 lata. Oblicz HPR
oraz HPR i HPY w skali rocznej.

Zadanie 3

Wartość początkowa inwestycji wynosi

100 USD, a wartość końcowa
inwestycji 112 USD. Czas trwania
inwestycji wynosi 6 miesięcy. Oblicz
HPR oraz HPR i HPY w skali rocznej.

Stopa zwrotu z inwestycji w

instrument finansowy

(

)

1

,

1

1

1

j

j

j

J

t t

t

t

t

t t

j

t

t

P P

D

R

R

P

-

*

-

=

-

-

+

� +

=

�

gdzie:

R

t

– HPR

P

t

– cena instrumentu w chwili t

t

j

– data płatności strumienia pieniężnego

D

tj

– wartość strumienia pieniężnego płatnego w t

j

R

*

tj

,t

– stopa wolna od ryzyka dla okresu od t

j

do t

J – liczba płatności w okresie trwania inwestycji

Geometryczna średnia stopa zwrotu

(

) (

)

(

)

1

2

1

1

... 1

1

t

A

t

t

tJ

R

R

R

R

=

+

� +

� � +

-





1

1





n

HPR

GM



Geometryczna średnia stopa zwrotu (geomethric average return, time-

weighted return)

– stopa zwrotu z inwestycji, przy założeniu że strumienie pieniężne są

reinwestowane w to samo aktywo.

lub inaczej:

Arytmetyczna średnia stopa

zwrotu

Arytmetyczna średnia stopa zwrotu (arithmetic average return)

– stopa zwrotu z inwestycji przy założeniu, że w momencie otrzymania strumienia

pieniężnego następuje taka weryfikacja wielkości inwestycji (sprzedaż lub

dokupienie aktywów) aby wartość inwestycji pozostała na poziomie inwestycji

początkowej.

1

2

...

t

t

tJ

A

R

R

R

r

t

+

+ +

=

lub inaczej

:

n

HPY

AM

/





Zadanie 4

Oblicz arytmetyczną i geometryczną

stopę zwrotu dla inwestycji opisanej
w poniższej tabeli

Rok

Wartość

początkowa

Wartość

końcowa

HPR

HPY

1

100,0

115,0

1,15

0,15

2

115,0

138,0

1,20

0,20

3

138,0

110,4

0,8

-0,20

Zadanie 5

Arytmetyczna średnia stopa zwrotu

często

przeszacowuje

efekty

inwestycji, w skrajnych przypadkach
generując wyniki całkowicie mylące

Rok

Wartość

początkow

a

Wartość

końcowa

HPR

HPY

1

50

100

2,00

1,00

2

100

50

0,50

-0,50

Stopa dochodu z portfela

HPY portfela równa się średniej ważonej HPY

składowych portfela, gdzie wagami są udziały

wartości poszczególnych aktywów w początkowej

wartości portfela.

Zadanie 6

Oblicz

HPR

i

HPY

portfela

inwestycyjnego opisanego w tabeli
poniżej

Inwesty
cja

Liczba
akcji

Cena
początk
owa
(USD)

Wartość
początk
owa
(USD)

Cena
końcow
a (USD)

Wartość
końcow
a

HPR

HPY

Waga

HPY
ważone

1

100.000

10

1.000.00

0

12

1.200.00

0

1,20

20%

0,05

0,01

2

200.000

20

4.000.00

0

21

4.200.00

0

1,05

5%

0,20

0,01

3

500.000

30

15.000.0

00

33

16.500.0

00

1,10

10%

0,75

0,075

Razem

20.000.0

00

21.900.0

00

0,095

Oczekiwana stopa zwrotu

Oczekiwana stopa zwrotu, która w tym przypadku pełni rolę średniej

ważonej możliwych do osiągnięcia stóp zwrotu (wagami są

prawdopodobieństwa zrealizowania tych stóp), może być liczona jako

syntetyczna miara dochodu wyznaczona na podstawie rozkładu stopy

zwrotu:









m

i

i

i

r

p

R

E

1

)

(

gdzie:

r – oczekiwana stopa zwrotu,
p

i

– prawdopodobieństwo uzyskania i-tej możliwej wartości stopy

zwrotu,

r

i

– i-ta prawdopodobna do uzyskania wartość stopy zwrotu,

m – ilość możliwych do uzyskania wartości stopy zwrotu.

Zadanie 7

Oblicz oczekiwaną stopę zwrotu z inwestycji jeśli

rozkład prawdopodobieństwa kształtowania się
stopy zwrotu jest opisany jak w tabeli poniżej:

Scenariusz

makroekonomiczn

y

Prawdopodobieńst

wo

Stopa zwrotu

Ożywienie

gospodarcze, brak

inflacji

0,15

0,20

Recesja, wysoka

inflacja

0,15

-0,20

Stabilne warunki

makroekonomiczne

0,70

0,10

Oczekiwana stopa zwrotu z

próby

W sytuacji gdy niemożliwe jest uzyskanie informacji o rozkładzie

stopy zwrotu w celu jej oszacowania, można posłużyć się danymi

historycznymi (stopami zwrotu, które zostały zrealizowane w

przeszłości). W ten sposób dokonuje się pomiaru oczekiwanej

stopy zwrotu będącej średnią arytmetyczną stóp zwrotu:









n

t

t

r

n

r

E

1

1

)

(

gdzie:

r

t

– stopa zwrotu instrumentu finansowego (aktywu)

zrealizowanego w okresie t,

n – liczba okresów z których pochodzą dane.

Ryzyko

Ryzyko to w procesie inwestycyjnym zagrożenie

dla osiągnięcia przez inwestora oczekiwanej stopy

zwrotu.

Precyzyjniej

ryzyko

to

mierzalne

prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia o

cechach innych niż zdarzenie oczekiwane i

wpływającego w sposób bezpośredni lub pośredni

na odchylenie wartości docelowej od poziomu

zakładanego.

Miary ryzyka

inwestycyjnego

Najpowszechniej

stosowane

miary

ryzyka to miary opierające się na
koncepcji ryzyka, mówiącej, że wraz
ze wzrostem zmian stóp bądź cen
dochodu instrumentów finansowych
rośnie ryzyko inwestycyjne związane
z tym instrumentem.

Miary zmienności są rozumiane jako

zmienność rozkładu stopy zwrotu.

Wariancja stopy zwrotu

Wariancja – definiuje rozproszenie wokół średniej.

Jest to średnia ważona kwadratów odchyleń

pojedynczych wartości stóp zwrotu od poziomu

oczekiwanej stopy zwrotu, gdzie wagami są

prawdopodobieństwa wystąpienia danej stopy

zwrotu. Jednostka miary wariancji jest kwadratem

jednostki miary badanej cechy np. %.

Wariancja

 





2

1

var









n

i

i

i

R

E

r

p

gdz

ie:

i

r

– wartość zmiennej o i-tym wariancie badanej cechy,

E(R)– oczekiwana stopa zwrotu,

p

i

– prawdopodobieństwo uzyskania i-tej możliwej wartości stopy

zwrotu.

Wariancja z próby









2

1

1

2

1

var

















n

i

i

n

i

i

r

r

n

n

r

r

i

r

r

gdz

ie:

– wartość zmiennej o i-tym wariancie badanej

cechy,

– średnia arytmetyczna,

n – ilość (liczba) badanych

jednostek.

Odchylenie standardowe stopy

zwrotu

Odchylenie standardowe stopy zwrotu – podobnie jak

wariancja

określa

stopień

dyspersji

(rozproszenia)

poszczególnych wartości badanej cechy od jej średniej

arytmetycznej. Jeżeli wartość odchylenia standardowego

zmniejsza się to odpowiednio maleje także dyspersja

badanej cechy i maleje ryzyko związane z danym

instrumentem. Odchylenie standardowe jest obliczane jako

pierwiastek kwadratowy z wariancji i podawane jest w takich

samych jednostkach jak badana cecha. Przyjmuje wartości

dodatnie (nieujemne).

Odchylenie standardowe

 















n

t

t

i

st

R

E

r

p

1

2

var



Odchylenie standardowe z

próby

(

)

2

1

1

n

st

t

t

r r

n

s

=

=

-

�

Zadanie 8

Oblicz

odchylenie

standardowe

i

wariancję stopy zwrotu dla inwestycji
opisanej w Zadaniu 7

Odchylenie przeciętne

Odchylenie przeciętne – jest definiowane jako średnia

arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości stopy zwrotu

od średniej arytmetycznej stopy zwrotu. Odchylenie przeciętne

przedstawia o ile od średniej arytmetycznej różnią się jednostki

danej zbiorowości. Między odchyleniem przeciętnym a

standardowym dotyczących tego samego szeregu istnieje

zależność:

st

s





.

Odchylenie przeciętne

( )

1

n

i

i

i

s

p r E r

=

=

� -

�

Odchylenie przeciętne z

próby

















n

i

i

n

i

i

r

r

n

n

r

r

s

1

1

1

Zadanie 9

Oblicz odchylenie przeciętne stopy

zwrotu dla inwestycji opisanej w
Zadaniu 7.

Względne miary ryzyka

Względne miary ryzyka – należy stosować gdy miary bezwzględne

mogą dawać mylące wyniki – na przykład gdy warunki inwestycyjne

są zasadniczo odmienne czyli oczekiwane stopy zwrotu z

porównywanych inwestycji różnią się znacząco.

Standardowy współczynnik

zmienności

Standardowy współczynnik zmienności przedstawia stosunek

odchylenia standardowego do oczekiwanej stopy zwrotu

pomnożony przez 100%.

( )

100%

st

CV

E R

s

=

�

Przeciętny współczynnik zmienności

Przeciętny

współczynnik

zmienności

określa

stosunek

odchylenia przeciętnego do oczekiwanej stopy zwrotu

pomnożony przez 100%.

( )

100%

s

CV

E R

=

�

Zadanie 10

Oceń

ryzyko

inwestycji

A

i

B

przedstawionych poniżej wykorzystując
standardowy współczynnik zmienności.

Inwestycja A

Inwestycja B

Oczekiwana stopa

zwrotu

0,07

0,12

Odchylenie

standardowe

0,05

0,07

Zysk względny

Współczynnik zmienności zawodzi w przypadku

inwestycji o ujemnych stopach zwrotu. Wówczas
można posłużyć się jego odwrotnością określaną
jako współczynnik zysku względnego.

( )

100%

st

E R

W

s

=

�

Zadanie 11

Oceń

ryzyko

inwestycji

A

i

B

przedstawionych poniżej wykorzystując
standardowy współczynnik zmienności.

Inwestycja A

Inwestycja B

Oczekiwana stopa

zwrotu

0,07

-0,05

Odchylenie

standardowe

0,05

0,07