AUTOMATYKA, Liniowe modele obiektów i sposoby ich opisów1, POLITECHNIKA OPOLSKA Laboratorium Identyfikacji proces�w technologicznych

Laboratorium Identyfikacji proces�w technologicznych

NAZWISKO IMI :

III A i R

Temat : Liniowe modele obiekt�w i

sposoby ich opis�w

wiczenie numer :

Data wykonania:

Uwagi :

Ocena :

Data oddania :

1.Cel wiczenia

.wiczenie polega na zapoznaniu si z liniowymi modelami obiekt�w i sposobie ich opisu

2. Wstp

Uywane opisy liniowych modeli :

R�wnanie r�niczkowe

G(s) transmitancja operatorowa

Transmitancja widmowa i charakterystyki czstotliwociowe

Charakterystyka impulsowa i skokowa

Opis w przestrzeni stanu A,B,C,D

Ad.1

Zwizek midzy wielkoci wyjciow y(t) i wielkoci wejciow x(t) ukadu liniowego cigego ,o staych skupionych parametrach, o jednym wyjciu i wejciu wyraa si r�wnaniem r�niczkowym :

a_n n " m (1)

x(t) -wielko wejciowa

x(t) y(t) y(t) -wielko wyjciowa

n = deg a , m =deg b

Rys.1 Ukad dynamiczny o jednym wyjciu i wejciu

Rozwizanie powyszego r�wnania r�niczkowego cakowicie okrela wasnoci dynamiczne (zachowanie si w czasie) badanego ukadu.

Ad.2

Stosunek transformaty Laplace'a wielkoci wyjciowej Y(s) ukadu do trnsformaty Laplace'a wielkoci wejciowej X(s) ukadu, przy zerowych warunkach pocztkowych , nazywamy transmitancj operatorow ukadu G(s) :

G(s) = 0x01 graphic
(2)

Transmitancja operatorowa ukadu liniowego o staych parametrach skupionych jest funkcj wymiern zmiennej s . Ma ona posta ilorazu dw�ch wielomian�w stopnia m oraz n .

Ad.3

Transmitancja widmowa jest r�wna stosunkowi zespolonej odpowiedzi ukadu, wywoanej wymuszeniem harmonicznym, do wartoci zespolonej tego wymuszenia, w stanie ustalonym .G(j) stanowi wyraenie analogiczne do zalenoci (2) dla transmitancji operatorowej, r�nice si jedynie zamian zmiennej s na j co mona zapisa :

G(j) = G(s) 0x01 graphic

s = j (3)

Zaleno moduu transmitancji widmowej od pulsacji nazywa si amplitudow charakterystyk czstotliwociow elementu lub ukadu. Argument transmitancji widmowej jest r�wny przesuniciu fazowemu midzy odpowiedzi i wymuszeniem harmonicznym.

Arg G(j) = () (4)

Zaleno argumentu transmitancji widmowej od pulsacji nazywa si fazow charakterystyk czstotliwociow elementu lub ukadu. Podobnie definiuje si charakterystyki czstotliwociowe -rzeczywist i urojon - otrzymane w wyniku przedstawienia transmitancji widmowej w postaci algebraicznej :

G(j) = P() +jQ() (5)

przy czym : P() = Re [G(j)]

Q() = Im [G(j)] (6)

Ad.4

Wasnoci ukad�w liniowych mona opisa nie tylko za pomoc r�wna lub transmitancji, lecz r�wnie za pomoc charakterystyk czasowych, a wic przebieg�w w czasie odpowiedzi ukadu na pewne typowe wymuszenie.Za wymuszenie takie przyjto skok jednostkowy 1(t) i jego pochodn wzgldem czasu, zwan impulsem Diraca (t). Jeeli wymuszenie x(t) , dziaajce na wejciu ukadu , ma posta skoku jednostkowego x(t) = 1(t) , to odpowied y(t) nazywamy charakterystyk skokow ukadu i oznaczamy h(t). Jeeli sygna wejciowy ukadu stanowi impuls Diraca ( x(t)=(t) ), to przebieg y(t) nazywamy charakterystyk impulsow i oznaczamy przez g(t).

Ad.5

X(t) = Ax(t) + Bu(t) - r�wnanie stanu (7)

y(t) = Cx(t) + Du(t) - r�wnanie wyjcia (8)

gdzie : A - macierz stanu

B - macierz wejciowa

C - r�wnanie stanu

D - r�wnanie wyjcia

x(t) - wektor stanu

y(t) - wektor wejciowy

u(t) - wektor wyjciowy

Model dyskretny w przestrzeni stanu (liniowy)

x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) - r�wnanie stanu (9)

y(k) = Cx(k) + Du(k) - r�wnanie wyjcia (10)

3. Przebieg wiczenia

Rys. 2 Schemat blokowy obiektu

Obiekt nieliniowy

SS DTF

SR TR TF DSS DTR DSR

Rys. 3 Kombinacje przej sygna�w dyskretnych i cigych

SR- odpowied skokowa

TR- odpowied impulsowa

TF- transformata funkcji

DTR- dyskretna odpowied impulsowa

DSR- dyskretna odpowied skokowa

DTF- dyskretna transformata funkcji

Przy badaniu ukad�w nieliniowych wskazane jest dokonanie linearyzacji , gdy anliza wasnoci na podstawie r�wnania liniowego jest duo prostsza.

Przejcie SS TF

� [A,B,C,D]=linmod('obiekt') % linearyzacja

A = -2.0000 -3.0000

1.0000 0

B = 1

C = 0 2.0000

D = 0

eig(A) % wasnoci wasne macierzy

ans =

-1.0000 + 1.4142i

-1.0000 - 1.4142i

� [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) % wyznaczenie wektora mianownika i licznika

num =

0 0 2.0000

den =

1.0000 2.0000 3.0000

printsys(num,den) % zapis transmitancji naszego obiektu

num/den =

-------------

s^2 + 2 s + 3

� roots(den) % wyliczenie pierwiastk�w

ans =

-1.0000 + 1.4142i

-1.0000 - 1.4142i

Obliczamy odwrotne przejcie ( TF SS )

[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num,den)

A1 =

-2.0000 -3.0000

1.0000 0

B1 =

C1 =

0 2.0000

D1 =

Wniosek :

A-macierz stanu , B- macierz wyjciowa ,C- macierz wejciowa , D- skalar

Ukad jest rzdu drugiego . Zapis r�wnania r�nicowego dla danego ukadu :

x₁(t) = -2x₁(t) -3 x₂(t) + u(t)

x₂(t) = x₁(t)

y(t) = 2x₂(t)

Obiekt ma charakter oscylacyjny, a pierwiastki mianownika takie same co wartoci wasne. Poniewa pierwiastki r�wnania charakterystycznego le po lewej stronie granicy stabilnoci wic obiekt jest stabilny ( Re < 0). Przy odwrotnym przejciu ( tzn. TF - SS) wartoci ABCD takie same jak przy przejciu SS - TF.

Model dyskretny :

[Ad,Bd,Cd,Dd]=dlinmod('obiekt',0.1) % linearyzacja

Ad =

0.8056 -0.2705

0.0902 0.9860

Bd =

0.0902

0.0047

Cd =

0 2.0000

Dd =

� eig(Ad)

ans =

0.8958 + 0.1275i

0.8958 - 0.1275i

� abs(ans)

ans =

0.9048

� [numd,dend]=ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd)

numd =

0 0.0093 0.0087

dend =

1.0000 -1.7916 0.8187

� printsys(numd,dend,'z')

num/den =

0.009342 z + 0.008739

----------------------

z^2 - 1.792 z + 0.8187

� roots(dend) % bieguny

ans =

0.8958 + 0.1275i

0.8958 - 0.1275i

Przejcie DTF DSSS

[Ad1,Bd1,Cd1,Dd1]=tf2ss(numd,dend)

Ad1 =

1.7916 -0.8187

1.0000 0

Bd1 =

Cd1 =

0.0093 0.0087

Dd1 =

Przejcie SS DSS

[Ad2,Bd2,Cd2,Dd2]=c2dm(A,B,C,D,0.1,'zoh')

Ad2 =

0.8056 -0.2705

0.0902 0.9860

Bd2 =

0.0902

0.0047

Cd2 =

0 2.0000

Dd2 =

Wniosek :

R�wnanie r�nicowe ukadu :

x₁(k+1) = 0.8056x₁(k) -0,2705 x₂(k) + u(k)

x₂(k+1) = 0,0902x₁(k) + 0,986x₂(k)

y(k) = 2 x₂(k)

Wyliczone wartoci Ad Ad1 Ad2 ....przy kadym przejciu s r�ne jedynie s taki same wasnoci wasne co wskazuje na tak sam dynamik. Obiekt jest stabilny (poniewa wszystkie pierwiastki r�wnania charakterystycznego le wewntrz okrgu jednostkowego

z_k < 1).

CHARAKTERYSTYKI CZASOWE :

Przejcie DSR SS

� dstep(Ad,Bd,Cd,Dd)

0x01 graphic

Rys. 4 Odpowied skokowa

tf2zp- przejcie z transmitacji na opis zer i biegun�w

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =

[]

p =

-1.0000 + 1.4142i % pierwiastki

-1.0000 - 1.4142i

k =

2.0000

pzmap(p,z) % rysowanie na paszczynie zespolonej zer i biegun�w

� pzmap(numd,dend)

0x01 graphic

Rys. 5 Charakterystyka rozmieszczenia zer i biegun�w

Charakterystyki czstotliwociowe :

� bode(num,den)

0x01 graphic

Rys.6 Charakterystyka logarytmiczna : a) amplitudowa, b) fazowa

0x01 graphic

nyquist(num,den)

Rys.7 Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyki czstotliwociowe dla ukadu dyskretnego :

� dbode(numd,dend,0.1)

0x01 graphic

Rys.8 Charakterystyki logarytmiczne : a) amplitudowa , b) fazowa

� dnyquist(numd,dend,0.1)

0x01 graphic

Rys.9 Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Wniosek :

Charakterystyki logarytmiczne obiektu dyskretnego i cigego potwierdzaj stabilno w obu przypadkach (ukad jest stabilny jeeli logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ukadu otwartego posiada warto ujemn dla pulsacji odpowiadajcej przesuniciu fazowemu -).