0 konspekt wykladu PETid 1826


Dr inż. Tadeusz SALAMONOWICZ
PODSTAWY EKSPLOATACJI TECHNICZNEJ
Semestr 6
2 godz. wykładu + 1 godz. ćwiczeń audytoryjnych
Zakres przedmiotu:
1. Eksploatacja: pojęcia, zakres zagadnień. System eksploatacji, proces eksploatacji.
2. Zmiany stanu technicznego obiektu: natura fizyczna, opis losowy (statystyczny).
Niezawodność obiektów.
3. Modele niezawodności obiektów nienaprawialnych. Rodzaje uszkodzeń.
4. Struktury niezawodnościowe obiektów złożonych. Rezerwowanie.
5. Modele niezawodności obiektów naprawialnych. Procesy odnowy. Gotowość obiektów
technicznych.
6. Rozpoznawanie stanu technicznego obiektu i jego elementów. Podstawy diagnostyki
technicznej.
7. Wielostanowe procesy eksploatacji. Opis i miary.
8. Utrzymanie obiektów w gotowości technicznej: profilaktyka, wymiana, naprawa.
Strategie eksploatacyjne.
9. Badania eksploatacyjne.
Literatura uzupełniająca:
1. Bobrowski D. Modele i metody matematyczne teorii niezawodności. WNT, Warszawa,
1985,
2. Dwiliński L. Wstęp do teorii eksploatacji obiektu technicznego. Wydawnictwa
Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1991,
3. Kazmierczak J. Eksploatacja systemów technicznych. Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej. Gliwice, 2000,
4. Smalko Z. Podstawy eksploatacji technicznej pojazdów. Wydawnictwa Politechniki
Warszawskiej. Warszawa, 1998,
Zaliczenie przedmiotu:
Bez egzaminu,
2 kolokwia na ćwiczeniach  zadania,
2 kolokwia na wykładzie  materiał wykładowy.
Niezawodność obiektu  własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez
obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.
Inaczej
Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że
w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.
Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo
nieuszkodzenia obiektu.
S(t)
S(0)
Sgr=const
0
T
t
T
T
T
Zmienną losową T charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla t ł 0:
dystrybuanta F(t),
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia f (t),
funkcja niezawodności R(t),
intensywność uszkodzeń l(t),
Dystrybuanta zmiennej losowej T (funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo
uszkodzenia obiektu do chwili t
F(t) = P(T < t), dla t ł 0
przy czym F(0) = 0
Funkcja niezawodności R(t) - prawdopodobieństwo, że do chwili t nie nastąpi
uszkodzenie.
R(t) = P(T ł t), dla t ł 0
Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili t , lub pózniej) jest zdarzeniem pewnym:
P(T < t) + P(T ł t) = 1
F(t) + R(t) = 1
R(t) = 1- F(t), R(0) = 1- F(0) = 1- 0 = 1
Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia f (t) jest pochodną dystrybuanty F(t)
dF(t) d dR(t)
f (t) = dla t ł 0 f (t) = (1- R(t)) = -
dt dt dt
Intensywność uszkodzeń l(t) definiuje się jako:
f (t) R'(t)
l(t) = = - ; dla t ł 0
1- F(t) R(t)
Oznaczamy:
P(t, t + Dt) - prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale
(t,t + Dt) pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale (0,t).
Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:
R(t + Dt)
P(t, t + Dt) =
R(t)
Q(t, t + Dt) - prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale
(t,t + Dt) pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale (0,t).
R(t + Dt) R(t) - R(t + Dt)
Q(t, t + Dt) = 1- P(t, t + Dt) = 1- =
R(t) R(t)
Q(t,t + Dt) R(t) - R(t + Dt) 1
=
Dt Dt R(t)
Q(t, t + Dt) R(t) - R(t + Dt) 1
= =
lim lim
Dt0 Dt0
Dt Dt R(t)
1 R(t + Dt) - R(t) R'(t)
= - = -
lim
Dt0
R(t) Dt R(t)
Otrzymana granica jest lokalną (w chwili t ) funkcją zawodności będącą warunkową
gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili t , pod warunkiem, że do
chwili t uszkodzenie nie nastąpiło.
Oznaczamy ją l(t) i nazywamy intensywnością uszkodzeń.
R'(t) d f (t)
l(t) = - = - ln R(t) =
R(t) dt 1- F(t)
Każda z czterech zdefiniowanych funkcji F(t), f (t), R(t), l(t) w sposób
jednoznaczny określa zmianę losową T , determinując tym samym postać pozostałych
funkcji.
Poprzez dystrybuantę F(t) wyrazić je można jako:
f (t) = F'(t)
R(t) = 1- F(t)
F'(t)
l(t) =
1- F(t)
Poprzez gęstość f (t) wyrazić je można jako:
t
F(t) = f (x) dx

0
t Ą
R(t) = 1- f (x) dx = f (x) dx

0 t
f (t) f (t)
l(t) = =
t Ą
1- f (x) dx f (x) dx

0 t
Poprzez funkcję niezawodności R(t) wyrazić je można jako:
F(t) = 1- R(t)
f (t) = -R'(t)
R'(t)
l(t) = -
R(t)
Znając funkcję intensywności uszkodzeń l(t), w celu wyznaczenia pozostałych funkcji
rozwiązujemy równanie różniczkowe:
R'(t)
l(t) = -
R(t)
o warunku początkowym R(0) = 1
Równanie całkujemy obustronnie w granicach od 0 do t
dR(x) 1
l(x) = -
dx R(x)
t t
dR(x)
l(x) dx = -

R(x)
0 0
t
t
- l(x) dx = ln R(x) = ln R(t) - ln R(0) = ln R(t) - ln1 = ln R(t)

0
0
t
R(t) = exp- l(x) dxł

ę ś
0
t
F(t) = 1- exp- l(x) dxł

ę ś
0
t
f (t) = l(t)[1- F(t)]= l(t)R(t) = l(t)exp- l(x) dxł

ę ś
0
Wielkości
znane
F(t) f(t) R(t) (t)
Wielkości
szukane
t
t
ł
F(t) ---
1- exp
f (x)dx
1- R(t)
ę- ś
l(x)dx

0
0
t
ł
f(t) --- l(t)exp
F'(t) - R'(t)
ę- ś
l(x)dx
0
t
Ą
ł
R(t) --- exp
f (x)dx
1- F(t)
ę- ś

l(x)dx
t 0
f (t)
F'(t) R'(t)
Ą
-
(t) ---
1- F(t) f (x)dx
R(t)

t
Wskazniki liczbowe niezawodności
wartość oczekiwana E(T )
Ą Ą
def
E(T ) t f (t) dt ; E(T )= t dF(t)
=
0 0
Ą
t f (t) dt całkujemy przez części wg: dv = uv - v du
u
0
u = t , du = dt
dv = f (t) dt, v = f (t) dt = F'(t) dt = - R'(t) dt = -R(t)

Ą
Ą Ą Ą
t f (t) dt = [- t R(t)] + R(t) dt = R(t) dt

0 0 0
0
Ą
E(T ) = R(t) dt

0
wariancja D2(T )
Ą
2
D2(T ) = E(T ) - E(T )2 = t2 f (t) dt - E(T )2

0
po scałkowaniu przez części otrzymujemy:
Ą
2
D2(T ) = s = 2 t R(t) dt - E(T )2 ,
0
s = D2(T )
Wielkość E(T )oznacza średni czas życia obiektu,
a s przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego E(T ).
S(t)
Sdop
a)
to t
S(t)
Sdop(t)
Smax
b)
t to t
Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:
a) stała wartość dopuszczalna
b) zmienna wartość dopuszczalna
Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości
granicznej, uszkodzenie)
może nastąpić z prawdopodobieństwem q
i nie nastąpić z prawdopodobieństwem 1- q.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy k - tym wymuszeniu?
Niech:
A - zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia
A - zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia
Wystąpienie uszkodzenia przy k - tym wymuszeniu oznacza wystąpienie k wymuszeń,
przy czym przy k -1 uszkodzenie nie nastąpiło a przy k - tym nastąpiło.
Bk - zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy
k - tym wymuszeniu
P(Bk ) = P(A1)P(A2).........P(Ak -1)P(Ak )
.
gdzie:
P(Ai ) - prawdopodobieństwo zmiany przy i - tym wymuszeniu
P(Bk ) = P(T = k -1)
gdzie:
T - czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą
wymuszeń
Ponieważ:
P(A1) = P(A2) = .........= P(Ak -1) =1- q
stąd
P(T = k -1) = (1- q)k -1q rozkład geometryczny
Ą
P(B1) + P(B2) + ..+ P(Bk -1) + P(Bk ) + P(Bk +1) + .. = P(T = k -1) =1

k =1
P(T Ł k -1) + P(t > k -1) =1
P(T Ł k -1) = P(T = 0) + P(T =1) +.....+ P(T = k - 2) + P(T = k -1)
P(T = 0) = q
P(T =1) = q(1- q)
P(T = 2) = q(1- q)2
............................................
P(T = k - 2) = q(1- q)k -2
P(T = k -1) = q(1- q)k -1
k -1 k
P(T Ł k -1) = q(1- q)i = q (1- q)i-1

i=0 i=1
k
1- (1- q)k 1- (1- q)k
(1- q)i-1 = =

1- (1- q) q
i=1
P(T Ł k -1) =1- (1- q)k
P(T > k -1) = (1- q)k
P(T = k -1) = q(1- q)k -1
Dt - czas trwania wymuszenia,
Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu jest równoważne uszkodzeniu w przedziale
(t,t + Dt)
gdzie t = (k -1)Dt,
q lDt
t
Dt =
k -1
t
q l
k -1
prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale (t,t + Dt) wynosi
~t = P(T = k -1) (1- l t )k -1lDt
p
k -1
~t
lim p = pt = le-ltdt
k Ą
Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:
pt = P(t Ł T Ł t + Dt) = f (t)dt
f (t) = le-lt - gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego
Niezawodność typu wykładniczego
Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową T
o rozkładzie wykładniczym z parametrem l > 0, a więc:
f (t) = l e-l t dla t ł 0
F(t) = 1- e-l t dla t ł 0
R(t) = e-l t
ostatnia równość zwana jest
wykładniczym prawem niezawodności
l e-l t
l(t) = = l = const.
e-l t
Ą
Ą Ą
1 Ą 1 1
ł
E(T ) = R(t) dt = e-l tdt = - [e-l t] = -

0
ęel t ś0 =
l l
0 0

1 1
= - [0 -1]=
l l
Ą
1
D2(T ) = 2 t e-l tdt -
l2
0
Ą
t e-l tdt

0
u = t du = dt
1
dv = e-l tdt , v = - e-l t
l
t 1 t 1
t e-l tdt = - e-l t + e-l tdt = - e-l t - e-l t =

l l l l2
1 1 l t +1
= - (l t e-l t + e-l t ) = -
l2 l2 el t
Ą
1 t +1łĄ 1
l lim lt +1 - lt +1ł
t e-l tdt = - = - =
lim
t0
l2 ę el t ś0 l2 ę el t el t ś
0 tĄ

1 l 1 1

= -1ł = - [0 -1]=
l2 ęlim lel t ś l2 l2

2 1 1
D2(T ) = - =
l2 l2 l2
t
-
E (T )
R(t) = e wykładnicze prawo niezawodności
Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których l(t) = l = const.,
tzn. takie, których odporność na bodzce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem
czasu.
Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe
prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale (t,t + Dt) pod warunkiem
nieuszkodzenia w czasie (0,t), zależy jedynie od długości przedziału Dt, nie zależy zaś
od długości czasu t wcześniejszej pracy obiektu.
P(T > t + Dt) R(t + Dt)
P(T > t + Dt /T > t) = = =
P(T > t) R(t)
e-l (t+Dt ) e-l te-l Dt
= = = e-l Dt
e-l t e-l t
Rozkład jednostajny
f(t)
1/(b-a)
0
a b
t
0, t < a


1

f (t) =
b - a , a Ł t Ł b

0, t > b

dla a = 0
1
f (t) =
b
t t
1 t
F (t) = f (x) dx = dx =

b b
0 0
t b - t
R (t) = 1- =
b b
f (t) 1
l (t) = =
R(t) b - t
b b b b
t 1
E (T ) = R(t) dt = (1- ) dt = dt - t dt =

b b
0 0 0 0
b
1 t2 ł 1 b2 b
= b - = b - =
ę ś
b 2 b 2 2
0
b b
t b2
D2(T ) = 2 t R(t) dt - E(T )2 = 2 t (1- ) dt - =

b 4
0 0
b
1 b2
b
= 2 t dt - t2 dtł - =

ę ś
b 4
0 0

b
t2 t3 ł b2 b2 b2 ł b2
= 2 - - = 2 - - =
ę ę ś
2 3bś0 4 2 3 4

2 1ł b2
= b2 1- - =
ę
3 4ś 12

System o strukturze szeregowej
... ...
1 2 k n-1 n
T = min{T1, T2, ... ,Tn}
P(T > t)= P(T1 > t) P(T2 > t)... P(Tn > t)
R(t) = R1(t) R2(t) ... Rn(t)
n
R(t)= dla t ł 0
R (t)
k
k =1
Jeżeli Rk (t)wyrazimy przez lk (t) jako:
t
Rk (t) = exp- lk (x) dxł

ę ś
0
to:
t t
n n n
R(t) = Rk (t) = exp- lk (x) dxł = exp- lk (x) dxł


ę ś ę ś
k =1 k =1 k =1
0 0
t t
n
exp- l(x) dxł = exp- lk (x) dxł


ę ś ę ś
k =1
0 0
n
l(t) = lk (t)

k =1
n n
F(t) = 1- Rk (t) = 1- [1- Fk (t)]

k =1 k =1
Wartości E(T ) i D2(T ) wyznacza się ze wzorów definicyjnych. W ogólnym przypadku
t.j. dla zmiennych losowych T o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można
k
podać bezpośredniej zależności między
E(T ) i E(Tk )
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe T1,T2,....,T mają taki sam rozkład
k
prawdopodobieństwa
Fk (t) = F1(t) dla k =1,2,....,n , t ł 0
Wszystkie elementy mają więc również jednakowe
lk (t) = l1(t) dla k =1,2,....,n , t ł 0
stąd
n
l(t) = lk (t) = nl1(t)

k =1
Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:
połączenie szeregowe n identycznych elementów zwiększa n -krotnie
prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili
t
R(t) = exp- n l1(t) dtł
ę ś
0
n
R(t) = R1 (t)
2) Niech zmienne losowe T1,T2,....,Tn mają rozkład wykładniczy o parametrach
odpowiednio l1l2 , ....,ln ,
czyli:
k
fk (t) = lke-l t
lk (t) =lk= const
n
l (t) = lk = l = const

k =1
R(t) = e-l t
1 1 1
E(T ) = = =
n
n
l
lk 1

k =1
k =1
E(Tk )
3) Niech zmienne losowe T1,T2,....,Tn mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze l1
l(t) = l = nl1
1
R(t) = e-nl t
1 E(T1)
E(T ) = =
nl1 n
System o strukturze równoległej
1
2
k
n
{
T = max T1, T2, ... ,Tn }
P(T < t)= P(T1 < t) P(T2 < t)... P(Tn < t)
F(t) = F1(t) F2(t) ... Fn(t)
n
F(t)= dla t ł 0
F (t)
k
k =1
n
R(t) = 1-
[1- Rk (t)]
k =1
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe T1,T2,....,Tn mają jednakowy rozkład
prawdopodobieństwa o dystrybuancie F1(t), wówczas:
F(t) = F1n(t)
n
R(t) = 1-[1- R1(t)]
2) Niech zmienne losowe T1,T2,....,Tn maja rozkład wykładniczy o parametrach
odpowiednio l1l2 , ....ln ,
wówczas:
n
k
R(t) = 1- (1- e-l t )

k =1
k
korzystając z rozwinięcia funkcji e-l t w szereg Maclaruina można przyjąć, że
k
1- e-l t lkt ,
czyli
n
R(t) @ 1- lkt = 1- l1l2.......lntn

k =1
3) Niech zmienne losowe T1,T2,....,Tn maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o
jednakowym parametrze l1 , wówczas:
1
F(t) = (1- e-l t )n (l1t)n
R(t) 1- (l1 t)n
Wyznaczamy dla tego przypadku E(T )
Ą Ą
1
E(T ) = R(t) dt = [1- (1- e-l t )n]dt

0 0
1
podstawiamy: 1- e-l t = z
1 1 dz
t = ln , dt =
l1 1- z l1(1- z)
1 1
1 1- zn 1
E(T ) = dz = (1+ z + .....+ zn-1)dz =

l1 1- z l1
0 0
1 1 1
= (1+ + .....+ )
l1 2 n
1 1 1 1 1
E(T ) = (1+ + ........+ ) = E(T1) (1+ + ......+ )
l1 2 n 2 n
Który wariant jest korzystniejszy?
a)
R
R
R
R
b)
R
R
R
R
Ra =1- (1- R2 )2 = R2(2 - R2 )
2
Rb =[1- (1- R)2] = R2(2 - R)2
Rb - Ra = R2(2 - R)2 - R2(2 - R2) = R2(4 - 4R + R2 - 2 + R2) =
= R2(2 - 4R + 2R2 ) = 2R2(1- 2R + R2 ) = 2R2(1- R)2 > 0
Rb > Ra
Krotność rezerwowania
11 12 1n
2n
21 22
mn
m1 m2
n
Ru =[1- (1- R)m]
1
n
(1- R)m = 1- Ru
1
n
m log (1- R) = log (1- Ru )
1
n
log (1- Ru )
m =
log (1- R)
log (1- Ru )
dla n =1 m =
log (1- R)
Rezerwa nieobciążona (zimna)
(1)
l
l
(2)
1 1 2
E(Tu ) = E(T1) + E(T2 ) = + =
l l l
1
ale E(Tu ) ą
lu (t)
W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili t ?
1) element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili t :
P1= R1(t) = e-l t
2) element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili t < t, element rezerwowy (2)
nie uszkodzi się w przedziale (t ,t):
t
P2 = f (t ) R(t ,t)dt

0
f (t ) = l e-lt
R(t ,t) = e-l(t-t )
P2 = l t e-lt
Ru (t) = P1 + P2 = e-lt + l te-lt = (1+ l t)e-lt
Ą Ą
1 1 2
E(Tu ) = Ru (t)dt = (1+ l t)e-ltdt = + l =

l l2 l
0 0
R'u (t) l2te-lt l2t
lu(t) = - = =
Ru(t) (1+ lt)e-lt 1+ lt
Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ
zachowa zdatność do chwili t :
3) element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili
t < t, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale (t ,t)
(1)
(1)
l
l
(2)
l
l
l
l
(2)
(3)
t
P3 = f (t ) R(t ,t)dt

0
f (t ) = l2 t e-lt
R(t ,t) = e-l(t-t ) .
1
P3 = l2 t2 e-lt
2
1
Ru (t) = P1 + P2 + P3 = (1+ l t + l2t2 )e-l t
2
Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:
1
P4 = l3 t3 e-lt
6
1
P5 = l4 t4 e-lt
24
(lt)k
Pk = e-lt
k!
m m
(l t)k
Ru (t) = Pk = e-lt

k =0 k =0
k!
Który wariant jest korzystniejszy?
a)
l l
l
l
b)
l l
l
l
Ra(t) = (1+ 2l t) e-2l t
2
Rb(t) = [(1+ lt)e-l t] = (1+ l t)2e-2l t
2
Rb(t) - Ra (t) = e-2l t[(1+ lt) -1- 2l t] =
= e-2l t(1+ 2l t + l2 t2 -1- 2l t)= l2 t2e-2l t > 0
Rb(t) > Ra (t)
Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)
1
2
l1 = l
l2 = l0 < l do chwili uszkodzenia elementu (1)
l2 = l po chwili uszkodzenia elementu (1)
1) element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili t :
P1= e-l t
2) element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili t < t, element rezerwowy (2)
nie uszkodzi się do chwili t :
t
P2 = f1(t ) R2(t )R2(t ,t)dt

0
f1(t ) = l e-lt
0
R2(t ) = e-l t
R2(t ,t) = e-l(t-t )
l
0
P2 = e-lt(1- e-l t )
l0
l
0
Ru (t) = P1 + P2 = e-lt + e-lt (1-e-l t ) =
l0
l l
= (1+ )e-l t - e-(l +l0 )t
l0 l0
l l
1+
Ą
l0 l0 1 1
E(Tu ) = Ru (t)dt = - = +

l l + l0 l l + l0
0
Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym elementem rezerwowym
rezerwa
R(t) E(T )
1 1
+
nieobciążona
(1+ l t)e-lt
l l
częściowo obciążona
l l 1 1
(1+ )e-l t - e-(l +l0 )t +
l0 l0 l l + l0
1 1
-l t - l t
obciążona
e (2 - e ) +
l l + l
1
2
m
t
niech R1(t) = R2(t) = .......= Rm (t) = 1-
b
b
E(T1) = E(T2 ) = .......= E(Tm ) =
2
m
t
ć
Ru (t) = 1-

b
Ł ł
b
b b b
1 1 tm+1 ł
E(Tu ) = Ru (t)dt = dt - tmdt = b - =

bm bm ęm +1ś0
0 0 0

b m
= b - = b
m +1 m +1
m 1 2 3 4 5
Ą
1/2 b 2/3 b 3/4 b 4/5 b 5/6 b b

E(Tu )
Zależne uszkodzenia elementów
1
2
l1 = l2 = l
gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w
stanie zdatności wzrasta do l1 > l
1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili t :
P1= e-2l t
2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili t < t,
element (2) nie uszkodzi się do chwili t :
t
P2 = f (t ) R(t ) R(t ,t)dt

0
1
f (t ) = l e-lt , R(t ) = e-lt , R(t ,t) = e-l (t-t )
-(2l -l )t
1
t t
1 1
P2 = l e-lt e-lt e-l (t-t )dt = l e-l t e dt =

0 0
t
e-(2l -l1 )t ł l
1 1
= l e-l t ę- = e-l t[e-(2l -l1 )t -1]
2l -l1 ś l1 - 2l
0
3) element (2) uszkodzi się w pewnej chwili t < t,
element (1) nie uszkodzi się do chwili t :
P3 = P2
Ru (t) = P1 + P2 + P3 = P1 + 2P2
2l
1
Ru (t) = e-2lt + e-l t[e-(2l -l1 )t -1]=
l1 - 2l
2l 2l
1
= e-2lt + e-2lt - e-l t =
l1 - 2l l1 - 2l
l1 2l
1
= e-2lt - e-l t
l1 - 2l l1 - 2l
Ą Ą
l1 Ą 2l
1
E(Tu ) = Ru (t)dt = e-2lt - e-l tdt =

l1-2l l1 - 2l
0 0 0
l1 1 2l 1 l2 - 4l2
1
= - = =
l1 - 2l 2l l1 - 2l l1 (l1 - 2l)2 l l1
l1 + 2l 1 1
= = +
2 l l1 2l l1
(t)
l
1 2
(t)
m
P1(t) + P2(t) =1
t
D
0
t
t+ t
D
t
P1(t + Dt) + P2(t + Dt) =1
jeżeli: l(t) = l = const.; m(t) = m = const.
1 1
l = ; m =
E(T1) E(T2 )
P1(t + Dt) = P1(t)[1- l Dt]+ P2(t)m Dt
P1(t + Dt) - P1(t)
= -l P1(t) + m P2(t)
Dt
P1'(t) = -l P1(t) + m P2(t) , P1(0) = 1
l m
P1(t) = e-(l+m)t + = kg (t)
l + m l + m
t = 0; P1= 1
m
t Ą; P1 = = kg
l + m
P1(t)
1
m
l+m
0
0
t
1
E(T2 ) E(T1) Tz Tz
kg = = = =
1 1
E(T2 ) + E(T1) Tnz + Tz Te
+
E(T1) E(T2 )
Te - całkowity czas eksploatacji
Tu - całkowity czas użytkowania, Tu = h

i
i
- całkowity czas obsługiwania, To == t
To
i
i
i liczba przejść obiektu do danego stanu
W dwustanowym modelu procesu eksploatacji:
Tz = Tu , Tnz = To
Tz Tz Tu
kg = = =
Te Tz + Tnz Tu + To
W trójstanowym modelu procesu eksploatacji
Tou - całkowity czas oczekiwania na użytkowanie, Tou = i

i
Too - całkowity czas oczekiwania na obsługiwanie, Too = i '

i
Przypadek 1 Przypadek 2
Te = Tu + Tou + To Te = Tu + To + Too
Tz = Tu + Tou Tz = Tu
Tnz = To Tnz = To + Too
Tz
kg =
Te
Tu + Tou Tu
kg = kg =
Tu + Tou + To Tu + To + Too
Tu
kw =
Tz
kw - wskaznik wykorzystania obiektu zdatnego
Tu Tu
kw = <1 kw = = 1
Tu + Tou Tu
To
ke =
Tnz
ke - wskaznik efektywności obsługiwania obiektu niezdatnego
To To
ke = = 1 ke = <1
To To + Too
W czterostanowym modelu procesu eksploatacji:
Te = Tu + Tou + To + Too
Tu + Tou
kg =
Tu + Tou + To + Too
Tu To
jeżeli: kw = ; ke =
Tu + Tou To + Too
keTu
kg =
keTu + kwTo
Te
Tnz
Tz
Tou
Tu To Too
Tj Tp
L
= le - intensywność eksploatacji
Te
L
= lu - intensywność użytkowania
Tz
L
= Ve - prędkość eksploatacyjna
Tu
L
= Vt - prędkość techniczna
Tj
N(t)
Ne(t)
Nu(t)
No(t)
t
Nu(t) - liczba urządzeń użytkowanych w chwili t
No(t) - liczba urządzeń obsługiwanych w chwili t
Ne(t) = Nz(t) + Nnz (t); Nz (t) = Nu(t); Nnz (t) = No(t)
Nz (t) Nu(t) Nu(t)
kg (t) = = =
Nz (t) + Nnz (t) Ne(t) Nu(t) + No(t)
kg (t) - chwilowy wskaznik gotowości technicznej
W przypadku jednorodnej grupy urządzeń eksploatowanych w ustalonych warunkach,
można potraktować historię eksploatacji grupy w krótkim przedziale jako ekwiwalentną
historii eksploatacji pojedynczego urządzenia tej grupy, ale w dłuższym przedziale.
Tu(t) Nu(t)

Tu(t) + To(t) Nu(t) + No(t)
Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)
t
L(t) = l (x) dx

0
Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się  zapasu niezawodności obiektu .
t
- l ( x)dx

0
Ponieważ R(t) = e to R(t) = e-L(t)
F(t) = 1- e-L(t)
d
f (t) = - [e-L(t)]
dt
d
l(t) = L(t)
dt
L(t) = -ln R(t) = -ln[1- F(t)]
t t t
f (x) f (x)dx
L(t) = l (x)dx = dx =

Ą
R(x)
0 0 0
f (u)du

x
dla rozkładu wykładniczego: L(t) = l t
dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
t b - t b

L(t) = -lnć1- = -lnć = lnć

b b b - t
Ł ł Ł ł Ł ł
Oczekiwany pozostały czas zdatności
t
t t+x
0
r(t) = E(T - t /T ł t)
jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności T - t pod warunkiem,
że w chwili t obiekt jest zdatny.
Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności wynosi:
P(t Ł T < t + x) F(t + x) - F(t)
F(t, x) = P(T - t < x /T ł t) = =
P(T ł t) R(t)
ś f (t + x)
f (t, x) = F(t, x) =
śx R(t)
Ą Ą
1
r(t) = E(T - t /T ł t) = x f (t, x)dx = x f (t + x)dx

R(t)
0 0
podstawiamy: t + x = z
stąd: x = z - t ; dx = dz
Ą
1
r(t) = (z - t) f (z)dz

R(t)
t
u = z - t du = dz
dv = f (z)dz v = -R(z)
Ą Ą
1 1
Ą
r(t) = {[- (z - t) R(z)] + R(z)dz}= R(z)dz

t
R(t) R(t)
t t
Ą
1
r(t) = R(x)dx

R(t)
t
Ą
1
r(0) = R(x)dx = E(T )

R(0)
0
Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności r(t) wyrazić poznane
uprzednio charakterystyki funkcyjne niezawodności:
1
1+ dr(t)ł
l(t) =
ę ś
r(t) dt

t
dx r(0)
L(t) = - ln

r(x) r(t)
0
t
ł
r(0) dx
R(t) = expę-

r(t) r(x)ś
0
t
ł
r(0) dx
F(t) = 1- exp
ę- r(x)ś
r(t)
0
r(0)
1+ dr(t)ł t dx ł
f (t) =

ę śexp ę- 0 r(x)ś
dt

r2(t)

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość funkcji r(t) ulega niewielkim
zmianom i dąży do:
Ą
R(x)dx

- R(t) 1
t
r(t) = = =
lim lim lim lim
tĄ tĄ tĄ tĄ
R(t) - f (t) l(t)
Dla rozkładu wykładniczego:
Ą Ą
1 1
r(t) = R(x)dx = e-l xdx =

R(t)
e-l t t
t
Ą
1 1 1
= el t e-l x ł = el t e-l t =
ę- śt
l l l

Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
b
b

1 x b x2 ł
r(t) = (1- )dx =

ęx - 2bśt =
t
b b - t
t

1-
b

b b2 t2 ł b 2b2 - b2 2bt - t2
=
ę(b - 2b) - (t - 2b)ś = b - t ( 2b - 2b ) =
b - t

b 1 (b - t)2 b - t
= (b2 - 2bt + t2) = =
b - t 2b 2(b - t) 2
Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności obiektu jeżeli wiadomo, że
uszkodził się do chwili t :
E(T /T < t)
P(T < x) F(x)
F(t, x) = P(T < x /T < t) = =
P(T < t) F(t)
ś f (x)
f (t, x) = F(t, x) =
śx F(t)
t t
1
E(T /T < t) = x f (t, x)dx = x f (x)dx

F(t)
0 0
t t t
x f (x)dx = [- x R(x)]t + R(x)dx = -tR(t) + R(x)dx

0
0 0 0
t ł
1
E(T /T < t) =
ę R(x)dx - tR(t)ś
F(t)
0
r(0) = E(T /T < t) F(t) +[t + r(t)]R(t) =
t t
= R(x)dx - tR(t) + t R(t) + r(t) R(t) = R(x)dx + r(t) R(t)

0 0
inaczej:
Ą Ą
1
r(0) - r(t) = R(x)dx - R(x)dx =

R(t)
0 t
t Ą Ą
1
= R(x)dx + R(x)dx - R(x)dx =

R(t)
0 t t
t Ą
1- 1 ł
= R(x)dx + R(x)dx =

ę
R(t)ś t

0
t Ą t
R(t) -1
= R(x)dx + R(x)dx = R(x)dx - F(t) r(t)

R(t)
0 t 0
t t
r(0) = R(x)dx + r(t)- F(t)r(t) = R(x)dx + r(t) R(t)

0 0
Niezawodność obiektów naprawialnych (odnawialnych)
Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) czas naprawy (odnowy) jest bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu.
Mówimy wówczas, że odnowa jest natychmiastowa (czas jej trwania = 0)
2) czas naprawy (odnowy) posiada pewną skończoną wartość i nie jest pomijalny.
ad. 1.
Tn+1
T1
T2
0
t2
t1 t
tn+1
tn
t
Chwile uszkodzeń (odnowień) obiektu są następujące:
t1 = T1
t2= T1 + T2
t3 = T1 + T2 + T3
...............................
tn = T1 + T2 +........+ Tn
tn+1 = T1 + T2 + .........+ Tn + Tn+1
......................................................
Chwile uszkodzeń (odnowień) przedstawiają strumień losowy, który nazywamy strumieniem
odnowy.
Zakładamy, że:
1) proces taki powtarza się nieograniczenie,
2) T1, T2, ..... są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie
prawdopodobieństwa określonym dystrybuantą F(t) = P(Tn < t), E(T ) i
D2(T ) dla wszystkich Tn są jednakowe i wynoszą:
Ą
E(T ) = [1- F(t)]dt ,

0
Ą
D2(T ) = 2 t[1- F(t)]dt -[E(T )]2

0
Niech N(t) będzie zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień) powstałych
do chwili t .
Zdarzenie {N(t) ł n} jest równoważne zdarzeniu {tn < t}
P{N(t) ł n}= P(tn < t) = P(T1 + T2 + ......+ Tn < t) = Fn(t)
Dystrybuantę Fn (t) można wyznaczyć dla dowolnego n :
n=2
t
F2(t) = P(T1 + T2 < t) = P(T1 < t - T2 ) = P(T1 < t -t )dF(t ) =

0
t
= F1(t -t )dF(t )

0
n=3
F3(t) = P(T1 + T2 + T3 < t) = P(T1 + T2 < t -T3) =
t t
= P(T1 + T2 < t -t )dF(t ) = F2(t -t )dF(t )

0 0
t
uogólniając Fn (t) = Fn-1(t -t )dF(t ),......... F1(t) = F(t)

0
Wyznaczamy P[N(t) = n]
P{N(t) =n}= P{N(t) ł n N(t) < n +1}
I
zdarzenie {N(t) ł n} jest równoważne {tn < t}
zdarzenie {N(t) < n +1} jest równoważne {tn+1 ł t}
P{N(t) = n}= P(tn < t) + P(tn+1 ł t) - P(tn < t tn+1 ł t)
U
Fn (t) + 1- Fn+1(t) - 1
P{N(t) = n}= Fn(t) - Fn+1(t)
Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia n uszkodzeń
(odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń E[N(t)].
Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla t ł 0 oznaczaną H(t) i nazywaną funkcją
odnowy (naprawy).
Ą Ą
H(t) = E[N(t)]= n P{N(t) = n}= n[Fn (t) - Fn+1(t)]=

n=1 n=1
Ą Ą Ą Ą
= n Fn (t) - n Fn+1(t) = n Fn (t) - (n -1) Fn (t) =

n=1 n=1 n=1 n=2
Ą Ą Ą Ą
= F1(t) + n Fn (t) - n Fn (t) + Fn (t) = Fn (t)

n=2 n=2 n=2 n=1
Ą
H (t) = Fn (t)

n=1
W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością
odnowy.
Ą Ą Ą
dH(t) d dFn (t)
h(t) = = Fn (t) = = fn (t)

dt dt dt
n=1 n=1 n=1
Funkcję odnowy można wyznaczyć inaczej:
Ą Ą
H(t) = Fn (t) = F1(t) + Fn+1(t)

n=1 n=1
t
ale F1(t) = F(t) i Fn+1(t) = Fn (t -t )dF(t )

0
t t
Ą Ą
H (t) = F(t) + Fn (t -t )dF(t ) = F(t) + Fn (t -t )dF(t )


n=1 n=1
0 0
t t
= F(t) + H(t -t )dF(t ) = [1+ H(t -t )]dF(t )

0 0
H(t) spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy
(odnowienia).
Funkcję H(t) wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym
przedziale czasu [t1, t2], wynosi ona H(t2) - H(t1).
Przy pomocy H(t) można wyznaczyć wariancję liczby uszkodzeń (odnów) w przedziale
[0, t]
t
2
D2[N(t)]= 2 H(t -t )dF(t ) + H (t) - H (t)

0
Badając proces odnowy przy t Ą korzysta się z następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie F(t) i skończonej wartości
oczekiwanej E(T ), to
H (t) 1
=
lim
t E(T )

Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności
średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy
średniemu czasowi życia obiektu.
Twierdzenie 2 (Blackwella)
Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej E(T ) to dla a > 0 zachodzi:
a
[H (t + a) - H (t)]=
lim
E(T )

Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń
w przedziale o długości a zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia
obiektu.
Twierdzenie 3 (Smitha)
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej E(T )
oraz wariancji D2(T ), to
H t ł D2(T ) 1
lim (t) - = -
ę
tĄ E(T )ś 2[E(T )]2 2

stąd wzór przybliżony:
t D2(T) 1
H(t) @ + -
E(T) 2
2[E(T)]2
Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)
T1
Tn
T2
0
t
U1
U2 Un
Zmienne T1,T2,......oraz U1,U2,..... są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach
odpowiednio:
F(t) = P(Tn < t) G(t) = P(Un < t)
ó
Utwórzmy zmienną losową Tn = Tn1 +Un1, gdzie:
Tn1 = T1 + T2 + .....+ Tn , Un1 =U1 +U2 + .....+Un
t
P(Tn1 < t) = Fn (t) = Fn-1(t -t )dF(t ), F1(t) = F(t)

0
t
P(Un1 < t) = Gn (t) =
G (t -t )dG(t ), G1(t) = G(t)
n-1
0
t
ó
P(Tn < t) = Fn (t) = Fn (t -t )dGn (t )

0
t
Ą Ą
H (t) = Fn (t) = Fn (t -t )dGn (t )


n=1 n=1
0
Ą
dFn (t)
h(t) = jn (t), gdzie: fn (t) =

dt
n=1
WYMIANA W USTALONYM WIEKU
t
0 nw
3w
2w
w (n+1)w
t
Pw(t) = Rn(w) R(t - nw); nw < t < (n +1)w
gdzie:
Pw (t) - prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do
chwili t,
Rn (w) - prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach
czasu o długości w,
R(t - nw) - prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się
w przedziale (nw,t); t < (n +1)w
Ą Ą
E(Tw ) = Pw(t) dt = Rn(w) R(t - nw) dt

0 0
E(Tw ) - oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;
Ą w 2w 3w
Rn(w) R(t - nw) dt = R(t)dt + R(w)R(t - w) dt + R2 (w)R(t - 2w)dt

0 0 w 2w
(n+1)w
Ą
Ą
+..........+ Rn (w)R(t - nw)dt = Rn(w) R(t - nw)dt


n=0
nw nw
podstawiamy: t - nw = x
dt = dx
dla t = nwx = 0
t = (n+1)wx = w
(n+1)w
w
Ą Ą
Rn (w) R(t - nw)dt = Rn (w) R(x)dx =


n=0 n=0
nw 0
w w
Ą Ą
Rn (w) R(x) dx = R(x) dx Rn (w) =


n=0 n=0
0 0
w
1
= R(x) dx

1- R(w)
0
Ą
1
gdyż: xn = dla x<1

1- x
n=0
w
1
E(Tw ) = R(x) dx

1- R(w)
0
a R(w) + b F(w)
C(w) =
E(Tu )
C(w)  jednostkowy koszt utrzymania obiektu
a  koszt wymiany profilaktycznej
b  koszt naprawy
Zakładamy, że a < b
E(Tu)  oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia
lub wymiany)
E(Tu ) = w R(w) + E(T /T < w) F(w)
w w
f (x) 1
E(T /T < w) = x dx = x f (x) dx

F(w) F(w)
0 0
w w
E(Tu ) = w R(w) + x f (x) dx = R(x) dx

0 0
a R(w) + b F(w) (a - b) R(w) + b
C(w) = =
w w
R(x) dx R(x) dx

0 0
w
(a - b) R'(w) R(x) dx -[(a - b) R(w) + b]R(w)
dC(w)
0
= = 0
2
dw
wR(x) dxł

ę0 ś

w
(a - b) R'(w) R(x) dx = [(a - b) R(w) + b]R(w)
0
w
R'(w)
- (b - a) R(x) dx = (a - b) R(w) + b

R(w)
0
w
b
l(w) R(x) dx = -R(w) +
b - a
0
w
b
l(w) R(x) dx + R(w) =
b - a
0
Ą Ą
b
l(w) R(x) dx - R(x) dxł + R(w) =

ę0 ś
b - a
w
1. Rozpatrzmy obiekt techniczny składający się z n elementów składowych.
2. Załóżmy, że elementy są jednakowe w sensie ich niezawodności
3. Struktura niezawodnościowa obiektu jest szeregowa.
Funkcja niezawodności obiektu do chwili wykonania naprawy R1(x) jest opisana
zależnością:
R1(x) = [Re(x)]n
gdzie: Re(x) - funkcja niezawodności elementu
Jeżeli naprawa wykonana w chwili t polegała na wymianie k spośród n elementów
składowych to funkcja niezawodności obiektu po naprawie R2(x) wynosi:
n-k
R2(x)= [Re(x)]k Re(t + x)ł
ę ś
Re(t)

Z wzoru określającego R1(x) wynikają następujące zależności:
1 k
Re(x) = [R1(x)]n , [Re(x)]k = [R1(x)]n
k
1-
n
[Re(t + x)]n-k= [R1(t + x)]
k
1-
n
[Re(t)]n-k= [R1(t)]
Po podstawieniu do zależności wyrażającej R2(x) otrzymujemy:
k
k
R2(x) = [R1(x)]n R1(t + x)ł1-n
ę ś
R1(t)

k
Jeżeli stosunek = a potraktujemy jako stopień odnowienia obiektu (stopień naprawy), to:
n
1-a
R2(x)= [R1(x)]a R1(t + x)ł
ę ś
R1(t)

Logarytmując i następnie różniczkując stronami otrzymujemy:
d d d
[lnR2(x)]= ą lnR1(x)+ (1- ą) lnR1(t + x)
dx dx dx
d
i podstawiając - ln R(x) = l(x) otrzymujemy zależność wyrażająca związek
dx
między funkcjami intensywności uszkodzeń l2(x) i l1(x) :
l2(x) = al1(x)+ (1-a)l1(t + x)
czyli
l1(t + x)- l (x)
2
a =
l (t + x)- l (x)
1 1
Można też współczynnik a przedstawić z wykorzystaniem funkcji wiodących rozkładów
L1(t + x)- L1(t) - L2(x)
a =
L1(t + x)- L1(t) - L1(x)
gdzie:
x
L(x) = l(u)du

0


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Konspekt z wykładu 4
Konspekt wykładu r różniczkowy funkcji jednej zmiennej(1)
konspekty wykladow z 8 czerwca
Konspekt wykładów z Podstaw automatyki wykład 5
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 12 13
IX 1 dr M K Grzegorzewska konspekt wykładu 2011
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 1
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 6 8
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 4 5
Dzieje krajoznawstwa konspekt wykladu
Konspekt z wykładu 2
Stany zagrozenia konspekt wyklad
koncepcja Bobath konspekt wykladow
Konspekt wykładów
Gruntoznawstwo konspekt wykladow GP
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 3

więcej podobnych podstron