Matematyka I lista zada« nr 10.

1 Caªki - proste podstawienia

U»ywaj¡c stosownych podstawie«,bliczy¢ caªki:

1.

Z

x

1 + x

2

dx;

2.

Z

x

√

1 + x

2

dx;

3.

Z

xe

−x

2

dx;

4.

Z

x

2

e

x

3

dx;

5.

Z

dx

(2x − 5)

3

;

6.

Z

5

q

(7 − 2x)

6

dx;

7.

Z

x

3

3

√

2 + x

4

dx;

8.

Z

sin

5

x cos x dx;

9.

Z

sin

7

x cos

3

x dx;

10.

Z

cos

3

x cos 2x dx;

11.

Z

sin x

3

√

cos

2

x

dx;

12.

Z

cos 3x dx;

13.

Z

sin(2 − 4x) dx;

14.

Z

√

ln x

x

dx;

15.

Z

(arctg x)

2

1 + x

2

dx;

16.

Z

(arcsin x)

3

√

1 − x

2

dx;

17.

Z

cos xe

sin x

dx;

1

18.

Z

e

x

e

x

+ 1

dx;

19.

Z

sin 2x

1 + cos

2

x

dx;

20.

Z

ctg x dx;

21.

Z

a

x

dx;

22.

Z

(ln x)

m

x

dx;

2 Caªkowanie przez cz¦±ci

Wykorzystuj¡c metod¦ caªkowania przez cz¦±ci, obliczy¢ caªki:

23.

Z

x

2

e

x

dx;

24.

Z

arctg x dx;

25.

Z

arcsin x dx;

26.

Z

x

10

ln x dx;

27.

Z

x(ln x)

2

dx;

28.

Z

e

ax

sin bx dx,

(a, b staªe), a przy okazji:

29.

Z

e

ax

cos bx dx;

30.

Z

xarctg x dx;

31.

Z

x sin 2x dx;

32.

Z

x5

x

dx;

33.

Z

ln(x

2

+ 1) dx;

34.

Z

xarctg x dx;

35.

Z

(arcsin x)

2

dx;

2

36.

Z

sin(ln x) dx;

37.

Z

cos(ln x) dx;

3 Caªki wymierne

Obliczy¢ caªki:

38.

Z

x

2x

2

− 3x − 2

dx;

39.

Z

x

5

+ x

4

− 8

x

3

− 4x

dx;

40.

Z

x

3

− 1

4x

3

− x

dx;

41.

Z

2x

2

− 5

x

4

− 5x

2

+ 6

dx;

42.

Z

x + 2

x − 1

2

dx;

43.

Z

x

3

+ 1

x

3

− x

2

dx;

44.

Z

x

5

(x − 1)

2

(x

2

− 1)

dx;

45.

Z

3x

2

+ 1

(x

2

− 1)

3

dx;

46.

Z

1

x(x

2

+ 1)

dx;

47.

Z

1

1 + x

3

dx;

48.

Z

x

2

1 − x

4

dx;

49.

Z

x

4

+ 1

x

3

− x

2

+ x − 1

dx;

50.

Z

1

(x

2

+ 1)(x

2

+ x)

dx;

51.

Z

x

3

− 6

x

4

+ 6x

2

+ 8

dx;

52.

Z

1

1 + x

4

dx;

3

4 Caªki z funkcji trygonometrycznych

Obliczy¢ caªki:

53.

Z

sin

5

x cos

2

x dx;

54.

Z

sin

7

x cos

7

x dx;

55.

Z

sin

6

x cos

5

x dx;

56.

Z

sin

4

x dx;

57.

Z

cos

6

x dx;

58. Niech S

n

=

R

sin

n

x dx

, n ∈ N. Napisa¢ wzór rekurencyjny, wyra»aj¡cy S

n

przez

S

n−2

.

59. Niech C

n

=

R

cos

n

x dx

, n ∈ N. Napisa¢ wzór rekurencyjny, wyra»aj¡cy C

n

przez

C

n−2

.

60.

Z

sin

3

x

cos

4

x

dx;

61.

Z

1

sin x cos x

dx;

62.

Z

1

cos

3

x

dx;

63.

Z

1

sin

3

x cos x

dx;

64.

Z

sin

4

x

cos

2

x

dx;

65.

Z

1

sin

4

x cos

4

x

dx;

66.

Z

tg

3

x dx;

67.

Z

1

tg

8

x

dx;

68.

Z

1

4 − 3 sin x

dx;

69.

Z

2 + sin x

2 − cos x

dx;

70.

Z

1

a + b cos x

dx,

a > b > 0;

71.

Z

dx;

4

5 Caªki wymierne z R(x,

√

ax

2

+ bx + c)

Obliczy¢, stosuj¡c podstawienia Eulera lub inne sposoby:

72.

Z

√

x

2

+ x + 1 dx;

73.

Z

1

x

√

2 + x − x

2

dx;

74.

Z

x

2

√

1 − 2x − x

2

dx;

75.

Z

√

1 + x

2

2 + x

2

dx;

76.

Z

√

x

2

+ 2x + 2

x

2

dx;

77.

Z

x − 1

x

2

√

2x

2

− 2x + 1

dx;

78.

Z

x

4

√

x

2

+ 4x + 5

dx;

79.

Z

1

(x

2

+ x + 1)

√

x

2

+ x − 1

dx;

80.

Z

1

x

2

(x +

√

1 + x

2

)

dx;

81.

Z

√

3x

2

− 3x + 1 dx;

82.

Z

3x

2

√

x

2

+ 4x + 5

dx;

6 Caªki wymierne z R







x,

n

v
u
u
u
t

ax + b

cx + d







83.

Z

x

x −

√

x

2

− 1

dx;

84.

Z

3

s

1 − x

1 + x

1

x

dx;

85.

Z

s

1 − x

1 + x

1

x

dx;

5

86.

Z

1

4

q

(x − 1)

3

(x + 2)

5

dx;

87.

Z

x

3

√

2 + x dx;

88.

Z

4

√

1 + x

x

dx;

7 Calki z funkcji hiperbolicznych

89.

Z

cosh x dx;

90.

Z

1

cosh

2

x

dx;

91.

Z

sinh

3

x dx;

92.

Z

sinh

2

x dx;

93.

Z

√

tanh x dx;

6