WYTRZYMAŁO

ŚĆ

MATERIAŁÓW

W

YBOCZENIE PR

Ę

TÓW

Wykład 5

W

YBOCZENIE

Wyboczenie

to niekontrolowane ugi

ę

cie osiowo

ś

ciskanego pr

ę

ta.

Teoretycznie, gdy pr

ę

t jest idealnie symetryczny, a

siła

ś

ciskaj

ą

ca idealnie osiowa i centryczna,

wyboczenie nie ma prawa wyst

ą

pi

ć

.

W rzeczywistych układach taki warunek jest jednak

bardzo rzadko spełniony.

WYBOCZENIE

Przy rozpatrywaniu zagadnienia

ś

ciskania ciał

zakładali

ś

my,

ż

e

ś

ciskaj

ą

ca siła P działa

równomiernie na wszystkie przekroje poprzeczne

ś

ciskanego ciała.

Zało

ż

enie takie mo

ż

e mie

ć

miejsce tylko w tym

przypadku, je

ż

eli:

W

ARUNKI BRAKU WYBOCZENIA

Materiał

ś

ciskany jest wsz

ę

dzie jednorodny,

Ś

ciskaj

ą

ca siła P działa

ś

ci

ś

le w kierunku

geometrycznej osi ciała,

Nie wyst

ę

puj

ą

ż

adne siły, które działałyby nie w

kierunku geometrycznej osi ciała.

Pr

ę

ty zawsze maj

ą

pewne niedokładno

ś

ci

wykonania, siły mog

ą

by

ć

przykoszone lub obci

ąż

a

ć

pr

ę

ty ekscentrycznie.

W takiej sytuacji przy odpowiednio du

ż

ym

obci

ąż

eniu, wi

ę

kszym ni

ż

obci

ąż

enie dopuszczalne

P

dop

, istnieje niebezpiecze

ń

stwo wyboczenia.

spr

ęż

yste

, to znaczy takie, gdy po odci

ąż

eniu pr

ę

ta

wraca on do pierwotnego, wyprostowanego

kształtu, lub

Wyboczenie mo

ż

e by

ć

:

niespr

ęż

yste

, gdy pr

ę

t utrzymuje swój wyboczony

kształt tak

ż

e po odci

ąż

eniu.

O

BCI

Ąś

ENIE DOPUSZCZALNE

Obci

ąż

enie dopuszczalne oblicza si

ę

ze wzoru:

n

kryt

dop

P

P

=

gdzie:

P

kryt

– obci

ąż

enie krytyczne,

n

– współczynnik bezpiecze

ń

stwa.

Współczynnik bezpiecze

ń

stwa – liczba niemianowana (dla materiałów

elastycznych od 1,5 do 3, dla materiałów kruchych od 8 do 12) mówi

ą

ca,

ile razy napr

ęż

enie

σ

wyst

ę

puj

ą

ce podczas normalnej pracy konstrukcji

jest mniejsze od napr

ęż

enia niebezpiecznego

σ

n

.

D

ŁUGO

ŚĆ

WYBOCZENIOWA

Innym wa

ż

nym parametrem

ś

ciskanego pr

ę

ta, ze

wzgl

ę

du na wyboczenie jest jego

długo

ść

wyboczeniowa

l

l

w

⋅

=

µ

µ

– współczynnik zale

ż

ny od sposobu podparcia (mocowania pr

ę

ta) na

obu ko

ń

cach;

obu ko

ń

cach;

l

– długo

ść

pr

ę

ta.

S

MUKŁO

ŚĆ

PR

Ę

TA

Smukło

ść

pr

ę

ta to bezwymiarowa liczba:

min

i

l

w

=

λ

gdzie:

l

– długo

ść

wyboczeniowa, [m];

gdzie:

l

w

– długo

ść

wyboczeniowa, [m];

i

min

– najmniejszy promie

ń

bezwładno

ś

ci przekroju [m]

wyznaczony z zale

ż

no

ś

ci:

A

I

i

min

min

=

gdzie:

I

min

– najmniejszy główny centralny moment bezwładno

ś

ci

przekroju [m

4

];

A

– pole przekroju [m

2

]

S

MUKŁO

ŚĆ

GRANICZNA

Dla wi

ę

kszo

ś

ci materiałów, smukło

ś

ci

ą

graniczn

ą

dla wyboczenia niespr

ęż

ystego jest

E

⋅

=

π

λ

n

R

⋅

=

π

λ

gdzie:

E

– współczynnik spr

ęż

ysto

ś

ci wzdłu

ż

nej ,

R

n

– maksymalne napr

ęż

enie, dla którego mo

ż

na przyj

ąć

wa

ż

no

ść

prawa Hooke’a.

Dla wyboczenia spr

ęż

ystego mo

ż

na wyznaczy

ć

sił

ę

krytyczn

ą

z zale

ż

no

ś

ci:

S

MUKŁO

ŚĆ

GRANICZNA

min

2

I

E

⋅

⋅









=

π

P

2

min

l

I

E

kryt

⋅

⋅













=

µ

π

P

P

RZYKŁAD

Pr

ę

t o przekroju prostok

ą

tnym utwierdzony dolnym

ko

ń

cem jest obci

ąż

ony na swobodnym, górnym

ko

ń

cu sił

ą

F

. Zaprojektowa

ć

wymiary pr

ę

ta na

podstawie kryterium wyboczenia.

Dane:

F

= 550 kN,

l

= 50 cm, stałe materiałowe dla

stali w

ę

glowej (o zawarto

ś

ci 0,28-0,37% C)

a

= 463

MPa,

b

= 3,62 MPa,

E

= 200000 MPa,

l

gr

= 100 oraz

n

w

= 3.

Kryterium wyboczenia pr

ę

ta:

n

F

F

kryt

dop

=

Poniewa

ż

geometryczny moment bezwładno

ś

ci

wzgl

ę

dem osi

y

jest mniejszy ni

ż

moment

wzgl

ę

dem osi

y

jest mniejszy ni

ż

moment

bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

z

, to utrata

stateczno

ś

ci pr

ę

ta nast

ą

pi w płaszczy

ź

nie

xz

, a

wi

ę

c kryterium wyboczenia Eulera przyjmie

posta

ć

:

2

2

w

y

l

n

I

E

F

⋅

⋅

⋅

≤

π

gdzie: geometryczny moment bezwładno

ś

ci dla

przekroju prostok

ą

tnego:

6

12

2

4

3

h

h

h

I

y

=

⋅

⋅

=

długo

ść

wyboczeniowa pr

ę

ta (zamocowanie

długo

ść

wyboczeniowa pr

ę

ta (zamocowanie

sztywne pr

ę

ta) wynosi:

l

l

l

w

⋅

=

⋅

=

2

µ

wówczas:

( )

6

2

2

4

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

≤

l

n

h

E

F

π

st

ą

d:

4

2

2

24

E

l

n

F

h

⋅

⋅

⋅

⋅

≥

π

czyli:

cm

7

,

4

≥

h

Załó

ż

my,

ż

e wymiar

h

= 4,7 cm.

Załó

ż

my,

ż

e wymiar

h

= 4,7 cm.

Smukło

ść

pr

ę

ta:

3

,

73

3

4

2

1

6

2

2

4

min

min

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

h

l

h

h

l

A

I

l

i

l

w

w

λ

Poniewa

ż

smukło

ść

pr

ę

ta przy wymiarze h = 4,7 cm jest mniejsza od

smukło

ś

ci granicznej

l

gr

<

l

, to obliczenia nale

ż

y powtórzy

ć

przy

zastosowaniu

wzoru Tetmajera-Jasi

ń

skiego

.

Kryterium wyboczenia pr

ę

ta przy zastosowaniu

wzoru Tetmajera-Jasi

ń

skiego

n

kryt

σ

σ

≤

n

b

a

A

F

λ

⋅

−

≤

czyli

Po podstawieniu:

l

Po podstawieniu:

h

l

h

A

3

4

;

2

2

=

⋅

=

λ

otrzymujemy zale

ż

no

ść

:

n

h

l

b

a

h

F

3

4

2

2

⋅

−

≤

⋅

st

ą

d:

po podstawieniu danych nierówno

ść

ma posta

ć

: