OKRĄG WPISANY I OPISANY NA TRÓJKĄCIE RÓWNOBOCZNYM

przykład 1 Skonstruuj trójkąt równoboczny, następnie wykonaj na tym trójkącie konstrukcję
okręgu wpisanego i opisanego. (rys. poniżej)

oznaczenia:
a – bok trójkąta
h – wysokość trójkąta
R – promień okręgu opisanego na
trójkącie
r – promień okręgu wpisanego w
trójkąt

W trójkącie równobocznym zachodzą następujące wzory:

2

3

,

4

3

2

a

h

a

P

=

=

(wzory te można uzasadnić stosując np. twierdzenie Pitagorasa)

WŁASNOŚĆ: Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w punkcie, który dzieli
je w stosunku 2:1.

WNIOSKI:

h

r

h

R

r

R

3

1

,

3

2

,

2

=

=

=

przykład 2 Bok trójkąta równobocznego ma długość 6cm. Oblicz:
a) pole koła opisanego na tym trójkącie
b) długość okręgu wpisanego w ten trójkąt

rozwiązanie:

a)

2

3

,

3

2

,

2

a

h

h

R

R

P

o

=

=

=

π

zatem

2

2

0

8

)

2

2

(

2

2

2

3

3

2

2

3

2

3

6

cm

P

R

h

π

π

=

=

=

⋅

=

=

=

odp. Pole koła opisanego na tym trójkącie wynosi

2

8

cm

π

b)

2

3

,

3

1

,

2

a

h

h

r

r

L

o

=

=

=

π

zatem:

2

3

=

h

-> wysokość została obliczona w pkt. a)

cm

L

r

o

π

π

2

2

2

2

2

2

3

3

1

=

⋅

=

=

⋅

=

odp. Długość okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi

cm

π

2

2

ZADANIA

1. Pole trójkąta równobocznego wynosi

2

3

16

cm

. Oblicz

a) Pole koła wpisanego w ten trójkąt
b) długość okręgu opisanego na tym trójkącie


2. Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym wynosi

2

25 cm

π

. Oblicz

a) Pole tego trójkąta
b) Pole koła wpisanego w ten trójkąt


3. Długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi

cm

π

16

. Oblicz

a) Pole tego trójkąta
b) Pole koła opisanego na tym trójkącie