Adam Zaborski – matematyka stosowana i metody numeryczne – metoda różnic skończonych

Metoda różnic skończonych

1. Postawienie problemu

Metodą różnic skończonych określmy ugięcie wspornika, obciążonego na końcu siłą
skupioną:

L

P

w(0)=0

w’(0)=0

w’’(L)=0

w’’’(L)=P

Dane: L = 4 [m], P = 100 [kN], E = 210 [GPa], I = 1·10

-4

[m

4

].

2. Zapis matematyczny

Jak wiadomo, zagadnienie brzegowe składa się z równania różniczkowego i warunków
brzegowych. Dla belki są to:
−

równanie różniczkowe linii ugięcia (liniowe 4. rzędu)

)

(

)

(

x

q

x

EIw

vi

=

−

kinematyczne warunki brzegowe

0

)

0

(

'

)

0

(

=

=

w

w

−

statyczne warunki brzegowe

0

)

(

'

'

=

L

EIw

, (moment, a więc i krzywizna

1

, na wolnym końcu są równe zero)

P

L

EIw

=

)

(

'

'

'

, (siła poprzeczna w belce)

3. Dyskretyzacja problemu

Dyskretyzacja polega na poszukiwaniu rozwiązania równania jedynie w określonych
punktach (jest to tzw. metoda kollokacji). Ponieważ mamy równanie różniczkowe 4. rzędu,
posłużymy się aproksymacją 4-go stopnia za pomocą 5-cio węzłowej gwiazdy (five-point
stencil):

Rozwijając funkcję aproksymacyjną w szereg Taylora, otrzymujemy wzory na pochodne:

[

]

)

5

(

1

8

0

8

1

12

1

'

w

⋅

−

−

=

h

w

[

]

)

5

(

2

1

16

30

16

1

12

1

'

'

w

⋅

−

−

−

=

h

w

[

]

)

5

(

3

1

2

0

2

1

2

1

'

'

'

w

⋅

−

−

=

h

w

[

]

)

5

(

4

1

4

6

4

1

1

w

⋅

−

−

=

h

w

iv

1

Związek między momentem a krzywizną ma postać:

EI

M

=

κ

Adam Zaborski – matematyka stosowana i metody numeryczne – metoda różnic skończonych

4. Program obliczeniowy

4.1. Dzielimy belkę na n przedziałów, wprowadzając dodatkowo po dwa węzły fikcyjne na

obu końcach belki:

n+1

1, 2, 3

m-2,m-1,m

m = n+5

4.2. Tworzymy macierz współczynników a, uwzględniającą warunki brzegowe dla węzłów

zewnętrznych i równanie różnicowe dla wewnętrznych węzłów

a(i,i-2:i+2) = [1 -4 6 -4 1] % r. różn.

4.3. Tworzymy wektor prawych stron b, (tylko jedna składowa różna od zera)
4.4. Dokonujemy standaryzacji równań, starając się aby rezidua wszystkich równań były

podobnego rzędu (np. poprzez wprowadzenie wielkości bezwymiarowych)

4.5. Rozwiązujemy układ równań

w = a \ b

ugięcie pod siłą

1016

.

0

2

=

−

m

w

[m]

4.6. Rysujemy wykres ugięć

plot(h*(0:n),w(3:m-2))

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

ugięcia wspornika

x [m]

w

[

m

]

4.7. Wynik sprawdzamy metodą analityczną

(obliczenia metodą Mohra: belka fikcyjna – odwrócony wspornik – obciążona trójkątnym
momentem dzielonym przez EI):

1016

.

0

10

1

10

210

3

4

10

100

3

3

2

2

1

)

(

4

9

3

3

3

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

=

−

EI

PL

L

L

EI

PL

L

w

[m]

(rozwiązanie numeryczne jest dokładne z uwagi na przyjęty stopień aproksymacji).