Określenie niepewności maksymalnych wielkości mierzonych pośrednio

Uwaga:

W przykładach zamieszczonych poniżej wszystkie dane są zaczerpnięte ze sprawozdań studentów, którzy wykonywali dane ćwiczenia we wcześniejszych latach. Nie należy się sugerować ani wynikami pomiarów, ani uzyskanymi w przykładach wynikami obliczeń. Przykłady te służą wyłącznie zademonstrowaniu użycia rzeczywistych wyników eksperymentalnych do opracowania wyników doświadczenia.

W większości pomiarów mamy do czynienia z pomiarem pośrednim, tzn. poszukiwana wielkość fizyczna jest funkcja jednej lub kilku wielkości mierzonych bezpośrednio y=f(u,v,...,z). W tym przypadku niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio
,
, ...,
określa się według reguł dla pomiarów bezpośrednich a następnie przy pomocy tych niepewności oraz zależności funkcyjnej y=f(u,v,...,z) określa się niepewność maksymalną
.

Metoda różniczki zupełnej

Metoda ta opiera się na tym, że zmianę wartości funkcji spowodowanej niewielką zmianą jej zmiennych można przedstawić za pomocą różniczki zupełnej:

Jeżeli różniczki du, dv, ..., dz zastąpimy niepewnościami pomiarowymi
,
, ...,
to tak obliczona wielkość wyrazi maksymalną niepewność
wielkości y:

Wzięto wartości bezwzględne po to, by otrzymana w ten sposób niepewność była rzeczywiście niepewnością maksymalną.

PRZYKŁAD 1:

Wyznaczanie ciepła topnienia lodu przy pomocy kalorymetru (ćwiczenie C1):

Przypuśćmy, że wykonując ćwiczenie C1 student otrzymał następujące wyniki:

mk [kg]	ck [ ]	mw [kg]	cw [ ]	T0 [K]	T1 [K]	T2 [K]	ml [kg]
0.0927	896	0.141	4190	273	291	288	0.0045

Czcionką wytłuszczoną zaznaczono wielkości mierzone bezpośrednio.

Niepewności pomiarowe:

Δm_k=10^-4 kg

Δm_w= Δm_l=2⋅10^-4 kg

ΔT₁=ΔT₂=1 K

Ciepło topnienia lodu obliczamy korzystając ze wzoru:

Podstawiając dane z tabeli otrzymujemy:

Określamy niepewność pomiaru metodą różniczki zupełnej:

Obliczamy różniczki cząstkowe:

Biorąc pod uwagę powyższe zależności oraz wartości niepewności pomiarowych Δm_k,

Δm_w, Δm_l, ΔT₁, ΔT₂ obliczamy Δc_l.

UWAGA!

Jest to przykład, w którym oszacowana niepewność pomiaru jest prównywalna z uzyskaną w doświadczeniu wartością c_l. W sprawozdaniu należałoby więc przeprowadzić wnikliwą dyskusję otrzymanych wyników ze wskazaniem źródeł popełnionych błędów.

PRZYKŁAD 2:

Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa (ćwiczenie M6).

Wielkościami mierzonymi bezpośrednio w ćwiczeniu M6 są: r, s, t i m (masa kulki).

Współczynnik lepkości obliczamy ze wzoru:

gdzie

Po podstawieniu i przekształceniach otrzymamy:

Zakładając, że otrzymano następujące wyniki (średnie wartości z kilku pomiarów):

m_k=0.341 g, R=0.042 m, s=28 cm, r=4.11⋅10^-3 m, t=5.43 s otrzymamy wartość współczynnika lepkości dla parafiny (zakładamy, że gęstość parafiny wynosi 800 kg/m³):

Obliczamy niepewność
:

Obliczamy kolejne różniczki cząstkowe:

Ostatecznie:

Zatem:

---