Zastosowanie rachunku

macierzowego w mechanice

1.

Metoda różnic skończonych

Problem: Jak przedstawić ciągłe (nieskończone)
zagadnienie opisane równaniem różniczkowym, w
postaci dyskretnej (nieciągłej)

że spełniony jest następujący układ równań:

Rozwiązując powyższy układ równań,

otrzymujemy:

otrzymamy:

Stąd

I

oraz

II

różnica skończona przybiera postać:

Analogicznie można zbudować

III

oraz

IV

różnice

skończone :

2)

Metoda różnic skończonych:

1-szy przykład

zastosowania

gdzie:

M

k

- moment siły w k-tym przekroju

belki (obciążenie belki)

E

- moduł Younga (materiał belki)

J

k

- moment bezwładności k-tym

przekroju belki



x

- skala podziału belki (przyjęta z

góry)

Przykład:

Zbadać ugięcie belki (rys)

gdzie:

a) dana belka

b) wykres momentów

c) ugięcie belki

zał.:

Z rys a) określamy wartość momentów w p. 1, 2,.....,5

Wyznaczamy równania różnicowe w p. 1,

2, 3, 4, 5 :

Daje to następujący układ równań:

układ 5 równań z 5 niewiadomymi

W postaci macierzowej:

Rozwiązanie (np. za pomocą pakietu Mathematica 2.2):

Więc

ostatecznie:

co jest wynikiem ścisłym (zgodnym z obliczeniami
analitycznymi)

Wniosek:

Dokonano

"prawidłowej"

dyskretyzacji belki - dobrano

właściwą ilość punktów k = 1....6.

Uwaga:

3)

Metoda różnic skończonych:

2-gi przykład zastosowania

Poszczególne różnice skończone w tym punkcie obliczamy:

Wstawiając do (#) uzyskane wyniki, otrzymujemy:

Jest to postać różnicowa cząstkowego równania
różniczkowego ugięcia jednorodnej płyty, poddanej
zewnętrznemu obciążeniu p., przy założeniu, że



x=



y (stała

siatka podziału)

Rozpisując równania różnicowe dla poszczególnych węzłów
siatki podziału płyty należy uwzględnić

warunki brzegowe

w

postaci różnicowej.