Zastosowanie rachunku 

macierzowego w mechanice

 

 

 

1. 

Metoda   różnic  skończonych

 

  

Problem: Jak przedstawić ciągłe (nieskończone) 
zagadnienie opisane równaniem różniczkowym, w 
postaci dyskretnej (nieciągłej)

 

 

 

     że spełniony jest następujący układ równań: 

 

  

 

  

Rozwiązując powyższy układ równań, 

otrzymujemy:

 

 

       otrzymamy:

 

 

Stąd 

I

 oraz 

II

 różnica skończona przybiera postać:

 

 

Analogicznie można zbudować 

III

 oraz 

IV

 różnice 

skończone :

 

2) 

Metoda różnic skończonych:

 1-szy przykład 

zastosowania

 

 

gdzie:

 

M

k

 - moment siły w k-tym przekroju 

belki (obciążenie belki)

 

E

 - moduł Younga (materiał belki)

 

J

k

 - moment bezwładności k-tym 

przekroju belki 

 



 x 

- skala podziału belki (przyjęta z 

góry)

 

Przykład:

 

Zbadać ugięcie belki (rys)

 

 

gdzie:

 

a) dana belka

 

b) wykres momentów

 

c) ugięcie belki

 

        zał.:

 

 

Z rys a) określamy wartość momentów w p. 1, 2,.....,5

 

Wyznaczamy równania różnicowe w p. 1, 

2, 3, 4, 5 :

 

 

 

Daje to następujący układ równań:

 

 

 

              układ 5 równań z 5 niewiadomymi

 

  

  W postaci macierzowej:

 

 

 

 

Rozwiązanie (np. za pomocą pakietu Mathematica 2.2):

 

 

Więc 

ostatecznie:

 

co jest wynikiem ścisłym (zgodnym z obliczeniami 
analitycznymi)

 

Wniosek:

 

Dokonano 

"prawidłowej"

 dyskretyzacji belki - dobrano 

właściwą ilość punktów k = 1....6.

 

  

Uwaga:

 

 

 

 

3) 

Metoda różnic skończonych:

 2-gi przykład zastosowania

 

 

 

 

Poszczególne różnice skończone   w   tym punkcie obliczamy:

 

 

 

 

 

Wstawiając do (#) uzyskane wyniki, otrzymujemy:

 

 

Jest to postać różnicowa cząstkowego równania 
różniczkowego ugięcia jednorodnej płyty, poddanej 
zewnętrznemu obciążeniu p., przy założeniu, że 



 x=



 y (stała 

siatka podziału)

 

Rozpisując równania różnicowe dla poszczególnych węzłów 
siatki podziału płyty należy uwzględnić 

warunki brzegowe

 w 

postaci różnicowej.