Metoda Różnic Skończonych MRS przykład

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

2 m

4 m

q = 5kN/m

EJ

EJ

Belka wykonana z dwuteownika IPE 200

2

8

10

1

,

2

210

m

kN

GPa

E

4

8

4

10

2140

2140

m

cm

J

x

2

4494 kNm

EJ


I.

ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE


Do rozwiązania belki wykorzystujemy zależności różniczkowe.

dx

x

dT

x

q

)

(

)

(

dx

x

dM

x

T

)

(

)

(

EJ

dx

x

d

x

M

)

(

)

(

dx

x

dw

x

)

(

)

(

A więc:

dx

x

q

x

T

)

(

)

(

dx

x

T

x

M

)

(

)

(

dx

x

M

EJ

x

)

(

1

)

(

dx

x

x

w

)

(

)

(


Równania te musimy rozpisać dla wszystkich przedziałów zmienności obciążenia i sztywności. Nasz
przykładowa belka ma stała sztywność na całej długości, ale możemy wyróżnić dwa przedziały zmienności
obciążenia a mianowicie przedział A-B i przedział B-C. Musimy, zatem rozpisać wszystkie równania
osobno dla obu przedziałów.

PRZEDZIAŁ A-B

1

0

)

(

)

(

C

dx

dx

x

q

x

T

)

(

)

(

)

(

2

1

1

1

C

x

C

dx

C

dx

C

dx

x

T

x

M

)

2

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

3

2

2

1

2

1

2

1

C

x

C

x

C

EJ

dx

C

x

C

EJ

dx

C

x

C

EJ

dx

x

M

EJ

x

)

2

6

(

1

)

2

(

1

)

2

(

1

)

(

)

(

4

3

2

2

3

1

3

2

2

1

3

2

2

1

C

x

C

x

C

x

C

EJ

dx

C

x

C

x

C

EJ

dx

C

x

C

x

C

EJ

dx

x

x

w

PRZEDZIAŁ B-C

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

)

5

(

5

)

(

)

(

1

D

x

dx

dx

x

q

x

T

)

2

5

(

)

5

(

)

5

(

)

(

)

(

2

1

2

1

1

D

x

D

x

dx

D

x

dx

D

x

dx

x

T

x

M

)

2

6

5

(

1

)

2

5

(

1

)

2

5

(

1

)

(

1

)

(

3

2

2

1

3

2

1

2

2

1

2

D

x

D

x

D

x

EJ

dx

D

x

D

x

EJ

dx

D

x

D

x

EJ

dx

x

M

EJ

x

)

2

6

24

5

(

1

)

2

6

5

(

1

)

2

6

5

(

1

)

(

)

(

4

3

2

2

3

1

4

3

2

2

1

3

3

2

2

1

3

D

x

D

x

D

x

D

x

EJ

dx

D

x

D

x

D

x

EJ

dx

D

x

D

x

D

x

EJ

dx

x

x

w


Otrzymaliśmy 8 równań z 8 niewiadomymi (stałymi całkowania), które musimy wyznaczyć korzystając
z warunków brzegowych oraz warunków zgodności w punkcie B, który leży na granicy przyjętych
przedziałów całkowania.

Warunki brzegowe

1)

0

)

(

0

x

x

(przedział A-B)

Kąt obrotu w miejscu utwierdzenia jest równy zero

)

2

(

1

)

(

3

2

2

1

C

x

C

x

C

EJ

x

0

)

0

2

0

(

1

3

2

2

1

C

C

C

EJ

0

3

C


2)

0

)

(

0

x

w

x

(przedział A-B)

Ugięcie w miejscu gdzie mamy podporę jest równe zero

)

2

6

(

1

)

(

4

3

2

2

3

1

C

x

C

x

C

x

C

EJ

x

w

0

)

0

2

0

6

0

(

1

4

3

2

2

3

1

C

C

C

C

EJ

0

4

C


3)

0

)

(

6

x

T

x

(przedział B-C)

Wartość siły tnącej na końcu wspornika jest równa zero (nie występuje tam obciążenie w postaci siły
skupionej)

)

5

(

)

(

1

D

x

x

T

0

)

6

5

(

1

D

0

6

5

1

D

30

1

D


4)

0

)

(

6

x

M

x

(przedział B-C)

Wartość momentu zginającego na końcu wspornika jest równa zero (nie występuje tam obciążenie
w postaci momentu skupionego)

)

2

5

(

)

(

2

1

2

D

x

D

x

x

M

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

0

)

6

)

30

(

2

6

5

(

2

2

D

0

)

6

)

30

(

2

6

5

(

2

2

D

0

180

90

2

D

90

2

D


Warunki zgodności w punkcie B

5)

P

L

x

T

x

T

x

)

(

)

(

2

W punkcie B jest przyłożone obciążenie zewnętrzne w postaci siły skupionej P=10kN, o której to
wartość na wykresie sił tnących wystąpi skok.

1

)

(

C

x

T

L

)

5

(

)

(

1

D

x

x

T

P

))

30

(

2

5

(

1

C

20

1

C

20

1

C


6)

P

L

x

M

x

M

x

)

(

)

(

2

W punkcie B nie jest przyłożone obciążenie zewnętrzne w postaci momentu skupionego, dlatego też
na wykresie momentów zginających nie wystąpi skok, czyli wartość z jednej i drugiej strony punktu
B muszą być sobie równe.

)

(

)

(

2

1

C

x

C

x

M

L

)

2

5

(

)

(

2

1

2

D

x

D

x

x

M

P

)

90

2

)

30

(

2

2

5

(

)

2

)

20

((

2

2

C

)

90

60

10

(

40

2

C

80

2

C


7)

P

L

x

x

x

)

(

)

(

2

W punkcie B nie występuje przegub i dlatego kąt obrotu po jednej i po drugiej jego stronie muszą
być sobie równe.

)

2

(

1

)

(

3

2

2

1

C

x

C

x

C

EJ

x

L

)

2

6

5

(

1

)

(

3

2

2

1

3

D

x

D

x

D

x

EJ

x

P

)

2

90

2

2

)

30

(

6

2

5

(

1

)

0

2

80

2

2

)

20

((

1

3

2

3

2

D

EJ

EJ

3

180

60

3

20

0

160

40

D

67

,

6

3

20

3

D


8)

P

L

x

w

x

w

x

)

(

)

(

2

W punkcie B ugięcie po jednej i po drugiej stronie musza być sobie równe

gdyż inna sytuacja świadczyłaby o przerwaniu (zniszczeniu) belki.

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

)

2

6

(

1

)

(

4

3

2

2

3

1

C

x

C

x

C

x

C

EJ

x

w

L

)

2

6

24

5

(

1

)

(

4

3

2

2

3

1

4

D

x

D

x

D

x

D

x

EJ

x

w

P

)

2

6

24

5

(

1

)

2

6

(

1

4

3

2

2

3

1

4

4

3

2

2

3

1

D

x

D

x

D

x

D

x

EJ

C

x

C

x

C

x

C

EJ

4

2

3

4

2

3

2

)

3

20

(

2

2

90

6

2

)

30

(

24

2

5

0

2

0

2

2

80

6

2

)

20

(

D

4

3

40

180

40

3

10

0

0

160

3

80

D

3

10

4

D

Po wyliczeniu wartości wszystkich stałych całkowania możemy zapisać kompletne równania równań dla
obu przedziałów.

PRZEDZIAŁ A-B

20

)

(

x

T

80

20

)

80

20

(

)

(

x

x

x

M

)

80

10

(

1

)

0

80

2

)

20

((

1

)

(

2

2

x

x

EJ

x

x

EJ

x

)

40

3

10

(

1

)

0

0

2

80

6

)

20

((

1

)

(

2

3

2

3

x

x

EJ

x

x

x

EJ

x

w


PRZEDZIAŁ B-C

30

5

))

30

(

5

(

)

(

x

x

x

T

90

30

5

,

2

)

90

)

30

(

2

5

(

)

(

2

2

x

x

x

x

x

M

)

3

20

90

15

6

5

(

1

)

3

20

90

2

)

30

(

6

5

(

1

)

(

2

3

2

3

x

x

x

EJ

x

x

x

EJ

x

)

3

10

3

20

45

5

24

5

(

1

))

3

10

(

)

3

20

(

2

90

6

)

30

(

24

5

(

1

)

(

2

3

4

2

3

4

x

x

x

x

EJ

x

x

x

x

EJ

x

w


Możemy, zatem narysować wykresy T, M,

, w dla naszej belki.

Przedstawione poniżej wykresy są wykonane dla dyskretnych wartości x, co 0,25m.

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie


II.

ROZWIĄZANIE METODĄ RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

Istota tej metody polega na zamianie operatorów różniczkowych na odpowiednie operatory różnicowe,
określone na dyskretnym zbiorze punktów izolowanych. Zbiór ten nazywamy siatka a jego elementy
węzłami. Dzięki takiej aproksymacji funkcji i jej pochodnych, wyjściowe zagadnienie brzegowe zostaje
sprowadzone do układu równań algebraicznych, w których niewiadomymi są dyskretne wartości funkcji.

2 m

4 m

q = 5kN/m

EJ

EJ

Analizę rozpoczynamy od utworzenia na belce siatki węzłów osobno dla każdego przedziału całkowania.
Wprowadzamy węzły „rzeczywiste” (te na elementach belki 0, 1, …, 8 oraz 13, 14, …, 29) oraz
„nierzeczywiste” (te poza elementami belki -2, -1, 9, 10, 11, 12, 30, 31) w odległości

x. W tym

przykładzie przyjęto

x

1

=0,25m z uwagi na to, iż w miarę dobre rozwiązania uzyskuje się przy liczbie

węzłów dla jednego przedziału całkowania wynoszącej 8.

Następnie w każdym węźle leżącym na belce zapisujemy równanie różniczkowe belki zastępując różniczki
różnicami skończonymi. Podobnie postępujemy z warunkami brzegowymi.

2 m

4 m

q = 5kN/m

EJ

EJ

A

B

C

A

B

B

C

0

4

8

x=0,25m

2

-1

1

3

10

9

5

6

7

-2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

25 26 27 28 29

22 23 24

30 31

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie


Operatory różnicowe

i-1

i-2

i

i+1

i+2


Wychodząc z definicji pochodnej otrzymujemy kolejne różnice w węźle

x

x

w

dx

dw

x

)

(

lim

0

Pierwsza różnica w węźle i

)

(

2

1

1

1

i

i

i

w

w

x

w

Druga różnica w węźle i

)

2

(

1

1

1

2

2

i

i

i

i

w

w

w

x

w

Trzecia różnica w węźle i

)

2

2

(

2

1

2

1

1

2

3

3

i

i

i

i

i

w

w

w

w

x

w

Czwarta różnica w węźle i

)

4

6

4

(

1

2

1

1

2

4

4

i

i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

x

w

Równanie różniczkowe belki

EJ

x

q

dx

w

d

)

(

4

4


Równanie różniczkowe belki zamieniamy na układ równań różnicowych zapisanych dla kolejnych węzłów
„rzeczywistych” rozwiązywanej belki.

EJ

x

q

dx

w

d

)

(

4

4

a więc

EJ

x

q

w

i

)

(

4

Przy wyznaczaniu warunków brzegowych korzystamy z zależności różniczkowych:

dx

dw

a więc

i

i

w

Kąt obrotu w węźle i jest równy w przybliżeniu pierwszej różnicy w węźle i

EJ

dx

w

d

EJ

dx

dx

dw

d

EJ

dx

d

M

2

2

)

(

a więc

EJ

w

M

i

i



2

Moment zginający w węźle i jest równy w przybliżeniu ujemnej drugiej różnicy w węźle i przemnożonej
przez EJ

EJ

dx

w

d

dx

EJ

dx

w

d

d

dx

dM

T

3

3

2

2

)

(

a więc

EJ

w

T

i

i



3

Siła tnąca w węźle i jest równa w przybliżeniu ujemnej wartości trzeciej różnicy w węźle i

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

PODSUMOWUJĄC

Pierwsza różnica w węźle i

)

(

2

1

1

1

i

i

i

w

w

x

w

i

i

w

Druga różnica w węźle i

)

2

(

1

1

1

2

2

i

i

i

i

w

w

w

x

w

EJ

M

w

i

i

2

Trzecia różnica w węźle i

)

2

2

(

2

1

2

1

1

2

3

3

i

i

i

i

i

w

w

w

w

x

w

EJ

T

w

i

i

3

Czwarta różnica w węźle i

)

4

6

4

(

1

2

1

1

2

4

4

i

i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

x

w

EJ

q

w

i

i

4


2 m

4 m

q = 5kN/m

EJ

EJ

A

B

C

A

B

B

C

0

4

8

x=0,25m

2

-1

1

3

10

9

5

6

7

-2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

25 26 27 28 29

22 23 24

30 31

Wracając, zatem do naszego przykładu rozpisujemy równania różnicowe dla kolejnych „rzeczywistych”
węzłów obu przedziałów naszej belki.

EJ

q

w

w

w

w

w

x

w

i

i

i

i

i

i

i

)

4

6

4

(

1

2

1

1

2

4

4



background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

PRZEDZIAŁ I (A-B)

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

2

1

0

1

2

4

0

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

1

0

1

2

3

4

1

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

0

1

2

3

4

4

2

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

1

2

3

4

5

4

3

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

2

3

4

5

6

4

4

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

3

4

5

6

7

4

5

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

4

5

6

7

8

4

6

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

5

6

7

8

9

4

7

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

0

)

4

6

4

(

25

,

0

1

6

7

8

9

10

4

8

4

m

kN

q

m

x

0

,

25

,

0


PRZEDZIAŁ II (B-C)

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

11

12

13

14

15

4

13

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

12

13

14

15

16

4

14

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

13

14

15

16

17

4

15

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

14

15

16

17

18

4

16

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

15

16

17

18

19

4

17

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

16

17

18

19

20

4

18

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

17

18

19

20

21

4

19

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

18

19

20

21

22

4

20

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

19

20

21

22

23

4

21

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

20

21

22

23

24

4

22

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

21

22

23

24

25

4

23

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

22

23

24

25

26

4

24

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

23

24

25

26

27

4

25

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

24

25

26

28

28

4

26

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

25

26

27

28

29

4

27

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

26

27

28

29

30

4

28

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0

EJ

w

w

w

w

w

w

5

)

4

6

4

(

25

,

0

1

27

28

29

30

31

4

29

4

m

kN

q

m

x

5

,

25

,

0


Rozpisujemy następnie warunki brzegowe dla naszej belki

1)

0

0

w

Ugięcie w węźle 0 jest równe, 0 ponieważ w tym miejscu jest podpora z zablokowanym
przesuwem na tym kierunku.

2)

0

0

w

Kąt obrotu węźle 0 jest równy zero, bo w tym miejscu jest utwierdzenie, czyli
zablokowany obrót.

0

)

(

25

,

0

2

1

1

1

w

w

0

1

1

w

w

3)

0

29

3

EJ

w

Siła tnąca w węźle 29 (prawy koniec belki) wynosi 0

0

)

2

2

(

25

,

0

2

1

27

28

30

31

3

EJ

w

w

w

w

0

2

2

27

28

30

31

w

w

w

w

4)

0

29

2

EJ

w

Moment zginający w węźle 29 (prawy koniec belki) wynosi 0

0

)

2

(

25

,

0

1

28

29

30

2

EJ

w

w

w

0

2

28

29

30

w

w

w

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

W kolejnym kroku rozpisujemy warunki zgodności dla naszej belki

5)

13

8

w

w

Ugięcie w węźle 8 jest równe ugięciu w węźle 13. Jest to ten sam punkt rzeczywisty na belce

i ugięcie musi być, zatem jednakowe. Niespełnienie tego warunku oznaczałoby przerwanie
belki.

0

13

8

w

w

6)

13

8

w

w

Kąt obrotu węźle 8 jest równy kątowi obrotu w węźle 13 (ponieważ nie występuje tam

przegub).

)

(

25

,

0

2

1

)

(

25

,

0

2

1

12

14

7

9

w

w

w

w

/

25

,

0

2

)

(

)

(

12

14

7

9

w

w

w

w

0

12

14

7

9

w

w

w

w

7)

EJ

w

EJ

w



13

3

8

3

Siła tnąca w węźle 8 jest równa sile tnącej w węźle 13

EJ

w

w

w

w

EJ

w

w

w

w

)

2

2

(

25

,

0

2

1

)

2

2

(

25

,

0

2

1

11

12

14

15

3

6

7

9

10

3

11

12

14

15

6

7

9

10

2

2

2

2

w

w

w

w

w

w

w

w

0

2

2

2

2

11

12

14

15

6

7

9

10

w

w

w

w

w

w

w

w

8)

EJ

w

EJ

w



13

2

8

2

Moment zginający w węźle 8 jest równy momentowi zginającemu

w węźle 18. Na granicy przedziałów całkowania, czyli w punkcie B,
na wykresie momentów zginających nie występuje skok, gdyż nie
ma tam przyłożonego momentu skupionego.

)

2

(

25

,

0

1

)

2

(

25

,

0

1

12

13

14

2

7

8

9

2

w

w

w

w

w

w

/

2

25

,

0

)

2

(

)

2

(

12

13

14

7

8

9

w

w

w

w

w

w

0

2

2

12

13

14

7

8

9

w

w

w

w

w

w


W ten sposób otrzymaliśmy układ 34 równań z 34 niewiadomymi (równania powyżej zapisane
w ramkach), który musimy rozwiązać:
1)

0

4

6

4

2

1

0

1

2

w

w

w

w

w

2)

0

4

6

4

1

0

1

2

3

w

w

w

w

w

3)

0

4

6

4

0

1

2

3

4

w

w

w

w

w

4)

0

4

6

4

1

2

3

4

5

w

w

w

w

w

5)

0

4

6

4

2

3

4

5

6

w

w

w

w

w

6)

0

4

6

4

3

4

5

6

7

w

w

w

w

w

7)

0

4

6

4

4

5

6

7

8

w

w

w

w

w

8)

0

4

6

4

5

6

7

8

9

w

w

w

w

w

9)

0

4

6

4

6

7

8

9

10

w

w

w

w

w

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

10)

EJ

w

w

w

w

w

4

11

12

13

14

15

25

,

0

5

4

6

4

11)

EJ

w

w

w

w

w

4

12

13

14

15

16

25

,

0

5

4

6

4

12)

EJ

w

w

w

w

w

4

13

14

15

16

17

25

,

0

5

4

6

4

13)

EJ

w

w

w

w

w

4

14

15

16

17

18

25

,

0

5

4

6

4

14)

EJ

w

w

w

w

w

4

15

16

17

18

19

25

,

0

5

4

6

4

15)

EJ

w

w

w

w

w

4

16

17

18

19

20

25

,

0

5

4

6

4

16)

EJ

w

w

w

w

w

4

17

18

19

20

21

25

,

0

5

4

6

4

17)

EJ

w

w

w

w

w

4

18

19

20

21

22

25

,

0

5

4

6

4

18)

EJ

w

w

w

w

w

4

19

20

21

22

23

25

,

0

5

4

6

4

19)

EJ

w

w

w

w

w

4

20

21

22

23

24

25

,

0

5

4

6

4

20)

EJ

w

w

w

w

w

4

21

22

23

24

25

25

,

0

5

4

6

4

21)

EJ

w

w

w

w

w

4

22

23

24

25

26

25

,

0

5

4

6

4

22)

EJ

w

w

w

w

w

4

23

24

25

26

27

25

,

0

5

4

6

4

23)

EJ

w

w

w

w

w

4

24

25

26

28

28

25

,

0

5

4

6

4

24)

EJ

w

w

w

w

w

4

25

26

27

28

29

25

,

0

5

4

6

4

25)

EJ

w

w

w

w

w

4

26

27

28

29

30

25

,

0

5

4

6

4

26)

EJ

w

w

w

w

w

4

27

28

29

30

31

25

,

0

5

4

6

4

27)

0

0

w

28)

0

1

1

w

w

29)

0

2

2

27

28

30

31

w

w

w

w

30)

0

2

28

29

30

w

w

w

31)

0

13

8

w

w

32)

0

12

14

7

9

w

w

w

w

33)

0

2

2

2

2

11

12

14

15

6

7

9

10

w

w

w

w

w

w

w

w

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

34)

0

2

2

12

13

14

7

8

9

w

w

w

w

w

w

Zapiszmy ten układ równań w postaci macierzowej (Rozwiązanie np. za pomocą pakietu EXEL)


Macierz A zawiera wyrazy znajdujące się przy kolejnych niewiadomych w

-2

, w

-1

, …, w

34

w kolejnych

zapisanych przez nas równaniach. Macierz b jest to macierz wyrazów wolnych w tych równaniach.
Np. Pierwszy wiersz macierzy A zawiera wyrazy przy niewiadomych w

-2

, w

-1

, …, w

34

z pierwszego

równania

0

4

6

4

2

1

0

1

2

w

w

w

w

w

. Kolumny macierzy A odpowiadają natomiast kolejnym

niewiadomym w

-2

, w

-1

, …, w

34.

Zatem w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie wpisujemy wyraz

stojący przy niewiadomej w

-2

w pierwszym równaniu, czyli 1. W pierwszym wierszu w drugiej kolumnie

wpisujemy wyraz stojący przy niewiadomej w

-1

w pierwszym równaniu, czyli -4. W pierwszym wierszu

w trzeciej kolumnie wpisujemy wyraz stojący przy niewiadomej w

0

w pierwszym równaniu, czyli 6….

Jeżeli w danym równaniu nie występuje jakaś niewiadoma to znaczy, że wyraz, jaki przy niej stoi to 0.
W ten sposób uzupełniamy całą macierz A.
W kolejne wiersze macierzy b wpisujemy prawą stronę kolejnych równań, czyli w pierwszym wierszu
macierzy b prawa stronę pierwszego równania, w drugim wierszu prawa stronę drugiego równania itd.

A w

b

Poszukujemy wektora w

A

1

A

w

A

1

b

w

A

1

b



background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie







Możemy, zatem narysować wykresy T, M,

, w dla naszej belki uzyskane metodą różnic skończonych.

background image

METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD

Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metoda różnic skończonych
Metoda Różnic Skończonych
ćw 18 Metoda Różnic Skończonych
Metoda różnic skończonych
Metoda różnis skończonych (MRS)
Wyznaczenie ugięcia?lki i momentów metodą różnic skończonych
Metoda różnic skończonych
Metoda różnic skończonych
Ciepło topnienia - Metoda różniczki zupełnej, Sprawozdania
Obliczanie błędów pomiarowych metoda różniczki zupelnej
MES el prętowego, A T e o r i a S p r ę ż y s t o ś c i, T E M A T Y B L O K O W E, Metoda elemen
Zagadnienia z MES (1), UCZELNIE, Mechanika i Budowa Maszyn UWM OLSZTYN [MECHANICY], Semestr 4, Metod
lLinie wpływu metoda kinematyczna w met kin przyklady
SPRAWOZDANIE 6 Metoda elementów skończonych
METODA INDYWIDUALNEGO PRZYPADKU - na przykładzie, Pomoc Społeczna, Metody i techniki badań
Metoda elementow skonczonych(2)
Gewert, Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne , teoria przykłady, zadania

więcej podobnych podstron