METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
2 m
4 m
q = 5kN/m
EJ
EJ
Belka wykonana z dwuteownika IPE 200
2
8
10
1
,
2
210
m
kN
GPa
E
4
8
4
10
2140
2140
m
cm
J
x
2
4494 kNm
EJ
I.
ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE
Do rozwiązania belki wykorzystujemy zależności różniczkowe.
dx
x
dT
x
q
)
(
)
(
dx
x
dM
x
T
)
(
)
(
EJ
dx
x
d
x
M
)
(
)
(
dx
x
dw
x
)
(
)
(
A więc:
dx
x
q
x
T
)
(
)
(
dx
x
T
x
M
)
(
)
(
dx
x
M
EJ
x
)
(
1
)
(
dx
x
x
w
)
(
)
(
Równania te musimy rozpisać dla wszystkich przedziałów zmienności obciążenia i sztywności. Nasz
przykładowa belka ma stała sztywność na całej długości, ale możemy wyróżnić dwa przedziały zmienności
obciążenia a mianowicie przedział A-B i przedział B-C. Musimy, zatem rozpisać wszystkie równania
osobno dla obu przedziałów.
PRZEDZIAŁ A-B
1
0
)
(
)
(
C
dx
dx
x
q
x
T
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
C
x
C
dx
C
dx
C
dx
x
T
x
M
)
2
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
3
2
2
1
2
1
2
1
C
x
C
x
C
EJ
dx
C
x
C
EJ
dx
C
x
C
EJ
dx
x
M
EJ
x
)
2
6
(
1
)
2
(
1
)
2
(
1
)
(
)
(
4
3
2
2
3
1
3
2
2
1
3
2
2
1
C
x
C
x
C
x
C
EJ
dx
C
x
C
x
C
EJ
dx
C
x
C
x
C
EJ
dx
x
x
w
PRZEDZIAŁ B-C
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
)
5
(
5
)
(
)
(
1
D
x
dx
dx
x
q
x
T
)
2
5
(
)
5
(
)
5
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
D
x
D
x
dx
D
x
dx
D
x
dx
x
T
x
M
)
2
6
5
(
1
)
2
5
(
1
)
2
5
(
1
)
(
1
)
(
3
2
2
1
3
2
1
2
2
1
2
D
x
D
x
D
x
EJ
dx
D
x
D
x
EJ
dx
D
x
D
x
EJ
dx
x
M
EJ
x
)
2
6
24
5
(
1
)
2
6
5
(
1
)
2
6
5
(
1
)
(
)
(
4
3
2
2
3
1
4
3
2
2
1
3
3
2
2
1
3
D
x
D
x
D
x
D
x
EJ
dx
D
x
D
x
D
x
EJ
dx
D
x
D
x
D
x
EJ
dx
x
x
w
Otrzymaliśmy 8 równań z 8 niewiadomymi (stałymi całkowania), które musimy wyznaczyć korzystając
z warunków brzegowych oraz warunków zgodności w punkcie B, który leży na granicy przyjętych
przedziałów całkowania.
Warunki brzegowe
1)
0
)
(
0
x
x
(przedział A-B)
Kąt obrotu w miejscu utwierdzenia jest równy zero
)
2
(
1
)
(
3
2
2
1
C
x
C
x
C
EJ
x
0
)
0
2
0
(
1
3
2
2
1
C
C
C
EJ
0
3
C
2)
0
)
(
0
x
w
x
(przedział A-B)
Ugięcie w miejscu gdzie mamy podporę jest równe zero
)
2
6
(
1
)
(
4
3
2
2
3
1
C
x
C
x
C
x
C
EJ
x
w
0
)
0
2
0
6
0
(
1
4
3
2
2
3
1
C
C
C
C
EJ
0
4
C
3)
0
)
(
6
x
T
x
(przedział B-C)
Wartość siły tnącej na końcu wspornika jest równa zero (nie występuje tam obciążenie w postaci siły
skupionej)
)
5
(
)
(
1
D
x
x
T
0
)
6
5
(
1
D
0
6
5
1
D
30
1
D
4)
0
)
(
6
x
M
x
(przedział B-C)
Wartość momentu zginającego na końcu wspornika jest równa zero (nie występuje tam obciążenie
w postaci momentu skupionego)
)
2
5
(
)
(
2
1
2
D
x
D
x
x
M
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
0
)
6
)
30
(
2
6
5
(
2
2
D
0
)
6
)
30
(
2
6
5
(
2
2
D
0
180
90
2
D
90
2
D
Warunki zgodności w punkcie B
5)
P
L
x
T
x
T
x
)
(
)
(
2
W punkcie B jest przyłożone obciążenie zewnętrzne w postaci siły skupionej P=10kN, o której to
wartość na wykresie sił tnących wystąpi skok.
1
)
(
C
x
T
L
)
5
(
)
(
1
D
x
x
T
P
))
30
(
2
5
(
1
C
20
1
C
20
1
C
6)
P
L
x
M
x
M
x
)
(
)
(
2
W punkcie B nie jest przyłożone obciążenie zewnętrzne w postaci momentu skupionego, dlatego też
na wykresie momentów zginających nie wystąpi skok, czyli wartość z jednej i drugiej strony punktu
B muszą być sobie równe.
)
(
)
(
2
1
C
x
C
x
M
L
)
2
5
(
)
(
2
1
2
D
x
D
x
x
M
P
)
90
2
)
30
(
2
2
5
(
)
2
)
20
((
2
2
C
)
90
60
10
(
40
2
C
80
2
C
7)
P
L
x
x
x
)
(
)
(
2
W punkcie B nie występuje przegub i dlatego kąt obrotu po jednej i po drugiej jego stronie muszą
być sobie równe.
)
2
(
1
)
(
3
2
2
1
C
x
C
x
C
EJ
x
L
)
2
6
5
(
1
)
(
3
2
2
1
3
D
x
D
x
D
x
EJ
x
P
)
2
90
2
2
)
30
(
6
2
5
(
1
)
0
2
80
2
2
)
20
((
1
3
2
3
2
D
EJ
EJ
3
180
60
3
20
0
160
40
D
67
,
6
3
20
3
D
8)
P
L
x
w
x
w
x
)
(
)
(
2
W punkcie B ugięcie po jednej i po drugiej stronie musza być sobie równe
gdyż inna sytuacja świadczyłaby o przerwaniu (zniszczeniu) belki.
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
)
2
6
(
1
)
(
4
3
2
2
3
1
C
x
C
x
C
x
C
EJ
x
w
L
)
2
6
24
5
(
1
)
(
4
3
2
2
3
1
4
D
x
D
x
D
x
D
x
EJ
x
w
P
)
2
6
24
5
(
1
)
2
6
(
1
4
3
2
2
3
1
4
4
3
2
2
3
1
D
x
D
x
D
x
D
x
EJ
C
x
C
x
C
x
C
EJ
4
2
3
4
2
3
2
)
3
20
(
2
2
90
6
2
)
30
(
24
2
5
0
2
0
2
2
80
6
2
)
20
(
D
4
3
40
180
40
3
10
0
0
160
3
80
D
3
10
4
D
Po wyliczeniu wartości wszystkich stałych całkowania możemy zapisać kompletne równania równań dla
obu przedziałów.
PRZEDZIAŁ A-B
20
)
(
x
T
80
20
)
80
20
(
)
(
x
x
x
M
)
80
10
(
1
)
0
80
2
)
20
((
1
)
(
2
2
x
x
EJ
x
x
EJ
x
)
40
3
10
(
1
)
0
0
2
80
6
)
20
((
1
)
(
2
3
2
3
x
x
EJ
x
x
x
EJ
x
w
PRZEDZIAŁ B-C
30
5
))
30
(
5
(
)
(
x
x
x
T
90
30
5
,
2
)
90
)
30
(
2
5
(
)
(
2
2
x
x
x
x
x
M
)
3
20
90
15
6
5
(
1
)
3
20
90
2
)
30
(
6
5
(
1
)
(
2
3
2
3
x
x
x
EJ
x
x
x
EJ
x
)
3
10
3
20
45
5
24
5
(
1
))
3
10
(
)
3
20
(
2
90
6
)
30
(
24
5
(
1
)
(
2
3
4
2
3
4
x
x
x
x
EJ
x
x
x
x
EJ
x
w
Możemy, zatem narysować wykresy T, M,
, w dla naszej belki.
Przedstawione poniżej wykresy są wykonane dla dyskretnych wartości x, co 0,25m.
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
II.
ROZWIĄZANIE METODĄ RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
Istota tej metody polega na zamianie operatorów różniczkowych na odpowiednie operatory różnicowe,
określone na dyskretnym zbiorze punktów izolowanych. Zbiór ten nazywamy siatka a jego elementy
węzłami. Dzięki takiej aproksymacji funkcji i jej pochodnych, wyjściowe zagadnienie brzegowe zostaje
sprowadzone do układu równań algebraicznych, w których niewiadomymi są dyskretne wartości funkcji.
2 m
4 m
q = 5kN/m
EJ
EJ
Analizę rozpoczynamy od utworzenia na belce siatki węzłów osobno dla każdego przedziału całkowania.
Wprowadzamy węzły „rzeczywiste” (te na elementach belki 0, 1, …, 8 oraz 13, 14, …, 29) oraz
„nierzeczywiste” (te poza elementami belki -2, -1, 9, 10, 11, 12, 30, 31) w odległości
x. W tym
przykładzie przyjęto
x
1
=0,25m z uwagi na to, iż w miarę dobre rozwiązania uzyskuje się przy liczbie
węzłów dla jednego przedziału całkowania wynoszącej 8.
Następnie w każdym węźle leżącym na belce zapisujemy równanie różniczkowe belki zastępując różniczki
różnicami skończonymi. Podobnie postępujemy z warunkami brzegowymi.
2 m
4 m
q = 5kN/m
EJ
EJ
A
B
C
A
B
B
C
0
4
8
x=0,25m
2
-1
1
3
10
9
5
6
7
-2
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
25 26 27 28 29
22 23 24
30 31
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Operatory różnicowe
i-1
i-2
i
i+1
i+2
Wychodząc z definicji pochodnej otrzymujemy kolejne różnice w węźle
x
x
w
dx
dw
x
)
(
lim
0
Pierwsza różnica w węźle i
)
(
2
1
1
1
i
i
i
w
w
x
w
Druga różnica w węźle i
)
2
(
1
1
1
2
2
i
i
i
i
w
w
w
x
w
Trzecia różnica w węźle i
)
2
2
(
2
1
2
1
1
2
3
3
i
i
i
i
i
w
w
w
w
x
w
Czwarta różnica w węźle i
)
4
6
4
(
1
2
1
1
2
4
4
i
i
i
i
i
i
w
w
w
w
w
x
w
Równanie różniczkowe belki
EJ
x
q
dx
w
d
)
(
4
4
Równanie różniczkowe belki zamieniamy na układ równań różnicowych zapisanych dla kolejnych węzłów
„rzeczywistych” rozwiązywanej belki.
EJ
x
q
dx
w
d
)
(
4
4
a więc
EJ
x
q
w
i
)
(
4
Przy wyznaczaniu warunków brzegowych korzystamy z zależności różniczkowych:
dx
dw
a więc
i
i
w
Kąt obrotu w węźle i jest równy w przybliżeniu pierwszej różnicy w węźle i
EJ
dx
w
d
EJ
dx
dx
dw
d
EJ
dx
d
M
2
2
)
(
a więc
EJ
w
M
i
i
2
Moment zginający w węźle i jest równy w przybliżeniu ujemnej drugiej różnicy w węźle i przemnożonej
przez EJ
EJ
dx
w
d
dx
EJ
dx
w
d
d
dx
dM
T
3
3
2
2
)
(
a więc
EJ
w
T
i
i
3
Siła tnąca w węźle i jest równa w przybliżeniu ujemnej wartości trzeciej różnicy w węźle i
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
PODSUMOWUJĄC
Pierwsza różnica w węźle i
)
(
2
1
1
1
i
i
i
w
w
x
w
i
i
w
Druga różnica w węźle i
)
2
(
1
1
1
2
2
i
i
i
i
w
w
w
x
w
EJ
M
w
i
i
2
Trzecia różnica w węźle i
)
2
2
(
2
1
2
1
1
2
3
3
i
i
i
i
i
w
w
w
w
x
w
EJ
T
w
i
i
3
Czwarta różnica w węźle i
)
4
6
4
(
1
2
1
1
2
4
4
i
i
i
i
i
i
w
w
w
w
w
x
w
EJ
q
w
i
i
4
2 m
4 m
q = 5kN/m
EJ
EJ
A
B
C
A
B
B
C
0
4
8
x=0,25m
2
-1
1
3
10
9
5
6
7
-2
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
25 26 27 28 29
22 23 24
30 31
Wracając, zatem do naszego przykładu rozpisujemy równania różnicowe dla kolejnych „rzeczywistych”
węzłów obu przedziałów naszej belki.
EJ
q
w
w
w
w
w
x
w
i
i
i
i
i
i
i
)
4
6
4
(
1
2
1
1
2
4
4
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
PRZEDZIAŁ I (A-B)
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
2
1
0
1
2
4
0
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
1
0
1
2
3
4
1
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
0
1
2
3
4
4
2
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
1
2
3
4
5
4
3
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
2
3
4
5
6
4
4
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
3
4
5
6
7
4
5
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
4
5
6
7
8
4
6
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
5
6
7
8
9
4
7
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
0
)
4
6
4
(
25
,
0
1
6
7
8
9
10
4
8
4
m
kN
q
m
x
0
,
25
,
0
PRZEDZIAŁ II (B-C)
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
11
12
13
14
15
4
13
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
12
13
14
15
16
4
14
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
13
14
15
16
17
4
15
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
14
15
16
17
18
4
16
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
15
16
17
18
19
4
17
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
16
17
18
19
20
4
18
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
17
18
19
20
21
4
19
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
18
19
20
21
22
4
20
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
19
20
21
22
23
4
21
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
20
21
22
23
24
4
22
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
21
22
23
24
25
4
23
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
22
23
24
25
26
4
24
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
23
24
25
26
27
4
25
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
24
25
26
28
28
4
26
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
25
26
27
28
29
4
27
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
26
27
28
29
30
4
28
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
EJ
w
w
w
w
w
w
5
)
4
6
4
(
25
,
0
1
27
28
29
30
31
4
29
4
m
kN
q
m
x
5
,
25
,
0
Rozpisujemy następnie warunki brzegowe dla naszej belki
1)
0
0
w
Ugięcie w węźle 0 jest równe, 0 ponieważ w tym miejscu jest podpora z zablokowanym
przesuwem na tym kierunku.
2)
0
0
w
Kąt obrotu węźle 0 jest równy zero, bo w tym miejscu jest utwierdzenie, czyli
zablokowany obrót.
0
)
(
25
,
0
2
1
1
1
w
w
0
1
1
w
w
3)
0
29
3
EJ
w
Siła tnąca w węźle 29 (prawy koniec belki) wynosi 0
0
)
2
2
(
25
,
0
2
1
27
28
30
31
3
EJ
w
w
w
w
0
2
2
27
28
30
31
w
w
w
w
4)
0
29
2
EJ
w
Moment zginający w węźle 29 (prawy koniec belki) wynosi 0
0
)
2
(
25
,
0
1
28
29
30
2
EJ
w
w
w
0
2
28
29
30
w
w
w
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
W kolejnym kroku rozpisujemy warunki zgodności dla naszej belki
5)
13
8
w
w
Ugięcie w węźle 8 jest równe ugięciu w węźle 13. Jest to ten sam punkt rzeczywisty na belce
i ugięcie musi być, zatem jednakowe. Niespełnienie tego warunku oznaczałoby przerwanie
belki.
0
13
8
w
w
6)
13
8
w
w
Kąt obrotu węźle 8 jest równy kątowi obrotu w węźle 13 (ponieważ nie występuje tam
przegub).
)
(
25
,
0
2
1
)
(
25
,
0
2
1
12
14
7
9
w
w
w
w
/
25
,
0
2
)
(
)
(
12
14
7
9
w
w
w
w
0
12
14
7
9
w
w
w
w
7)
EJ
w
EJ
w
13
3
8
3
Siła tnąca w węźle 8 jest równa sile tnącej w węźle 13
EJ
w
w
w
w
EJ
w
w
w
w
)
2
2
(
25
,
0
2
1
)
2
2
(
25
,
0
2
1
11
12
14
15
3
6
7
9
10
3
11
12
14
15
6
7
9
10
2
2
2
2
w
w
w
w
w
w
w
w
0
2
2
2
2
11
12
14
15
6
7
9
10
w
w
w
w
w
w
w
w
8)
EJ
w
EJ
w
13
2
8
2
Moment zginający w węźle 8 jest równy momentowi zginającemu
w węźle 18. Na granicy przedziałów całkowania, czyli w punkcie B,
na wykresie momentów zginających nie występuje skok, gdyż nie
ma tam przyłożonego momentu skupionego.
)
2
(
25
,
0
1
)
2
(
25
,
0
1
12
13
14
2
7
8
9
2
w
w
w
w
w
w
/
2
25
,
0
)
2
(
)
2
(
12
13
14
7
8
9
w
w
w
w
w
w
0
2
2
12
13
14
7
8
9
w
w
w
w
w
w
W ten sposób otrzymaliśmy układ 34 równań z 34 niewiadomymi (równania powyżej zapisane
w ramkach), który musimy rozwiązać:
1)
0
4
6
4
2
1
0
1
2
w
w
w
w
w
2)
0
4
6
4
1
0
1
2
3
w
w
w
w
w
3)
0
4
6
4
0
1
2
3
4
w
w
w
w
w
4)
0
4
6
4
1
2
3
4
5
w
w
w
w
w
5)
0
4
6
4
2
3
4
5
6
w
w
w
w
w
6)
0
4
6
4
3
4
5
6
7
w
w
w
w
w
7)
0
4
6
4
4
5
6
7
8
w
w
w
w
w
8)
0
4
6
4
5
6
7
8
9
w
w
w
w
w
9)
0
4
6
4
6
7
8
9
10
w
w
w
w
w
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
10)
EJ
w
w
w
w
w
4
11
12
13
14
15
25
,
0
5
4
6
4
11)
EJ
w
w
w
w
w
4
12
13
14
15
16
25
,
0
5
4
6
4
12)
EJ
w
w
w
w
w
4
13
14
15
16
17
25
,
0
5
4
6
4
13)
EJ
w
w
w
w
w
4
14
15
16
17
18
25
,
0
5
4
6
4
14)
EJ
w
w
w
w
w
4
15
16
17
18
19
25
,
0
5
4
6
4
15)
EJ
w
w
w
w
w
4
16
17
18
19
20
25
,
0
5
4
6
4
16)
EJ
w
w
w
w
w
4
17
18
19
20
21
25
,
0
5
4
6
4
17)
EJ
w
w
w
w
w
4
18
19
20
21
22
25
,
0
5
4
6
4
18)
EJ
w
w
w
w
w
4
19
20
21
22
23
25
,
0
5
4
6
4
19)
EJ
w
w
w
w
w
4
20
21
22
23
24
25
,
0
5
4
6
4
20)
EJ
w
w
w
w
w
4
21
22
23
24
25
25
,
0
5
4
6
4
21)
EJ
w
w
w
w
w
4
22
23
24
25
26
25
,
0
5
4
6
4
22)
EJ
w
w
w
w
w
4
23
24
25
26
27
25
,
0
5
4
6
4
23)
EJ
w
w
w
w
w
4
24
25
26
28
28
25
,
0
5
4
6
4
24)
EJ
w
w
w
w
w
4
25
26
27
28
29
25
,
0
5
4
6
4
25)
EJ
w
w
w
w
w
4
26
27
28
29
30
25
,
0
5
4
6
4
26)
EJ
w
w
w
w
w
4
27
28
29
30
31
25
,
0
5
4
6
4
27)
0
0
w
28)
0
1
1
w
w
29)
0
2
2
27
28
30
31
w
w
w
w
30)
0
2
28
29
30
w
w
w
31)
0
13
8
w
w
32)
0
12
14
7
9
w
w
w
w
33)
0
2
2
2
2
11
12
14
15
6
7
9
10
w
w
w
w
w
w
w
w
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
34)
0
2
2
12
13
14
7
8
9
w
w
w
w
w
w
Zapiszmy ten układ równań w postaci macierzowej (Rozwiązanie np. za pomocą pakietu EXEL)
Macierz A zawiera wyrazy znajdujące się przy kolejnych niewiadomych w
-2
, w
-1
, …, w
34
w kolejnych
zapisanych przez nas równaniach. Macierz b jest to macierz wyrazów wolnych w tych równaniach.
Np. Pierwszy wiersz macierzy A zawiera wyrazy przy niewiadomych w
-2
, w
-1
, …, w
34
z pierwszego
równania
0
4
6
4
2
1
0
1
2
w
w
w
w
w
. Kolumny macierzy A odpowiadają natomiast kolejnym
niewiadomym w
-2
, w
-1
, …, w
34.
Zatem w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie wpisujemy wyraz
stojący przy niewiadomej w
-2
w pierwszym równaniu, czyli 1. W pierwszym wierszu w drugiej kolumnie
wpisujemy wyraz stojący przy niewiadomej w
-1
w pierwszym równaniu, czyli -4. W pierwszym wierszu
w trzeciej kolumnie wpisujemy wyraz stojący przy niewiadomej w
0
w pierwszym równaniu, czyli 6….
Jeżeli w danym równaniu nie występuje jakaś niewiadoma to znaczy, że wyraz, jaki przy niej stoi to 0.
W ten sposób uzupełniamy całą macierz A.
W kolejne wiersze macierzy b wpisujemy prawą stronę kolejnych równań, czyli w pierwszym wierszu
macierzy b prawa stronę pierwszego równania, w drugim wierszu prawa stronę drugiego równania itd.
A w
b
Poszukujemy wektora w
A
1
A
w
A
1
b
w
A
1
b
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Możemy, zatem narysować wykresy T, M,
, w dla naszej belki uzyskane metodą różnic skończonych.
METODY OBLICZENIOWE – PROJEKT – METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH – PRZYKŁAD
Dr inż. Agata Maryniak
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie