Adam Zaborski – matematyka stosowana i metody numeryczne – metoda różnic skończonych
Metoda różnic skończonych
1. Postawienie problemu
Metodą różnic skończonych określmy ugięcie wspornika, obciążonego na końcu siłą
skupioną:
L
P
w(0)=0
w’(0)=0
w’’(L)=0
w’’’(L)=P
Dane: L = 4 [m], P = 100 [kN], E = 210 [GPa], I = 1·10
-4
[m
4
].
2. Zapis matematyczny
Jak wiadomo, zagadnienie brzegowe składa się z równania różniczkowego i warunków
brzegowych. Dla belki są to:
−
równanie różniczkowe linii ugięcia (liniowe 4. rzędu)
)
(
)
(
x
q
x
EIw
vi
=
−
kinematyczne warunki brzegowe
0
)
0
(
'
)
0
(
=
=
w
w
−
statyczne warunki brzegowe
0
)
(
'
'
=
L
EIw
, (moment, a więc i krzywizna
1
, na wolnym końcu są równe zero)
P
L
EIw
=
)
(
'
'
'
, (siła poprzeczna w belce)
3. Dyskretyzacja problemu
Dyskretyzacja polega na poszukiwaniu rozwiązania równania jedynie w określonych
punktach (jest to tzw. metoda kollokacji). Ponieważ mamy równanie różniczkowe 4. rzędu,
posłużymy się aproksymacją 4-go stopnia za pomocą 5-cio węzłowej gwiazdy (five-point
stencil):
Rozwijając funkcję aproksymacyjną w szereg Taylora, otrzymujemy wzory na pochodne:
[
]
)
5
(
1
8
0
8
1
12
1
'
w
⋅
−
−
=
h
w
[
]
)
5
(
2
1
16
30
16
1
12
1
'
'
w
⋅
−
−
−
=
h
w
[
]
)
5
(
3
1
2
0
2
1
2
1
'
'
'
w
⋅
−
−
=
h
w
[
]
)
5
(
4
1
4
6
4
1
1
w
⋅
−
−
=
h
w
iv
1
Związek między momentem a krzywizną ma postać:
EI
M
=
κ
