TWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ

Twierdzenie

(

o istnieniu różniczki zupełnej

)

Niech

U

x

U

f

U

s

n







0

,

:

,

Top

R

R







j

x

f

n

j











,...,

1

niech

oraz

w każdym punkcie zbioru U.

pochodne

cząstkowe

Jeśli

 























0

...,

,

1

x

C

x

f

n

j

j











każda pochodna cząstkowa

jest ciągła w punkcie x

0







f

d

x

0

o

1

to



istnieje różniczka

w punkcie x

0

 

 





.

...,

,

dla

2

oraz

1

1

0

o

0

n

n

j

n

j

j

x

R

h

h

h

h

x

x

f

h

f

d















Dowód

Wystarczy rozważyć przypadek s=1, a poźniej utworzyć kombinację liniową rozwiązań
utworzonych dla poszczególnych składowych.
Niech s=1.
1

0

Załóżmy, że n=2.

Wybieramy punkt

.

)

,

(

2

1

U

x

x

x





Wtedy

.

)

,

(

:

0

U

r

x

K

r







Niech

)).

0

,

0

(

)

,

(

tzn.

(

0

i

)

),

0

,

0

((

)

,

(

2

1

2

1









h

h

h

r

K

h

h

h

Przedstawmy przyrost f

 funkcji f w punkcie x w postaci sumy dwóch różnic:



  



 

 

 



2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

,

,

,

,

x

x

f

x

h

x

f

x

h

x

f

h

x

h

x

f

x

f

h

x

f

f

























Ponieważ funkcja







 ,

1

1

h

x

f

jest ciągła i różniczkowalna w [x

2

, x

2

+h

2

] zatem, na podstawie

twierdzenia Lagrange'a

1









2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

,

)

,

(

)

,

(

:

,

c

h

x

x

f

h

x

h

x

f

h

x

h

x

f

h

x

x

c

























Podobnie, ponieważ funkcja





2

, x

f



jest ciągła i różniczkowalna w [x

1

, x

1

+h

1

] zatem, na

podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy









.

,

)

,

(

)

,

(

:

,

2

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

x

c

x

f

h

x

x

f

x

h

x

f

h

x

x

c



















Stąd









.

,

,

)

(

)

(

2

1

1

2

2

2

1

1

1

c

h

x

x

f

h

x

c

x

f

h

x

f

h

x

f























Obliczamy resztę

  

  



























































































































2

1

2

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

1

,

,

,

,

,

,

,

,

)

(

x

x

x

f

c

h

x

x

f

h

x

x

x

f

x

c

x

f

h

h

x

x

x

f

h

x

x

x

f

c

h

x

x

f

h

x

c

x

f

h

h

f

d

x

f

h

x

f

h

r

x

x

a następnie sprawdzamy, czy jest o(h),

 





























2

1

2

2

1

1

0

)

,

(

gdy

2

1

2

2

1

1

2

ogr.

2

2

1

1

1

1

1

.

ogr

1

,

,

0

,

,

,

,

2

1

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

c

h

x

x

f

h

h

x

x

x

f

x

c

x

f

h

h

h

h

r

h

h

x































































































 



 









Przy obliczaniu granicy skorzystaliśmy z następujących implikacji:

2

0

2

2

0

2

2

2

1

0

1

1

0

1

1

1

2

2

1

1

0

0

x

c

x

h

x

h

x

c

x

h

x

h

h

h

h

h





































2

0

Dla n > 2 stosujemy tzw. “zasadę łańcucha”. tzn. przyrost funkcji rozkładamy na sumę n

różnic:



  

],

[

1

1

0

1

1

0

0

0



















































j

k

k

k

n

j

j

k

k

k

e

h

x

f

e

h

x

f

x

f

h

x

f

gdzie e

1, ... ,

e

n

- wektory bazy kanonicznej w

n

R i postępujemy analogicznie jak w punkcie 1

0

.

c

opracował Jacek Zańko

2