7. TWIERDZENIE O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOŚCI

Podstawy:

Układ równań różniczkowych w Rⁿ zależnych od czasu

$$\dot{x} = f\left( x,t \right),\ x \in R^{n},\ f \subset R^{n}xR \rightarrow R^{n}$$

Do analizy istnienia i jednoznaczności rozwiązania ukłądu wykorzystuje się twierdzenie o odwozoraniach zwężających.

Twierdzenie o ODWZOROWANIACH

Niech (x,d) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie f : x → x jest zwężające, jeżeli ∃λ ∈ [0,1) ∀x, y ∈ X : d(f(x), f(y) ≤ λd(x, y)

Każde odwzorowanie zwężające jest ciągłe.

Twierdzenie Zarada Baracka

Niech F : X → X będzie odwzorowaniem zwężajćym ze stałą g, x₀ dowolnyn punktem zbioru X.

Wówczas:

1. Ciąg x_n , gdzie x_n = F(x_n − 1) jest zbieżny do punktu $\tilde{x} \in x$

2. $d\left( x_{n},\ \tilde{x} \right) \leq \frac{q^{n}}{1 - q}d\left( x_{1},\ x_{0} \right)$ dla każdego n ∈ N

3. Punkt $\tilde{x}$jest jedynym punktem stałym odwzorowania F

TWIERDZENIE O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOSCI

Załóżmy, że f(x,t) jest ciagłe ze względu na x i t i niech: ∥f(x₂,t )f(x₁,t)∥ ≤   ∪ ∥x₂−x₁∥

Dla x₁, x₂ ∈ B(x₀,r), a także, niech ∥f(x₀,t)∥ ≤ M Wówczas równanie ma jednoznaczne rozwiązanie x(t) określone dodatnio dla 0 ≤ t ≤ x