7. TWIERDZENIE O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOŚCI 

Podstawy: 

Układ równao różniczkowych    

 

 zależnych od czasu  

                   

 

       

 

      

 

 

Do analizy istnienia i jednoznaczności rozwiązania ukłądu wykorzystuje się twierdzenie o 
odwozoraniach zwężających.  

Twierdzenie o ODWZOROWANIACH 

Niech (x,d) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie          jest zwężające, jeżeli 
                                              

Każde odwzorowanie zwężające jest ciągłe. 

 

Twierdzenie Zarada Baracka 

Niech          będzie odwzorowaniem zwężajdym ze stałą g, x

0

 dowolnyn punktem zbioru X. 

Wówczas: 

a)  Ciąg  

 

 , gdzie  

 

     

   

  jest zbieżny do punktu        

b)     

 

       

 

 

   

   

 

   

 

  dla każdego       

c)  Punkt   jest jedynym punktem stałym odwzorowania F 

 TWIERDZENIE O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOSCI 

Załóżmy, że f(x,t) jest ciagłe ze względu na x i t i niech:     

 

     –    

 

            

 

   

 

  

Dla  

 

   

 

     

 

    ,   a także, niech     

 

          Wówczas równanie ma jednoznaczne 

rozwiązanie x(t) określone dodatnio dla