13

Całka różniczki zupełnej.

Niech D - obszar jednospójny,

( )

P Q

C D

,

∈

1

.

Pytamy czy w obszarze D

∃

taka funkcja U x y

( , ) , aby wyrażenie

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

było różniczką zupełną funkcji U w D ?

Oczywiście musi zachodzić P

U

x

=

∂

∂

i Q

U

y

=

∂

∂

.

Wtedy

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

P

y

y

U

x

U

y x

=











=

2

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

Q

x

x

U

y

U

x y

=











=

2

Z założenia

( )

( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

Q

x

P

y

C D

U

x y

U

y x

C D

U

x y

U

y x

t w

,

,

.

∈

⇒

∈

⇒

=

2

2

2

2

Zatem warunkiem koniecznym istnienia funkcji U jest równość

∂

∂

∂

∂

P

y

Q

x

=

.

Stwierdzenie

Niech D - obszar jednospójny,

( )

P Q

C D

,

∈

1

.

Wtedy

( )

( )

∂

∂

∂

∂

P

y

Q

x

P x y dx

Q x y dy

=











⇔

+

1

ο

,

,

, jest różniczką zupełną funkcji U,

ponadto:

2

ο

( )

( )

( )

U x y

P x y dx

Q x y dy

C

A A

,

,

,

=

+

+

∫

0

, gdzie C

∈

R ,

(

)

A x

y

0

0

0

,

- ustalony punkt

( )

A x y

,

- punkt zmienny,

A A

0

- krzywa regularna,

A A

D

0

⊂

,

czyli

( )

( )

( )

U x y

P t y dt

Q x t dt

C

x

x

y

y

,

,

,

=

+

+

∫

∫

0

0

0

. (*)

3

ο

( )

( )

( )

( )

P x y dx

Q x y dy

U A

U B

AB

,

,

∫

+

=

−

dla dowolnej krzywej AB

D

⊂

.

14

Uzasadnienie wzoru (*)

Dla

[ ]

K

x

x

y

t

t

y y

1

0

0

:

,

=

=







∈

, gdzie

mamy

′ =

′ =

x

y

0

1

,

.

Podobnie dla

[ ]

K

x

t

y

y

t

x x

2

0

:

,

=

=







∈

, gdzie

otrzymujemy

′ =

′ =

x

y

1

0

,

.

Stąd

( )

( )

( )

( )

P x y dx

Q x y dy

P x y dx

Q x y dy

A A

tw

K

K

,

,

,

,

.

0

1

2

∫

∫

+

=

+

=

∪

( )

( )

Q x t dt

P t y dt

y

y

x

x

0

0

0

,

,

∫

∫

+

na podstawie twierdzenia

o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania.

Zatem

( )

( )

( )

U x y

P t y dt

Q x t dt

C

x

x

y

y

,

,

,

=

+

+

∫

∫

0

0

0

.

Uwaga

Wektor

[ ]

W

P Q

=

,

jest gradientem funkcji U,

[ ]

W

P Q

U

=

=

,

grad

.

Definicja

Funkcję U nazywamy

potencjałem

pola wektorowego W.

15

Przykład

Wykazać, że

(

) (

)

3

2

2

4

2

x

y dx

x

y dy

+

+

+

jest różniczką zupełną pewnej funkcji

( )

U x y

,

i

wyznaczyć tę funkcję (potencjał).

P

x

y

Q

x

y

=

+

=

+







3

2

2

4

2

⇒

( )

P Q

C

,

∈

1

2

R

( )

∂

∂

∂

∂

P

y

Q

x

U x y

=

⇒

∃

2 =

,

oraz

( ) (

) (

)

U x y

x

y dx

x

y dy

A A

,

=

+

+

+

∫

3

2

2

4

2

0

.

( )

( )

( )

(

)

(

)

U x y

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

P x y dx

Q x y dy

x

y dx

x

y dy

A BA

A B

BA

x

x

y

y

x

x

y

y

,

,

,

=

+

=

+

+

+

=

=

+

=

+

+

+

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

0

0

0

0

0

0

0

0

2

3

2

2

4

=

+











3

2

2

2

0

0

x

y x

x

x

+

+











=

+

+

+

2

4

3

3

2

2

4

3

3

2

3

0

xy

y

x

xy

y

C

y

y

.