13
Całka różniczki zupełnej.
Niech D - obszar jednospójny,
( )
P Q
C D
,
∈
1
.
Pytamy czy w obszarze D
∃
taka funkcja U x y
( , ) , aby wyrażenie
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
było różniczką zupełną funkcji U w D ?
Oczywiście musi zachodzić P
U
x
=
∂
∂
i Q
U
y
=
∂
∂
.
Wtedy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
P
y
y
U
x
U
y x
=
=
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
Q
x
x
U
y
U
x y
=
=
2
Z założenia
( )
( )
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
Q
x
P
y
C D
U
x y
U
y x
C D
U
x y
U
y x
t w
,
,
.
∈
⇒
∈
⇒
=
2
2
2
2
Zatem warunkiem koniecznym istnienia funkcji U jest równość
∂
∂
∂
∂
P
y
Q
x
=
.
Stwierdzenie
Niech D - obszar jednospójny,
( )
P Q
C D
,
∈
1
.
Wtedy
( )
( )
∂
∂
∂
∂
P
y
Q
x
P x y dx
Q x y dy
=
⇔
+
1
ο
,
,
, jest różniczką zupełną funkcji U,
ponadto:
2
ο
( )
( )
( )
U x y
P x y dx
Q x y dy
C
A A
,
,
,
=
+
+
∫
0
, gdzie C
∈
R ,
(
)
A x
y
0
0
0
,
- ustalony punkt
( )
A x y
,
- punkt zmienny,
A A
0
- krzywa regularna,
A A
D
0
⊂
,
czyli
( )
( )
( )
U x y
P t y dt
Q x t dt
C
x
x
y
y
,
,
,
=
+
+
∫
∫
0
0
0
. (*)
3
ο
( )
( )
( )
( )
P x y dx
Q x y dy
U A
U B
AB
,
,
∫
+
=
−
dla dowolnej krzywej AB
D
⊂
.
14
Uzasadnienie wzoru (*)
Dla
[ ]
K
x
x
y
t
t
y y
1
0
0
:
,
=
=
∈
, gdzie
mamy
′ =
′ =
x
y
0
1
,
.
Podobnie dla
[ ]
K
x
t
y
y
t
x x
2
0
:
,
=
=
∈
, gdzie
otrzymujemy
′ =
′ =
x
y
1
0
,
.
Stąd
( )
( )
( )
( )
P x y dx
Q x y dy
P x y dx
Q x y dy
A A
tw
K
K
,
,
,
,
.
0
1
2
∫
∫
+
=
+
=
∪
( )
( )
Q x t dt
P t y dt
y
y
x
x
0
0
0
,
,
∫
∫
+
na podstawie twierdzenia
o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania.
Zatem
( )
( )
( )
U x y
P t y dt
Q x t dt
C
x
x
y
y
,
,
,
=
+
+
∫
∫
0
0
0
.
Uwaga
Wektor
[ ]
W
P Q
=
,
jest gradientem funkcji U,
[ ]
W
P Q
U
=
=
,
grad
.
Definicja
Funkcję U nazywamy
potencjałem
pola wektorowego W.
15
Przykład
Wykazać, że
(
) (
)
3
2
2
4
2
x
y dx
x
y dy
+
+
+
jest różniczką zupełną pewnej funkcji
( )
U x y
,
i
wyznaczyć tę funkcję (potencjał).
P
x
y
Q
x
y
=
+
=
+
3
2
2
4
2
⇒
( )
P Q
C
,
∈
1
2
R
( )
∂
∂
∂
∂
P
y
Q
x
U x y
=
⇒
∃
2 =
,
oraz
( ) (
) (
)
U x y
x
y dx
x
y dy
A A
,
=
+
+
+
∫
3
2
2
4
2
0
.
( )
( )
( )
(
)
(
)
U x y
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
P x y dx
Q x y dy
x
y dx
x
y dy
A BA
A B
BA
x
x
y
y
x
x
y
y
,
,
,
=
+
=
+
+
+
=
=
+
=
+
+
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
2
2
4
=
+
3
2
2
2
0
0
x
y x
x
x
+
+
=
+
+
+
2
4
3
3
2
2
4
3
3
2
3
0
xy
y
x
xy
y
C
y
y
.