RÓŻNICZKA ZUPEŁNA

Niech



 



,

,

,

Y

X

przestrzenie unormowane nad K,

.

,

:

,

Top

0

U

x

Y

U

f

X

U







Różniczką zupełną

(

pochodną zupełną

)

odwzorowania f w punkcie x

0

nazywamy

odwzorowanie liniowe i ciągłe



0

x

L

L(

X, Y

)

spełniające warunek



  

   

U

h

x

h

o

h

L

x

f

h

x

f

x













0

0

0

dla

0

lub równoważnie



  

 

Y

h

h

L

x

f

h

x

f

x

h













0

lim

0

0

0

0

lub



  

 

 

 

.

0

lim

gdzie

,

0

0

0

0

0

0













h

h

r

h

r

h

L

x

f

h

x

f

x

h

x

x













Zatem funkcja f w punkcie x

0

ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na

część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o(h).

Różniczkę odwzorowania f w punkcie x

0

oznaczamy też symbolem

 

.

'

lub

0

0

x

f

f

d

x

Definicja

Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego

U

x

 , to odwozorowanie







f

d

x

U

f

x

:'

L(

X,Y

)

nazywamy

odwzorowaniem pochodnym

funkcji f.

1

część reszta
liniowa

Przykład

Zbadać różniczkowalność funkcji









2

2

3

2

,

,

,

,

:

y

x

y

x

xy

y

x

f

f







 R

R

w punkcie

(x

0

, y

0

)=(2, 1).

Wybieramy wektor h=[h

1

, h

2

] i obliczamy przyrost f

 funkcji f w punkcie (x

0

, y

0

)



 

 

  









 























 





 



















































2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

liniowe

2

1

liniowe

2

1

2

1

liniowe

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

2

0

1

0

,

0

,

2

4

,

,

2

2

4

,

,

2

5

,

3

,

2

1

2

,

3

,

1

2

1

,

2

1

,

2

,

,

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

f

h

h

f

y

x

f

h

y

h

x

f

f



















































































Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(h).

skorzystalismy z

liczymy granicę dla

normy euklidesowej

każdej składowej osobno

gdzie granicę pierwszej składowej



 



2

2

2

1

2

1

0

,

0

,

2

1

lim

h

h

h

h

h

h





obliczyliśmy korzystając ze

współrzędnych biegunowych:



.

0

sin

cos

lim

sin

cos

lim

0

.

0

.

0





















e

ograniczon

dow

r

dow

r

r

r

r

r













Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy

 





.

,

0

0

y

x

D

f

h

o





Część liniowa stanowi różniczkę, czyli



 



2

1

2

1

2

1

2

1

)

1

,

2

(

2

4

,

,

2

,

h

h

h

h

h

h

h

h

f

d









lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego









.

,

2

4

1

1

2

1

,

2

1

2

1

)

1

,

2

(

h

h

h

h

f

d























2

część część
liniowa nieliniowa













,

0

,

0

,

0

,

0

,

lim

,

0

,

lim

,

0

,

lim

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

0

0

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

0

2

2

2

1

2

1

0

2

1







































h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

Twierdzenie

(

o jednoznaczności różniczki w punkcie

)

Jeśli istnieje różniczka

,

0

f

d

x

to jest jedyna.

Uwaga

Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX >1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.

Przykład

Niech

 





,

0

,

1

0

:

,

2

x

y

x

y

x

D











 

.

,

,

:

3

x

y

x

f

D

f



 R

Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym,

.

Top

2

R



D

Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x

0

, y

0

)=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D.

I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową



  

3

1

3

1

2

1

0

0

,

0

0

,

0

h

h

f

h

h

f





















0

,

2

1

0

,

0

Zatem



h

h

L

jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli

jest

)

,

(

3

1

2

1

h

h

h

r



).

(

typu

h

o

Sprawdzamy czy

   

h

o

h

r



:

,

0

lim

2

2

2

1

3

1

)

0

,

0

(

)

,

(

2

1







h

h

h

h

h

ponieważ



.

0

cos

lim

cos

lim

3

0

2

.

0

3

3

.

0





















e

ograniczon

dow

r

dow

r

r

r

r









3

II. Wyznaczamy część liniową w inny sposób



  







.

0

,

0

,

2

3

1

2

2

1









nieliniowe

liniowe

h

h

h

f

h

h

f









 





,

,

2

2

1

0

,

0

Zatem

h

h

h

L



jeżeli





 

.

,

typu

jest

2

3

1

2

1

h

o

h

h

h

h

r





Sprawdzimy, czy reszta jest typu o(h).

,

0

lim

funkcjach

trzech

o

ia

twierdzen

podstawie

Na

2

2

2

1

2

3

1

)

0

,

0

(

)

,

(

2

1









h

h

h

h

h

h

bo

,

0

0

1

1

1

2

1

2

1

1

2

3

1

2

2

2

1

2

3

1

2

2

2

1

2

3

1

2

2

2

1

2

3

1







































h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla





D

h

h



2

1

,

zachodzi

2

1

2

h

h



.

Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.

Wniosek

Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.

Twierdzenie

(

o liniowości różniczki względem odwzorowań

)

Niech

X,Y – przestrzenie unormowane nad ciałem K,

 

.

niech

oraz

,

,

,

:

,

,

Top

0

0

K











α,β

x

D

g

f

U

x

Y

U

g

f

X

U

Wtedy

)

(

0

g

f

d

x



 



(istnieje rózniczka kombincji liniowej funkcji f i g)

oraz

.

)

(

0

0

0

g

d

f

d

g

f

d

x

x

x



















4

Twierdzenie

(

o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji

)

Jeśli dodatkowo założymy, że Y=K, to



















g

f

d

fg

d

x

x

0

0

)

(

(istnieją rózniczki iloczynu i ilorazu)

oraz

 

 

g

d

x

f

f

d

x

g

fg

d

x

x

x

0

0

0

0

0

)

(









i

 

 

 





 

.

0

,

0

2

0

0

0

gdy

0

0

0























x

g

x

g

g

d

x

f

f

d

x

g

g

f

d

x

x

x

Twierdzenie

(

o różniczce złożenia funkcji

)

Niech X,Y,Z – przestrzenie unormowane nad K,

.

)

(

,

,

:

,

:

,

Top

,

Top

0

0

0

V

x

f

y

U

x

Z

V

g

V

U

f

Y

V

X

U















Jeśli

,

0

0

g

d

f

d

y

x







to





f

g

d

x



0



i

f

d

g

d

f

g

d

x

y

x

0

0

0







Twierdzenie

(

o istnieniu pochodnej kierunkowej

)

.

,

:

,

Top

,

nad

unormowane

ie

przestrzen

,

Niech

0

U

x

Y

U

f

X

U

Y

X









K

Jeśli

,

0

f

d

x



to

 

















).

(

)

(

:

1

,

0

0

0

h

f

d

x

f

D

x

f

D

h

X

h

x

h

h













pochodna kierunkowa

wartość różniczki

w kierunku

w punkcie x

0

wektora h

na wektorze h

5

Dowód

Niech

.

1

,





h

X

h

Wtedy

bo istnieje

różniczka jest

różniczka odwzorowaniem linowym

 



  













t

x

f

th

x

f

x

f

D

t

h

0

0

0

0

lim

 









t

th

o

th

f

d

x

t

)

(

lim

0

0

 

 

 

































































const

t

x

t

x

t

x

t

h

t

t

th

th

o

h

f

d

t

th

o

h

f

d

t

th

o

h

f

d

t

sgn

0

0

0

0

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

0













0



 

h

f

d

x

0



c

Wniosek

(

o istnieniu pochodnych cząstkowych

)

Niech X=

.

n

K

Jeśli

,

0

f

d

x



to

 

 

)

(

0

0

0

j

x

j

j

e

f

d

x

x

f

x

x

f















.

...,

,

2

,

1

n

i





Twierdzenie

 

 

0

0

x

C

f

x

D

f







Dowód

Wynika bezpośrednio z definicji różniczki.

c

opracował Jacek Zańko

6