Łagodne wprowadzenie

do

Metody Elementów Skończonych

dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI

dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI

Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki

10 XII 2009 - część I

17 XII 2009 - część II

Program wykładu

I

Część I

–

wybrane podstawy matematyczne klasycznej MES,

–

przykładowe elementy skończone,

–

algorytm i uogólnienia klasycznej MES,

–

implementacja algorytmu w programie MAPLE.

I

Część II

–

zbieżność rozwiązań MES,

–

generowanie siatek węzłów - techniki adaptacyjne,

–

przykłady realizacji obliczeń.

I

Wybrane pozycje literatury przedmiotu (indywidualnie).

I

Propozycje tematów do samodzielnego opracowania
(zaliczenie przedmiotu).

Czym jest Metoda Elementów Skończonych ?

Zanim odpowiemy na to pytanie, przypomnijmy sobie kilka równań
liniowej mechaniki poznanych na przedmiotach Wytrzymałość
Materiałów i Mechanika Konstrukcji:

I

równanie równowagi pręta ściskanego:
(EA

u

0

)

0

= p,

I

równanie równowagi pręta zginanego:
(EJ

w

00

)

00

= q,

I

równanie równowagi tarczy PSN (i, j, k, l = 1, 2):
(C

ijkl

ε

kl

)

,j

+ F

i

= 0,

ε

kl

=

1

2

(

u

k

,l

+

u

l

,k

),

I

równanie równowagi płyty cienkiej:
(D

ijkl

w

,kl

)

,ij

= q,

i zastanówmy się, czy umiemy je rozwiązać w sposób ścisły
(przy zadanych warunkach brzegowych)?

Czym jest Metoda Elementów Skończonych ?

Odpowiedź:

Metoda Elementów Skończonych jest to matematyczny formalizm,
będący podstawą numerycznego algorytmu rozwiązywania układów
równań różniczkowych cząstkowych w sposób przybliżony.

Uwagi:

I

zbieżność ciągu rozwiązań MES do rozwiązania ścisłego
uzyskuje się dzięki odpowiedniemu doborowi przestrzeni
funkcji aproksymujących,

I

analiza zbieżności tego ciągu może być przeprowadzona bez
znajomości rozwiązania ścisłego,

I

MES można “w prosty sposób” zaimplementować w postaci
kodu komputerowego.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Silna (klasyczna, różniczkowa) postać równania równowagi

Niech Ω ⊂ R

2

będzie obszarem tarczy PSN, z brzegiem Γ,

na którym zadane są warunki brzegowe na poszukiwane funkcje

C

ijkl

ε

kl

n

j

(s) − T

i

(s) = 0,

s ∈ Γ

τ

u

i

(s) −

b

u

i

(s) = 0,

s ∈ Γ

u

W dalszych rozważaniach przyj-
miemy dla uproszczenia:

I

F

i

= 0, i = 1, 2, tj. pominiemy

siły masowe,

I

b

u

i

= 0, i = 1, 2, tj. założymy,

że Γ

u

nie przemieszcza się.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Silna (klasyczna, różniczkowa) postać równania równowagi

W teorii PSN, klasycznym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego
są funkcje

u

i

∈ C

2

(Ω) ∩ C

1

(Ω ∪ Γ

τ

) ∩ C(Ω ∪ Γ

u

), i = 1, 2

spełniające, dla każdego (x

1

, x

2

) ∈ Ω, równanie równowagi

1
2

∂

∂x

j

C

ijkl

∂u

k

∂x

l

+

∂u

l

∂x

k

!

+ F

i

= 0,

u

k

= u

k

(x

1

, x

2

),

oraz warunki brzegowe na Γ. Do opisu tych funkcji wprowadźmy
oznaczenie

(u

1

, u

2

)

>

ozn.

= u ∈ V

0

.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi

Znalezienie u ∈ V

0

(klasycznego rozwiązania równania równowagi)

jest możliwe jedynie w szczególnych sytuacjach, konieczne jest
więc sformułowanie ogólnego algorytmu analizy zagadnień
brzegowych, zapewniającego istnienie i jednoznaczność rozwiązań.

W tym celu wprowadza się dość silne założenia dotyczące
przestrzeni, w której poszukuje się funkcji rozwiązujących.
W szczególności:

I

przestrzeń V

0

należy ”uzupełnić” do przestrzeni Hilberta

(oznaczmy ją symbolem V),

I

zagadnienie brzegowe musi być przepisane w słabej
(wariacyjnej, całkowej) postaci.

Dzięki temu, na mocy

twierdzenia Laxa-Milgrama

, rozwiązanie

zagadnienia brzegowego istnieje i jest jednoznaczne.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi

V

0

nie jest przestrzenią Hilberta.

Ciąg funkcji ciągłych nie jest jednostajnie zbieżny do funkcji ciągłej.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi

Sformułujmy zagadnienie brzegowe w słabej postaci:
Znaleźć takie u ∈ V, że dla każdego v ∈ V spełnione jest

Z

Ω

C

ijkl

ε

ij

(u)ε

kl

(v)dx =

Z

Γ

τ

T

i

v

i

ds.

Uwagi:

I

Widzimy, że V jest przestrzenią funkcji, wobec których
nie wymaga się różniczkowalności w “klasycznym” sensie,

I

Przestrzeń V jest zupełna, a więc wszystkie ciągi {u

n

} ∈ V

są zbieżne do pewnego u ∈ V, dzięki czemu można wpro-
wadzić pojęcie zbieżności ciągu rozwiązań MES i, co najistot-
niejsze, oszacować błąd aproksymacji.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Aproksymacja rozwiązania.

Przestrzeń V jest ∞-wymiarowa, co praktycznie uniemożliwia
rozwiązanie zadania. W związku z tym, ograniczamy poszukiwania
funkcji rozwiązującej zagadnienie wariacyjne do dowolnej pod-
przestrzeni V

h

⊂ V o skończonym wymiarze, formułując

tym samym zadanie dyskretne:
Znaleźć takie u

h

∈ V

h

, że dla każdego v

h

∈ V

h

spełnione jest

Z

Ω

C

ijkl

ε

ij

(u

h

)ε

kl

(v

h

)dx =

Z

Γ

τ

T

i

v

h

i

ds.

Uwagi:

I

Zadanie dyskretne ma jednoznaczne rozwiązanie,
ponieważ V

h

⊂ V,

I

Przestrzenie V

h

nazywa się przestrzeniami elementów

skończonych.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego

1. aksjomat MES

Podzielmy Ω na skończoną liczbę podzbiorów Ω

e

, e = 1, . . . , l

e

(elementów skończonych), takich że

I

Ω =

S

e=1,...,l

e

Ω

e

,

I

Ω

i

∩ Ω

j

= ∅,

i 6= j,

I

każdy bok dowolnego elementu jest częścią brzegu Γ
lub bokiem innego elementu.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego

2. aksjomat MES

Przyjmijmy P

e

=

n

u

h|Ω

e

: u

h

∈ V

h

o

, e = 1, . . . , l

e

i załóżmy, że

funkcje ze zbiorów P

e

są wielomianami stopnia p

e

.

Uwagi:

I

Dodatkowo można przyjąć, że funkcje u

h

są klasy C

k

(Ω)

(elementy dostosowane),

I

Klasa ciągłości jest zależna od rozpatrywanego zagadnienia
brzegowego (PSN: k = 0, teoria płyt cienkich: k = 1),

I

Założenie ciągłości jest automatycznie spełnione wewnątrz
elementu skończonego, więc w praktyce dotyczy ono ciągłości
u

h

na granicach elementów i na brzegu Γ

u

.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego

3. aksjomat MES

Zakładamy, że w przestrzeni V

h

można zdefiniować co najmniej

jedną bazę skończeniewymiarową, czyli zbiór funkcji v

s

, takich że

u

h

=

P

s=1,...,l

s

q

s

v

s

.

Uwagi:

I

Widać, że funkcje v

s

są “kawałkami” (na każdym elemencie

skończonym) wielomianowe,

I

Obcięcie N

e

= (v

s|Ω

e

) określa tzw. wektor funkcji kształtu

na elemencie Ω

e

,

I

Wektor q = (q

s

) określa reprezentację u

h

w bazie {v

s

}.

Wyznaczenie składowych wektora q jest głównym zadaniem
Metody Elementów Skończonych.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego

Co to jest element skończony?

Element skończony jest to dowolny podobszar Ω

e

obszaru Ω

z przypisanym do niego wektorem funkcji kształtu N

e

= (v

s|Ω

e

),

oraz wektorem stopni swobody q

e

= (q

s|Ω

e

).

Macierzowa postać zadania dyskretnego:

Zastąpmy u

h

, v

h

w wariacyjnym równaniu równowagi

ich skończeniewymiarowymi reprezentacjami. Wykorzystując
własność liniowości operacji całkowania otrzymamy

Z

Ω

C

ijkl

ε

ij

(q

s

v

s

)ε

kl

(v

s

)dx

|

{z

}

K q

=

Z

Γ

τ

T

i

(v

s

)

i

ds

|

{z

}

Q

.

gdzie: K = (K

IJ

)

s×s

, q = (q

J

)

s×1

, Q = (Q

I

)

s×1

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Zbieżność MES

Załóżmy, że siatka elementów jest:

I

afiniczna (elementy są afini-
cznymi odwzorowaniami ele-
mentu wzorcowego)

I

regularna (określa się pewną
stałą C, taką że
∀e = 1, . . . , n

e

:

h

e

r

e

< C,

tj. elementy nie są zbyt wydłu-
żone w jednym kierunku)

Wprowadźmy oznaczenia:

I

h

e

- najdłuższy bok Ω

e

,

I

h = max

e=1,...,n

e

h

e

,

I

p - rząd wielomianu aproksy-
mującego w definicji v

h

.

Wybrane podstawy matematyczne MES

Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Zbieżność MES

Na mocy

lematu C´ea

, i w odniesieniu do zagadnień, których

rozwiązania nie zawierają osobliwości, można dowieść, że:

I

Rozwiązanie u

h

∈ V

h

jest “najlepszym” przybliżeniem słabego

rozwiązania u ∈ V,

I

Dla dwu dowolnych h

1

, h

2

zachodzi

ku − u

h

2

k ¬

h

2

h

1

p

ku − u

h

1

k,

gdzie

kvk =

Z

Ω

C

ijkl

ε

ij

(v)ε

kl

(v)dx

1/2

Przykłady elementów skończonych

Konstrukcję przestrzeni V

h

zaczynamy “od końca”,

tzn. od zdefiniowania:

I

wektora funkcji kształtu N

e

= (v

s|Ω

e

),

I

wektora stopni swobody q

e

= (q

s|Ω

e

),

dla pojedynczego elementu Ω

e

.

Pamiętamy przy tym, że:

I

funkcje kształtu są “obciętymi” do jednego elementu
funkcjami bazowymi w V

h

,

I

rodzina elementów jest afiniczna.

Przykłady elementów skończonych

Trójkątny element tarczy PSN

Element trójkątny.

u

=

nu

P

i=1

N

i

u

i

;

v

=

nv

P

i=1

N

i

v

i

Wprowadźmy współrzędne punktu
P (L

1

, L

2

, L

3

), takie że

L

1

=

F (4

P 23

)

F (4

123

)

,

L

2

=

F (4

P 13

)

F (4

123

)

,

L

3

=

F (4

P 12

)

F (4

123

)

,

L

i

=

a

i

+b

i

x+c

i

y

2 F (4

123

)

,

gdzie

F (4

123

) =

1

2

det

1 x

1

y

1

1 x

2

y

2

1 x

3

y

3

,

a

1

=x

2

y

3

−x

3

y

2

,

b

1

=y

2

−y

3

,

c

1

=x

3

−x

2

,

a

2

=x

3

y

1

−x

1

y

3

,

b

2

=y

3

−y

1

,

c

2

=x

1

−x

3

,

a

3

=x

1

y

2

−x

2

y

1

,

b

3

=y

1

−y

2

,

c

3

=x

2

−x

1

.

Przykłady elementów skończonych

Trójkątny element tarczy PSN

Element trójkątny rzędu 1.

Funkcja kształtu

N

1

= L

1

.

Element trójkątny rzędu 2.

Funkcja kształtu

N

1

= (2 L

1

− 1) L

1

.

Przykłady elementów skończonych

Trójkąt Pascala

Funkcje kształtu stowarzyszone z rozmaitymi elementami
skończonymi konstruuje się w oparciu o trójkąt Pascala:

1

rząd 0

x

y

rząd 1

x

2

xy

y

2

rząd 2

x

3

x

2

y

xy

2

y

3

rząd 3

x

4

x

3

y

x

2

y

2

xy

3

y

4

rząd 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . i.t.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przykłady elementów skończonych

Inne typy elementów tarczowych

Element trójkątny rzędu 3.

Element prostokątny rzędu 1.

Element prostokątny rzędu 2.

(typ Lagrange’a)

Element prostokątny rzędu 2.

(typ “serendipowski” - ang. serendipity)

Algorytm MES

1.

Podziel obszar Ω na elementy skończone Ω

e

, e = 1, . . . , n

e

,

przyjmij wektory funkcji kształtu N

e

i stopni swobody q

e

,

2.

Oblicz macierze sztywności K

e

i wektory obciążeń węzłowych

Q

e

każdego elementu,

3.

Znajdź macierz sztywności K i wektor obciążeń Q całej
konstrukcji,

4.

Zdefiniuj wektor niewiadomych q,

5.

Uwzględnij warunki brzegowe,

6.

Rozwiąż równanie K q = Q,

7.

Oblicz odkształcenia i naprężenia w każdym elemencie.

Uogólnienia klasycznej MES

Przykłady możliwych uogólnień klasycznej wersji MES:

I

bardziej skomplikowane zadania wariacyjne,

I

zagadnienia nieliniowe (np. C

ijkl

= C

ijkl

(q

s

)),

I

zadania z Γ krzywoliniowym,

I

wykorzystanie elementów niedostosowanych,

I

wykorzystanie rodzin elementów nieafinicznych,

I

przybliżone obliczanie całek K =

R

Ω

C

ijkl

ε

ij

(v

s

)ε

kl

(v

s

) dx,

Q =

R

Γ

τ

T

i

(v

s

)

i

ds (np. w zadaniach teorii powłok

lub przez wykorzystanie tzw. całkowania numerycznego).

Przykłady zadań z zakresu części 1. do samodzielnego rozwiązania

(zaliczenie przedmiotu)

1.

Omówić rodzinę elementów trójkątnych
z zadanymi stopniami swobody,

2.

Omówić rodzinę elementów czworokątnych
typu Lagrange’a,

3.

Omówić rodzinę elementów czworokątnych
typu serendipowskiego,

4.

Omówić własności wybranego elementu skończonego
(na podstawie literatury),

5.

Porównać rozwiązania wybranego zadania PSN
z użyciem różnych elementów skończonych.

Ponadto istnieje możliwość wykonania łączonych prac dyplo-
mowych inżynierskich i magisterskich (KBI) oraz samodzielnych
prac dyplomowych magisterskich (TKAK).