1

Zastosowania mechaniczne całki oznaczonej Rozważmy trapez krzywoliniowy przedstawiony na rysunku. Załóżmy, że jest on wykonany z materiału jednorodnego o gęstości % . Wówczas

• masa trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem: b

Z

|M | = % · |P | = % ·

f ( x) dx

a

• moment statyczny względem osi 0X trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem: b

1

Z

|Mx| =

% ·

f 2( x) dx

2

a

• moment statyczny względem osi 0Y trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem: b

Z

|My| = % ·

x f ( x) dx

a

• współrzędne środka ciężkości trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

|M

|M

x

y |

x|

S

=

y

|

S

=

M |

|M |

• środek ciężkości trapezu krzywoliniowego to punkt ( xS, yS).

Zadania

Oblicz środki ciężkości ciężkości obszarów ograniczonych krzywymi: a) y = sin x (dla x ∈ [0 , π] ), y = 0

b) y = e 2 x (dla x ∈ [0 , 1] ), y = 0

√

c) y =

x , x = 1 , y = 0

d) y = ln x , x = e , y = 0