1

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

00511

Mechanika nieba D

Część 1

Rozwój pojęć kosmologicznych.

Elementarne zjawiska na sferze niebieskiej.

Prawa: Keplera i ciążenia powszechnego.

Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej.

Instrukcja dla zdającego
1.

Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak należy zgłosić.

2.

Do arkusza może być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, należy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.

3.

Proszę uważnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.

4.

Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.

5.

Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.

6.

W trakcie obliczeń można korzystać z kalkulatora.

7.

Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.

8.

Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.

9.

Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.

ś

yczymy powodzenia!

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

Aktualizacja

Maj

ROK 2008

Dane osobowe właściciela arkusza

2

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

Temat: 56*

Rozwój pojęć kosmologicznych

od starożytności do czasów Mikołaja Kopernika.

1.

Astronomia należy do najstarszych nauk przyrodniczych. Powstała wraz z formowaniem
się społeczeństw i początkowo związana była z takimi potrzebami życia, jak rachuba czasu
oraz orientacja na lądzie i morzu.

Według Talesa z Miletu żyjącego na przełomie VII i VI wieku p.n.e., Ziemia miała przy-
pominać spłaszczony dysk, pływający po niezmierzonym oceanie. Wyobrażano sobie, że
płaską Ziemię obiegają Księżyc, Słońce i planety, a wokół nich obraca się sfera gwiazd
stałych.
Inny pogląd na kształt Ziemi głosił ok. 530 lat p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie. Według
nich Ziemia była kulą otoczoną ośmioma przezroczystymi, koncentrycznymi sferami, na
których znajdowały się Księżyc, Słońce i planety. U podstaw poglądów pitagorejczyków
leżało przekonanie, że kształt kuli jest jednym z najdoskonalszych kształtów spotykanych
w przyrodzie.
Pogląd, że Ziemia jest kulą ugruntował Arystoteles (384 - 322 p.n.e.). Kulistość Ziemi
tłumaczył m.in. na podstawie cienia Ziemi widocznego w czasie zaćmień Księżyca, wska-
zywał na zmiany w położeniach gwiazd obserwowane przez podróżników udających się z
północy na południe. Sądził on, że kulistą Ziemię otacza 55 współśrodkowych przezro-
czystych sfer, z których ostatnia jest sferą gwiazd stałych.
Pierwsze myśli naukowe o budowie Wszechświata wypowiedzieli filozofowie greccy
(Leukipp (ok. 550 - 447 p.n.e.) i Demokryt (ok. 460 - 371 p.n.e.). Uważali oni, że
Wszechświat zajmuje nieskończoną przestrzeń zawierającą nieskończoną liczbę niepo-
dzielnych cząstek, czyli atomów, które poruszają się we wszystkich kierunkach. Ziemia,
podobnie jak inne ciała niebieskie, byłaby w ujęciu filozofów, przypadkowym skupieniem
atomów. Według poglądów tych atomistów świat nie ma żadnego środka, wskutek tego
również Ziemia nie może zajmować w nim stanowiska centralnego.
Inny grecki uczony Arystarch z wyspy Samos (220 - 150 p.n.e.) przyjmował, że obserwo-
wany ruch Słońca jest wynikiem ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi oraz ruchu
obiegowego wokół Słońca. Poglądy Arystarcha, stanowiące podstawę późniejszej teorii
Kopernika, nie zyskały jednak uznania i popadły w zapomnienie na blisko dwa tysiące lat.

2.

Upłynęły jednak tysiąclecia, zanim myśl o ruchach Ziemi została powszechnie przyjęta. W
starożytności, z nielicznymi wyjątkami, nie wątpiono, że nieruchoma Ziemia zajmuje śro-
dek świata i stanowi centrum ruchu wszystkich ciał niebieskich. Na założeniu tym opierały
się teorie budowy świata tworzone w starożytności. Pierwsza taka teoria naukowa została
podana w IV wieku p.n.e. przez Eudoksosa w jego teorii sfer homocentrycznych. Zgodnie
z tą teorią każda planeta (a wśród nich Słońce i Księżyc) miała leżeć na zewnętrznej po-
wierzchni jakiejś sfery, do każdej zaś planety należało tyle sfer, na ile jednostajnych ru-
chów należałoby rozłożyć obserwowany niejednostajny ruch planet. Teoria sfer homocen-
trycznych została następnie zastąpiona przez teorię kół mimośrodkowych i epicyklów.

Ostateczną postać teorii kół mimośrodkowych i epicyklów nadał w II wieku n.e. aleksan-
dryjski astronom Klaudiusz Ptolemeusz. Teoria ta była kanonem astronomii przez 1400
lat, aż do czasów Mikołaja Kopernika.
Zgodnie z geocentryczną teorią budowy świata, opracowaną przez Ptolemeusza, dokoła
Ziemi biegnie siedem planet w następującej kolejności: Księżyc, Merkury, Wenus, Słońce,
Mars, Jowisz i Saturn, przy czym Księżyc i Słońce biegną ruchem jednostajnym dokoła

3

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

Ziemi bezpośrednio po kołach, których środki leżą jednak nieco poza Ziemią, czyli są to
koła mimośrodkowe. Natomiast, aby wytłumaczyć ruch planet górnych i dolnych, w
szczególności zakreślanie przez nie pętli, Ptolemeusz założył, że po kole mimośrodkowym
(inaczej deferencie) biegnie ruchem jednostajnym nie planeta, lecz środek innego, mniej-
szego koła, zwanego epicyklem, a dopiero po epicyklu biegnie planeta również ruchem
jednostajnym. Przez kombinację ruchów środka epicyklu po deferencie i planety po epi-
cyklu, dając odpowiednie nachylenie płaszczyznom tych kół, można wyjaśnić widome ru-
chy planet, szczególnie ruch prosty i wsteczny względem sfery gwiazd stałych, która mia-
ła obracać się dokoła Ziemi ze wschodu na zachód w okresie doby gwiazdowej i przeka-
zująca ten ruch sferom planetarnym. Obrazem tego ruchu miał być ruch sfery niebieskiej
w ciągu dnia.

3.

Omówimy teraz kopernikowską teorię heliocentryczną budowy świata. Założenia Koper-
nika można sprowadzić do trzech stwierdzeń:

⇒

planety biegną ruchem jednostajnym po kołach dokoła Słońca,

⇒

Ziemia jest jedną z planet i również obiega Słońce,

⇒

Ziemia obraca się dokoła własnej osi.

Według teorii Kopernika wszystkie planety obiegają Słońce, w tym samym kierunku z
prędkościami malejącymi wraz ze wzrostem odległości od Słońca w następującej kolejno-
ś

ci: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn. Występowanie okresu rocznego w

ruchach planet dolnych i górnych było w teorii Ptolemeusza czymś nie dającym się wy-
tłumaczyć, jak gdyby przypadkiem. Natomiast w teorii Kopernika był to konieczny skutek
ruchu Ziemi dokoła Słońca w okresie rocznym.
Swoje prace opublikował Kopernik w 1543 roku w dziele „De Revolutionibus” (O obro-
tach). Teoria Kopernika zawierała wiele uproszczeń: ruch planet po okręgach, układ pla-
netarny otacza sfera gwiazd stałych; jednak stała się podstawą nowożytnych poglądów na
budowę Wszechświata, zyskała wielu zwolenników, wśród których byli m.in.
⇒

Galileusz (1564 - 1642), twórca nowoczesnej fizyki, jako pierwszy skierował w 1609
roku lunetę na niebo i zaobserwował fazy Wenus i odkrył cztery księżyce Jowisza
przypominające miniaturowy układ planetarny,

⇒

Johannes Kepler (1571 - 1630) mający do dyspozycji bogaty materiał obserwacyjny
zebrany przez Tychona Brahe (1546 - 1601) sformułował prawa ruchu planet.

4.

W roku 1921 Edwin Hubble dokonał fundamentalnego odkrycia, że niezależnie od kierun-
ku obserwacji widzimy wszędzie odległe galaktyki szybko oddalające się od nas. Innymi
słowy, Wszechświat rozszerza się; padła idea statycznego i niezmiennego Wszechświata.
Oznacza to, że w dawniejszych czasach ciała niebieskie znajdowały się blisko siebie (bli-
ż

ej niż teraz). Istotnie, wygląda na to, że jakieś 10 czy 20 miliardów lat temu wszystkie

obiekty istniejące we Wszechświecie skupione były w jednym punkcie, a zatem gęstość
Wszechświata była wtedy nieskończona. To odkrycie wprowadziło wreszcie zagadnienie
początku Wszechświata do królestwa nauki. Prace Hubble’a zapoczątkowały burzliwy
rozwój kosmologii.

4

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

Słowniczek:
Kosmologia - nauka o Wszechświecie jako całości.

A to ciekawe:

A)
„Podanie” głosi, że za sprzyjanie teorii kopernikańskiej budowy świata, został spalony na
stosie w 1600 roku Giordano Bruno. Są tacy, którzy uważają, że karę tę wymierzono jednak
za pewne rzeczywiste przewinienia.
B)
Gdy porzucono system geocentryczny Arystarcha z Samos i Ptolemeusza na rzecz systemu
heliocentrycznego Kopernika, człowiek XVI wieku, znalazłszy się nagle na peryferiach, poczuł
się przerażony i zagrożony. Syn Boży nie mógł przecież zostać zesłany na jakąś drugorzędną
planetę. Kościół zaniepokoił się i zapałał gniewem: Mikołaj Kopernik i Johann Kepler ledwie
zdołali ujść z życiem, ale Galileo Galilei zginął 22 czerwca 1633 roku na stosie z woli inkwi-
zycji rzymskiej. Jednak wygnanie ludzkości na obrzeża systemu słonecznego, choć poniżające
i zatrważające, nic nie zmieniło w porządku świata. Zegar niebieski trwał nie zmieniony, co
dawało pewną pociechę. Ludzkość zaczęła wirować wraz ze swoją planetą, lecz ruchy gwiazd
nie ustały w swych regularnych cyklach, dowodząc ciągłości rządów jakiegoś niebieskiego
władcy.

Temat: 57* Elementarne zjawiska na sferze niebieskiej.

1.

Względny ruch Słońca obserwowany z Ziemi:

⇒

wschód w godzinach porannych, górowanie w ok. godziny 12,00,

⇒

w lecie Słońce góruje wysoko, zimą - niżej,

⇒

najdłuższe dni są pod koniec czerwca, najkrótsze - grudnia,

⇒

zachód w godzinach wieczornych.

2.

Względny ruch Księżyca obserwowany z Ziemi.

⇒

przesuwa się na tle gwiazd z prędkością kątową ok. 13

0

na dobę,

⇒

miesiąc gwiazdowy wynosi około 27 dni i 7 godzin (okres czasu, w którym Księżyc
obiegnie Ziemię i wróci do tego samego miejsca wśród gwiazd),

⇒

zmienia swój wygląd, co 29,5 dnia:

a)

po okresie niewidoczności na zachodnim niebie tuż po zachodzie Słońca ma postać
wąskiego sierpa, który stopniowo rośnie i gdy Księżyc jest oddalony od Słońca około
90

0

na niebie, widoczny jest w postaci połowy okręgu (pierwsza kwadra),

b)

w miarę oddalania się Księżyca od Słońca widzimy Księżyc w postaci większej od
połowy kręgu, gdy jego odległość wyniesie 180

0

widzimy go w postaci pełnego

okręgu (pełnia),

c)

po pełni Księżyc zbliża się znów do Słońca, widzialna część oświetlonej powierzch-
ni maleje, w odległości 90

0

znów widzimy połowę kręgu (ostatnia kwadra),

d)

przy dalszym zbliżaniu się do Słońca od strony zachodniej znika w jego promieniach
w postaci wąskiego sierpa (nów).

⇒

sierp Księżyca widoczny bądź między nowiem i pierwszą kwadrą bądź ranem między
ostatnią kwadrą i nowiem, jest zawsze zwrócony wypukłością ku Słońcu,

5

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

⇒

obrót Księżyca wokół własnej osi jest równy okresowi jego obiegu dokoła Ziemi, jest
on obiektem ciemnym odbijającym światło słoneczne

3.

Gwiazdozbiory.

Gwiazdozbiory, nazywane również konstelacjami, są obszarami nieba o umownie wyzna-
czonych granicach, na podstawie charakterystycznych ugrupowań najjaśniejszych gwiazd.
Dziś obowiązuje podział nieba na 88 gwiazdozbiorów, m.in. mamy gwiazdozbiory: Orion,
Wielki Pies, Wolarz, Lutnia, Łabędź, Orzeł, Perseusz, Andromeda, Kasjopeja. Są one róż-
nie widoczne o różnych porach roku:

zima - szczególnie widać gwiazdozbiory Oriona, Bliźniąt i Wielkiego Psa, z najjaśniej-
szą gwiazdą nieba, Syriuszem,

wiosna - najlepiej widoczne są Lew i Wolarz,

lato - dominuje Letni Trójkąt, który tworzą gwiazdozbiory Lutni, Łabędzia i Orła,

jesień - szczególnie łatwo dostrzec gwiazdozbiory Perseusza, Andromedy, a także Ka-
sjopei.

4.

Typowe obiekty astronomiczne stanowią:

⇒

planety, typ obiektów astronomicznych o średnicach większych od ok. 1000 km obie-
gających gwiazdę, widocznych dzięki zdolności odbijania jej promieniowania. Wokół
planet krążą księżyce,

⇒

Galaktyka, Słońce wraz z 200 miliardami gwiazd,

⇒

gromady, czyli ugrupowania gwiazd,

⇒

mgławice, tzn. olbrzymie obłoki pyłowo - gazowe (część z nich jest widoczna, gdyż
oświetlają je gorące gwiazdy),

⇒

megagalaktyka - cała dostępna obserwacjom część Wszechświata,

⇒

gwiazdy, czyli kule gazowe o masach nie przekraczających masę kilkudziesięciu mas
Słońca. Świecą przynajmniej przez część swojej ewolucji, w wyniku reakcji termoją-
drowych (przede wszystkim przemiany wodoru w hel) zachodzących w ich wnętrzu.
Stanowią najliczniejszą grupę ciał niebieskich widocznych na niebie nocnym. Zdają się
tworzyć niezmienne ugrupowania i dlatego nazywamy je stałymi. Liczba gwiazd do-
stępnych do obserwacji wzrasta w miarę stosowania odpowiednio wielkich obiekty-
wów. Człowiek o przeciętnym wzroku może widzieć jednocześnie od 2000 do 2500
gwiazd, przez lornetkę do kilkudziesięciu tysięcy, przez teleskop - do kilku milionów.
Wyróżniamy typy gwiazd: magnetyczne, okołobiegunowe, podwójne, spadające (ina-
czej: meteoryty), stałe, zaćmieniowe, zmienne.

5.

Ostatnie dziesięciolecia znacznie rozszerzyły naszą wiedzę o Układzie Słonecznym, do
czego przyczyniły się:

⇒

w latach 1969 - 1972 sześciokrotne lądowanie na Księżycu amerykańskich statków ko-
smicznych z załogą ludzką,

⇒

międzyplanetarne sondy kosmiczne lądujące na powierzchni Wenus, Marsa i zbliżające
się do Merkurego, Jowisza, Saturna i Urana,

6

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

⇒

badania komety Halley’a dokonane w 1986 roku za pomocą automatycznych stacji
międzyplanetarnych z serii m.in. Wega i Giotto,

⇒

obserwacje i badania kolejnych, zbliżających się do nas komet.

Temat: 58

Prawa Keplera.

1.

Tycho Brahe na skutek utraty pomocy finansowej ze strony duńskiego króla, opuścił w 1597
roku wyspę Haveen zabierając ze sobą ważniejsze instrumenty i zebrany przez siebie materiał ob-
serwacyjny. Udał się do Niemiec, a w 1599 roku osiadł w Pradze. W ostatnich dwóch latach swego
ż

ycia zyskał ucznia i pomocnika w osobie Jana Keplera (1571-1630).Tycho Brahe powierzył swo-

jemu uczniowi opracowanie swoich obserwacji, głównie w celu sprawdzenia nowych tablic plane-
tarnych. Kepler zajął się tym zagadnieniem, wykorzystał jednak bogaty materiał obserwacyjny ze-
brany przez Tychona Brahe przede wszystkim w celu wykrycia nowych praw astronomicznych,
praw ruchu planet.

2.

Kepler zajął się głównie Marsem, a wkrótce zorientował się, że orbita tej planety nie da się przed-
stawić jako koło. Zdecydował się zerwać z tradycyjnym założeniem, że planety mogą poruszać się
tylko po kołach i po wielu próbach stwierdził, że spośród znanych krzywych najbardziej zbliżona
do obserwowanego kształtu orbity Marsa jest elipsa. Poza tym Kepler stwierdził, że Mars porusza
się szybciej na orbicie, gdy jest bliżej Słońca, a wolniej, gdy jest dalej. Odkrycia te sformułował w
1609 roku w postaci dwóch następujących praw:

I prawo Keplera:
Orbita każdej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z ognisk.

II prawo Keplera:
Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.

Należy zaznaczyć, że elipsy, po których biegną dokoła Słońca planety niewiele różni się od
kół.

II prawo Keplera ilustruje rys. 1 przedstawiający w przesadnym spłaszczeniu orbitę eliptyczną pla-
nety ze Słońcem S w jednym z ognisk. Zgodnie z tym prawem pola ASB, CDS i ESF w różnych
miejscach orbity, zakreślone przez promienie wodzące w równych odstępach czasu, są sobie rów-
ne. A więc blisko peryhelium, gdzie promienie wodzące są najkrótsze (SA, SB), planeta zakreśla
większy łuk AB niż EF zakreślony w tym samym odstępie czasu blisko aphelium, gdzie promienie
wodzące (SE, SF) są najdłuższe.

D C

E B

Aphelium S Peryhelium


F A

Rys. 1

7

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

3.

Kepler był przekonany, że ruchy planet są powiązane wspólną im wszystkim zależnością. Po wielu
latach poszukiwań (1619 rok) wykrył tę zależność, którą wypowiedział jako III prawo ruchu pla-
net:

III prawo Keplera:
Drugie potęgi okresów obiegu planet dokoła Słońca są wprost
proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.

Oznaczamy okresy dwóch planet przez T

1

i T

2

, a połowy wielkich osi ich orbit, czyli średnie odle-

głości przez R

1

i R

2

.

III prawo Keplera piszemy wtedy w postaci :

T

T

R

R

1

2

2

2

1

3

2

3

=

co można wyrazić również :

Dla każdej planety stosunek

T

R

2

3

=

const. (jest stały)

III prawo Keplera daje możność obliczenia względnych rozmiarów orbit planetarnych, np. w odnie-
sieniu do orbity ziemskiej. Niech T

2

oznacza rok gwiazdowy, a R

2

- połowę wielkiej osi orbity

ziemskiej.

Przyjmijmy za jednostkę czasu T

2

= 1, a za jednostkę długości R

2

= 1.

Wówczas mamy :

R

T

1

1

2
3

=

.

Daje to możność obliczenia względnych rozmiarów orbit wszystkich planet z ich okresów gwiaz-
dowych w odniesieniu do orbity Ziemi, której odległość od Słońca przyjmujemy za jednostkę.

Zadanie 1

Udowodnij, że przyspieszenie dośrodkowe dwóch planet poruszających
się po torach kołowych są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów ich odle-
głości od Słońca.

A to ciekawe:

Zanim jeszcze Newton zaproponował swoje prawo powszechnego ciążenia, Johan-
nes Kepler stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa
Keplera wzmocniły hipotezę Kopernika, że planety krążą wokół Słońca, a nie wo-
kół Ziemi.

W 1600 roku było herezją religijną powiedzieć, że planety krążą wokół Słońca.
Istotnie, w 1600 roku Giordano Bruno, głośny zwolennik układu heliocentrycznego
Kopernika został osadzony przez Inkwizycję i spalony na stosie. Nawet wielki Ga-
lileusz został uwięziony, postawiony przed sąd Inkwizycji i zmuszony do publicz-
nego odżegnania się od swoich poglądów, mimo, że podobno papież był jego do-
brym przyjacielem.

Dogmatem owych czasów, gdy uważano naukę Ptolemeusza i Arystotelesa za
ś

więte, było, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach,

które wynikają z superpozycji rozmaitych ruchów po okręgach. Na przykład do
opisu ruchu Marsa trzeba było około tuzina okręgów o różnych wielkościach.
Ambicją Keplera było udowodnić, że Mars i Ziemia muszą obracać się wokół
Słońca. Poszukiwał on nieskomplikowanej geometrycznie orbity zgodnej z obszer-
nym zbiorem pomiarów pozycji Marsa.

Fakt, że Newton mógł wyprowadzić wszystkie trzy prawa Keplera ze swoich

trzech zasad dynamiki był uważany za ostateczne potwierdzenie dynamiki newto-
nowskiej.

8

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

Temat: 59

Prawo ciążenia powszechnego.

1.

Korzystając z trzech zasad dynamiki, Newton wyprowadził słynne prawo ciążenia po-
wszechnego na podstawie wykrytych na drodze empirycznej praw Keplera. Przede
wszystkim z faktu, że planety krążą dokoła Słońca po liniach krzywoliniowych wynika, że
działa na nie siła (dlaczego ?). Jeżeli punkt porusza się pod działaniem siły centralnej, to
tor jego ruchu jest krzywą płaską, a prędkość polowa w tym ruchu jest stała. Zatem ze
spełnienia dla ruchu planet względem Słońca II prawa Keplera wynika, że działająca na
planetę siła jest centralna i skierowana ku Słońcu, a więc siła jest przyciągająca. Wreszcie
z zadania 1 (temat: 66), a co za tym idzie, z III prawa Keplera znajdujemy, że siła ta jest
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca.

2.

Prawo ciążenia powszechnego wyprowadzone z ogólnych zasad ruchu i stwierdzonych
empirycznie praw Keplera, Newton genialnie uogólnił formułując je następująco:

(1) F

G

m m

r

czyli

= ⋅

⋅

1

2

2

,

każde dwie cząstki materialne we Wszechświecie przyciągają się wza-
jemnie siłami wprost proporcjonalnymi do iloczynu mas obu cząstek
i odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratu odległości między nimi.

Występująca we wzorze stała G nazywa się stałą grawitacji. Jej wartość wynosi

(2)

G

N m

kg

=

⋅

⋅

−

6 67 10

11

2

2

,

3.

Siły przyciągania działają przede wszystkim między wszystkimi bez wyjątku ciałami, za-
równo takimi jak Słońce i planety, jak i między najdrobniejszymi pyłkami; jednak w ostat-
nim przypadku są tak małe, że nie można ich zmierzyć ani dostrzec ich działania: dwa cia-
ła o masach po 1 kg przyciągają się z odległości 1 m siłą równą liczbowo stałej grawitacji:

F

N

=

⋅

−

6 67 10

11

,

.

4.

Prawo ciążenia powszechnego ma doniosłe znaczenie dla rozwoju nie tylko astronomii,
lecz i fizyki, filozoficznie zaś, jako pierwsze poznane uniwersalne prawo fizyczne obejmu-
jące zjawiska na Ziemi i we Wszechświecie przyczyniło się do poszerzenia horyzontów
poznawczych człowieka.

5.

*Dla sprawdzenia, czy przyspieszenie ruchu Księżyca dokoła Ziemi można wytłumaczyć
jako jego spadanie ku Ziemi, Newton porównał przyspieszenie siły ciężkości na Ziemi z
przyspieszeniem orbitalnym Księżyca w jego ruchu dokoła Ziemi.

W tego rodzaju rachunkach, dla uproszczenia rozważań należy założyć, że zarówno Zie-
mia, jak i Księżyc są kulami uformowanymi z jednorodnych warstw współśrodkowych i
wskutek tego przyciągają się tak, jak gdyby cała ich masa była skupiona w środkach tych
kul. Oznaczmy masę Ziemi przez M, masę Księżyca przez m, masę spadającego ciała na
Ziemi przez m

1

.

W przypadku ciała spadającego na Ziemi siła przyciągająca wynosi

(3) F

G

M m

R

m g

gdzie

R

promień Ziemi

= ⋅

⋅

=

⋅

−

1

2

1

,

.

W przypadku Księżyca analogiczna siła jest równa

9

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

(4) F

G

M m

D

m a

gdzie

D

odleg ość Ziemi od Księżyca

k

1

2

1

= ⋅

⋅ = ⋅

−

,

ł

.

W pierwszym przypadku przyspieszenie g siły ciężkości na powierzchni Ziemi wynosi

(5) g

G M

R

= ⋅

2

,

w drugim zaś, przyspieszenie a

k

w ruchu Księżyca wynosi

(6) a

G M

D

k

= ⋅

2

Stosunek obu tych przyspieszeń jest

(7)

a

g

R

D

k

=

2

2

Odległość Księżyca wynosi około 60 promieni ziemskich. Podstawiając we wzorze (7)

wartości liczbowe: D = 60 R i g = 981

2

cm

s

, otrzymamy wartość a

k

(8) a

cm

s

cm

s

k

=

=

981

3600

0 27

2

2

,

Obliczając a

k

jako przyspieszenie dośrodkowe w ruchu kołowym ze wzoru

(9) a

v

D

D

T

D

D

T

k

=

=

⋅

⋅

=

⋅

2

2

2

2

2

2

4

4

π

π

Wstawiamy wartości liczbowe

(10)

a

R

doby

cm

s

k

= ⋅

⋅

=

4 3 14

60

27 4

0 27

2

2

2

,

(

,

)

,

,

co jest całkowicie zgodne z wynikiem otrzymanym we wzorze (8).

Temat: 60* Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej.

1.

Dotychczas mówiąc o masie ciała, nie rozróżnialiśmy dokładnie dwóch rodzajów mas.
Jednak, gdy przypatrzymy się uważniej możemy podzielić ją na dwa rodzaje. Mówiliśmy
często o masie ciała w związku z siłą przyciągania tego ciała przez Ziemię. Ustaliliśmy
wówczas, że masy ciał będziemy porównywać, porównując siły grawitacji, jakimi Ziemia
działa na ciała. Bowiem między siłami grawitacji i masami ciał zachodzi prosta propor-
cjonalność określona wzorem:

(1) F

G

Mm

r

=

2

(prawo ciążenia powszechnego)

Zatem masy M = m = 1[kg] przyciągają się z odległości 1 m siłami o wartości

F = 6 67 10

11

,

⋅

−

[N] . Tak zdefiniowana masa ma nazwę masy grawitacyjnej.

To masa grawitacyjna decyduje jak silnie ciało będzie grawitacyjnie przyciągane przez in-
ne ciało. Gdyby to samo ciało przenieść na Księżyc, byłoby one przyciągane tam innymi
siłami grawitacyjnymi niż na Ziemi, ale byłyby one również wprost proporcjonalne do mas
grawitacyjnych.

2. Masa bezwładna jest związana z własnością ciał zwaną bezwładnością. Ciała mają różne

bezwładności, jeśli pod działaniem jednakowych sił (natura sił nie jest istotna) uzyskują

10

00511 Mechanika nieba D – part 1

TEORIA

różne co do wartości przyspieszenia. Ciało uzyskujące w opisanym przypadku mniejsze
przyspieszenie ma większą bezwładność, a więc także większą masę bezwładną. Masę
bezwładną możemy określić posługując się II zasadą dynamiki:

F

ma

=

, czyli m

F

a

=

3. *Fizycy długi czas mięli wątpliwości, czy masa występująca w II zasadzie dynamiki i ma-

sa występująca w prawie ciążenia powszechnego dla tego samego ciała tę samą wartość.
Wszystkie przeprowadzone doświadczenia wykazały, że masa grawitacyjna i masa
bezwładna, to te same masy.

Z godnie z II zasadą dynamiki (3)

a

F

m

b

=

Gdy siła F jest siłą grawitacji, to mamy :

(4)

g

F

m

g

b

=

, bowiem dla F = F

g

, mamy a = g.

Wstawiamy do wzoru (4) równanie F

g

= m

g

g

(5)

g

m g

m

g

b

=

, czyli m

b

= m

g

.

4.

*Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej stwierdził doświadczalnie w 1901 roku wę-
gierski fizyk Rolad Eotvos, w 1964 roku w bardziej dokładnym eksperymencie - R. Dicke
z Uniwersytetu Princeton w USA.

Wyniki tych uczonych silnie sugerują, że dla wszystkich substancji masa grawitacyjna jest
dokładnie równa masie bezwładnej. To właśnie stwierdzenie nazywa się zasadą równo-
ważności.
Jest to podstawowe prawo przyrody opierające się na wynikach doświadczeń, podobnie
jak inne prawa.
Konsekwencją zasady równoważności jest to, że w żaden sposób nie można rozróżnić
przyspieszenia laboratorium od przyspieszenia grawitacyjnego. Gdybyśmy umieścili ciało
w windzie poruszającej się z przyspieszeniem, żadne doświadczenia wykonane w tej win-
dzie nie mogłoby wykazać, czy winda porusza się z przyspieszeniem, czy też winda spo-
czywa, a jakieś nowe źródło grawitacji „zostało włączone”. Zasada równoważności jest
punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina.