Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
2. Wstęp do matematyki
2.2. Produkt kartezjański
Dla dowolnych elementów i parę
( )
uporządkowaną definiujemy jako zbiór
{ }
{ }. Oznacza to ustawienie tych elementów
w kolejności takiej, że element jest pierwszy, a
element jest drugi.
Z powyższej definicji wynika, że:
( ) ( )
. (2.47)
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Iloczynem kartezjańskim dowolnych zbiorów
i nazywamy zbiór
{( ) }
. (2.51)
Przykład 2.6. Na rysunku 2.6 przedstawiono
)# )#
iloczyn , gdzie ) i ).
Rysunek 2.6. ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
2.3. Funkcje
Funkcją przekształcającą zbiór
w zbiór nazywamy dowolne
przypisanie każdemu elementowi
dokładnie jednego elementu .
Oznacza to, że obrazem formalnym
dowolnej funkcji jest wykres
funkcji spełniający warunki:
( )
, (2.52)
( ) ( )
( )
. (2.53)
( )
Jeśli , to wtedy zapisujemy:
( )
(2.54)
i w ten sposób argumentowi funkcji
jest przypisana wartość funkcji .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
( )
Dla dowolnej funkcji zbiór
nazywamy dziedzinÄ… funkcji (zbiorem
argumentów funkcji).
Przykład 2.7. Na rysunku 2.7 przedstawiono wykres
{ }
funkcji określonej na zbiorze .
Za pomocą strzałek poszczególnym elementom zbioru
{ }
przypisano tam elementy ze zbioru .
Wykres tej funkcji jest dany jako zbiór
{( ) ( ) ( ) ( )}
. Wykres ten możemy też
opisać za pomocą zależności:
( ) ( )
( ) ( )
. ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Zbiór wartości funkcji (przeciwdziedziną
funkcji) określany, jako:

( ) { ( )}
(2.55)
Jeśli jest spełniony warunek:

( )
, (2.56)
to funkcja przekształca na , co
zapisujemy .
Jeśli jest spełniony warunek:
( ) ( ) ( )
,
to nazywamy funkcjÄ…
różnowartościową.
Każdą różnowartościową funkcję
nazywamy izomorfizmem i oznaczamy za pomocÄ…
symbolu .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład 2.8. Funkcja określona w
przykładzie 2.7 nie jest funkcją przekształcającą na
( ) { }
zbiór , gdyż zbiór jej wartości  . Nie
jest to też funkcja różnowartościowa, gdyż nie spełnia
ona warunku (2.57).
Rys. 2.8
Na rysunku 2.8 przedstawiono funkcjÄ™
{ }
przekształcającą zbiór na zbiór
{ }
. Jest to funkcja różnowartościowa. Wszystko to
oznacza, że funkcja jest izomorfizmem. ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Złożeniem funkcji i
nazywamy funkcję określoną za
pomocą tożsamości:
( ) ( ) ( )
.
FunkcjÄ™ nazywamy funkcjÄ…
wewnętrzną, zaś funkcję nazywamy
funkcją zewnętrzną.
Opisana powyżej funkcja złożona nie zawsze
istnieje. Warunkiem koniecznym i dostatecznym
na to, aby istniała funkcja złożona
( )
jest zawieranie siÄ™ przeciwdziedziny  funkcji
( )
wewnętrznej w dziedzinie funkcji
zewnętrznej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład 2.9. Wyznaczmy złożenie
funkcji opisanych w poprzednich przykładach.
jest funkcją wewnętrzną, zaś funkcja
jest funkcją zewnętrzną. Wyznaczamy
kolejne wartości funkcji złożonej:
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
.
Uzyskana funkcja złożona jest przedstawiona poniżej
Rysunek 2.9
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
( )
Na marginesie tych rozważań zauważmy, że 
( )
. W tej sytuacji nie istnieje złożenie funkcji
. Oznacza to między innymi, że w
ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest
przemienne. ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
2.4. CiÄ…gi
Ciągiem nazywamy każdą funkcję
przekształcającą zbiór indeksów
w dowolny zbiór wartości . W ten sposób
każdemu indeksowi jest przyporządkowany
wyraz ciÄ…gu:
( )
. (2.59)
{ }
CiÄ…g taki oznaczamy za pomocÄ… symbolu .
( ), to wtedy nazywamy ciÄ…giem
{ }
nieskończonym i oznaczamy symbolem
{ } { }
lub symbolem , lub symbolem .
{ }
( ), to wtedy ciÄ…g
nazywamy ciÄ…giem m-elementowym lub ciÄ…giem
skończenie elementowym i oznaczamy symbolem
{ }
.
Określenie ciągu za pomocą zależności (2.59)
nazywamy analitycznÄ… definicjÄ… ciÄ…gu.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
{ }
Jeśli jest dany ciąg początkowych
{ }
wartości, to wtedy dowolny ciąg może być
też określony za pomocą zależności:
( )
. (2.60)
Taki sposób określenia ciągu nazywamy
rekurencyjnÄ… definicjÄ… ciÄ…gu.
( )
Przykład 2.10. Symbolem oznaczamy resztę
z dzielenia przez 3 zadanej liczby naturalnej .
Ciąg przekształcający zbiór liczb naturalnych na
{ }
zbiór jest określony za pomocą funkcji:
( )
( ) ( )
{
( )
Jest to analityczna definicja tego ciÄ…gu. PoczÄ…tkowe
wyrazy tego ciągu przedstawiają się następująco:
(*)
Zanim wprowadzimy definicjÄ™ rekurencyjnÄ… tego
ciągu, określamy funkcję . Funkcja ta jest
dana za pomocą zależności:
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
( )
{
gdzie . Definicja rekurencyjna ciÄ…gu (*)
przyjmuje wtedy postać:
( )
, , .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Szczególnym przypadkiem ciągów rozważanym w
matematyce są ciągi liczbowe określone jako
funkcje postaci . Przykładem
{ }
ciągu liczbowego jest ciąg określony
rekurencyjnie:
, (2.61)
( )
. (2.62)
jest nazywana silniÄ… liczby .
symbol Newtona: ( ) .
( )
Implementacja WOLFRAM
wartość Wyznaczamy, wydając polecenie:
Fact[n].
Wartość ( ) wyznaczamy, wydając polecenie:
Bin[n,k]. ˆ%
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
2.5. Tablice
TablicÄ… prostokÄ…tnÄ… o wierszach i kolumnach
nazywamy każdą funkcję przekształcającą
zbiór par indeksów
{ } { }
w dowolny zbiór
wartości . W ten sposób każdej parze indeksów
( )
jest przyporzÄ…dkowany element tablicy .
TablicÄ™ takÄ… oznaczamy za pomocÄ… symboli
[ ].
Każdą tablicę możemy zapisać w postaci ujętego w
nawiasy kwadratowe prostokąta elementów:
[ ] (2.64)
( ) i-ty wiersz tablicy.
( ) j-ta kolumnÄ… tablicy. element
macierzy jest oznaczony przez dwa indeksy:
pierwszy jest numerem wiersza, a drugi numerem
kolumny.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład 2.11. Przykładem tablicy o elementach
{ }
pochodzÄ…cych ze zbioru jest prostokÄ…t
figur geometrycznych:
[ ] . ð
Tablicę kwadratową [ ], której
elementy spełniają warunek:
(2.62)
nazywamy tablicÄ… symetrycznÄ….
Przykład 2.12. Przykładem tablicy symetrycznej o
{ }
elementach pochodzÄ…cych ze zbioru jest
kwadrat figur geometrycznych:
[ ] . ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
3. Grafy i digrafy
3.1. Grafy
Grafem nazywamy parÄ™:
( )
( ), (3.1)
{ }
gdzie jest zbiorem
( )
wierzchołków, a { } 
zbiorem krawędzi { } .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład 3.1. Przedstawić na rysunku graf
( )
( )
{ }
( { }) ,
{ } { } { }
gdzie , , ,
{ } { }
, . Kolejność wierzchołków
nie ma znaczenia. Dzięki temu możemy na przykład
{ } { }
zapisać .
Rysunek 3.1 ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
3.2. Digrafy
Digrafem nazywamy parÄ™:
( )
( ), (3.5)
{ }
gdzie jest zbiorem
( )
wierzchołków, a { } 
zbiorem łuków ( ) .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład 3.10. Na rysunku 3.3 przedstawiono
przykładowy digraf.
Rysunek 3.3
Zbiór wierzchołków tego digrafu to { },
( ) { }
zaś zbiór łuków , gdzie
( ) ( ) ( )
( )
( )
W przypadku digrafu istotna jest kolejność
wierzchołków. Dzięki temu możemy na przykład
( )
zapisać ( ) ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
( )
Tablicą przyległości digrafu ( )
opisanego przez (3.5) nazywamy kwadratowÄ…
( )
tablicę [ ] elementów:
( )
( )
{ (3.8)
( )
( )
( )
Przykład 3.15. Tablica przyległości grafu z
rysunku 3.3 ma postać:
( )
[ ]. ð
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Grafem (digrafem) obciążonym nazywamy
( )
każdą trójkę taką, że para
( ) ( )
jest grafem (digrafem). Wartość
nazywamy wagą krawędzi (łuku) .
Przykład 3.33. Na rysunku 3.11 przedstawiono
przykład graf obciążonego. Na rysunku 3.13
przedstawiono przykÅ‚ad digrafu obciążonego. ð
Rysunek 3.11
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Siecią nazywamy digraf spełniający warunki:
węzeł niebędący końcem żadnego łuku i
nazywany z
ródłem sieci.
węzeł, niebędący początkiem żadnego łuku i
nazywany ujściem sieci.
skierowana ścieżka ze z
ródła do każdego innego
węzła sieci
ścieżka do ujścia z każdego innego węzła sieci.
. Przykładową sieć przedstawia rysunek 3.13. y
ródłem
jest węzeł s = v1, zaś ujściem t = v6. W nawiasach
podano wagi łuków.
Rysunek 3.13