Dzialania uogólnione. Definicja i wlasności
Ai = {x : x " Ai dla pewnego 1 d" i d" k}
Definicja i przyklady tautologii, prawa de
Morgana Tautologia - wyrażenie prawdziwe przy 1d"id"k
każdym wartościowaniu zmiennych zdaniowych
Prawa de Morgana:
Ź(p '" q) Ð!Ò! (Źp (" Źq)
Ai = {x : x " Ai dla każdego 1 d" i d" k}
Ź(p (" q) Ð!Ò! (Źp '" Źq)
1d"id"k
Definicje kwantyfikatorów, prawa de Morgana
dla rachunku kwantyfikatorów Kwantyfikator
- Oznacza zwroty: istnieje, dla każdego i ich Prawa De Morgana:
pokrewne
Ź("x p(x)) Ð!Ò! ("x Źp(x)) {AT }T " T
Ź("x p(x)) Ð!Ò! ("x Źp(x))
Definicje dzialań na zbiorach X \ At = (X \ At)
Suma:A *" B = {x : x " A (" x " B}
Przekrój:A )" B = {x : x " A '" x " B} t"T t/inT
Różnica:A \ B = {x : x " A '" x " B}
Różnica symetryczna:A •" B = (A \ B) *" (B \ A)
X \ At = (X \ At)
Prawa rachunku zbiorów; prawa de Mor-
gana
t"T t"T
Uzupelnienie:
A *" B = B *" A, A )" B = B )" A - przemiennosc
At ‚" X Ac = X \ At
t
(A *" B) *" C = A *" (B *" C),
( At)c = Ac
t
(A )" B) )" C = A )" (B )" C) - lacznosc
A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C),
t"T t"T
A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C) - rozdzielnosci
( At)c = Ac
Prawa de Morgana: t
t"T t"T
A \ (B *" C) = (A \ B) )" (A \ C)
Definicja i wlasności iloczynu kartezjańskiego
i zbioru potegowego Iloczyn kartezjański:
A \ (B )" C) = (A \ B) *" (A \ C)
A × B = {(x, y) : x " A, y " B}
Zbiór potegowy zbioru A to zbiór skladajacy sie
ze wszystkich możliwych podzbiorów zbioru A
Definicje i wlasności funkcji
Np. P ({1, 2, 3}) =
różnowartościowej, na, wzajemnie jedno-
{", {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3})
znacznej i odwrotnej
Zbiór potegowy  dla danego zbioru S zbiór
wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami
f : x y jest roznowartosciowe jesli
P (S)lub 2S . W aksjomatycznej teorii zbiorów
istnienie zbioru potegowego zapewnia aksjomat
zbioru potegowego.
"x
1,x2"x
P (") = {"}
P ({"}) = {", {"}}
x1 = x2 f(x1) = f (x2) Ð!
Ò!
Definicja i przyklady (po 4) zbiorów mocy
alef zero i mocy continuum
f (x1) = f(x2) x1 = x2
Definicja i wlasności równoliczności
f : x y jest na gdy Def. Zbiory A i B sa równoliczne gdy istnieje
"y"y "x"x f (x) = y
1-1
f : A - B Oznaczamy AB
Funkcja odwrotna dla funkcji f nazywamy funkcje:
Inaczej - zbiory sa równoliczne wtedy gdy sa
różnowartościowe i na
g = {(y, x), (x, y) " f}
|A| = |A|
|A = |B|| Ò! |B| = |A|
|A| = |B| '" |B| = |C| Ò! |A| = |C|
"x"y f(x) = y Ð! f (y) = x
Ò!
Definicja i wlasności nierówności mocy Def.
|X| < |Y | jeśli |X| d" |Y | '" |X| = |Y |

Funkcja wzajemnie jednoznaczna nazywamy funk-
Wniosek: 5!0 < ¾ (contiunuum)
cje która jest jednocześnie różnowartościowa i na
Wlasności:
Definicje i wlasności obrazu i przeciwobrazu
f jest  na
Niech f : x y i A ‚" X wtedy obrazem 1. |X| d" |X| bo f : x - x
zbioru A poprzez funkcje f nazywamy zbiór f (x) = x zwrotność
{f (x) : x " A} = {x " Y ("x"A)f (x) = y} 2. (|X| d" |Y | '" |Y | d" |Z|) |X| d" |Z|
Oznaczamy f [A] przechodność
Niech f : x y, B ‚" Y wtedy przeciwo-
1-1 1-1
f : x - y '" g : y - z
brazem zbioru B poprzez f nazywamy zbiór
g ć% f X Z
-1[B]
{x " X : f (x) " B} oznaczamy f
3. |X| d" |Y | '" |Y | d" X |X| = |Y | - tw.
Cantora-Bernsteina
Wlasnośći:
Definicja i przyklady relacji równoważności
1.JeÅ›li A ‚" B to f[A] ‚" f[B]
Def. Niech R ‚" X × X (x = 0)

-1[B]
2.JeÅ›li A ‚" B to f-1[A] ‚" f
R jest relacja równoważności jeśli
3.f [A *" B] = f [A] *" f[B]
1."x xRx - zwrotność
4.f [A )" B] ‚" f[A] )" f [B]
2."x,y xRy Ò! yRx - symetria
-1[A -1[B]
5.f *" B] = f-1[A] *" f 3."x,y,z (xRy '" yRz) Ò! xRz - przechodność
-1[A -1[B]
6.f )" B] = f-1[A] )" f
Wlasności i definicja klasy abstrakcji Niech
-1[A]
7.f-1[A \ B] = f \ f-1[B]
R bedzie relacja równoważności na zbiorze X.
Wtedy klasa abstrakcji elementu X wzgledem
relacji R nazywamy zbiór [x]R = {x " X : xRy}
Definicja i przyklady zbiorów cześciowo i
liniowo uporzadkowanych
Definicja i wlasności elementów wyróżnionych