SZEREGI LICZBOWE
Definicja (szeregu liczbowego)
" "
" "
" "
" "
Niech an n=1 �" . Ciąg Sn n=1 taki, że
�"
�"
�"
{ } { }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
= =
= =
= =
S1 = a1
=
ńł =
ńł =
ńł
ńł
�łS = a1 + a2
�ł
�ł
�ł
= +
= +
= +
2
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł...................
�ł
�ł
�ł
�łS = a1 + a2 + ...+ an
�ł
�ł
�ł
= + + +
= + + +
= + + +
n
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł.................................
�ł
ół
ół
ół
ół
nazywa się ciągiem sum częściowych.
" "
" "
" "
" "
Wartość odwzorowania Ł : an n=1 Sn n=1 nazywa się szeregiem liczbowym.



{ } { }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
= =
= =
= =
"
"
"
"
"
"
"
"
Wyrazy ciągu an n=1 nazywa się wyrazami szeregu. Szereg oznacza się symbolem .
{ }
{ }
{ }
{ }
"a
"
" n
"
=
=
=
n=1
=
=
=
Definicja (szeregu zbieżnego)
Szereg liczbowy nazywa się zbieżnym, gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy
właściwej, tzn. lim Sn = S "
= " ; natomiast rozbieżnym w przeciwnym przypadku.
= "
= "
n"
"
"
"
" "
" "
" "
" "
Liczbę S nazywa się sumą szeregu i zapisuje się = S .
=
=
"a "a =
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
Definicja (szeregów równych)
" "
" "
" "
" "
Dwa szeregi , nazywa się równymi, gdy an = bn dla n = 1,2,&
=
=
=
"a "b
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
Dla szeregów liczbowych przyjmuje się następujące określenia:
" "
" "
" "
" "
k := , k "
= "
= "
"a = "ka "
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
" " "
" " "
" " "
" " "
+ = +
+ = +
+ = +
( )
( )
)
"a + "b := "
" " "
" n " n "(an
" " "( + bn)
n=1 n=1 n=1
= = =
= = =
= = =
Twierdzenie (o działaniach na szeregach)
" "
" "
" "
" "
Jeżeli = A, = B, k " , to
= = "
= = "
"a = "b = "
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
"
"
"
"
(i) + bn = A + B
+ = +
+ = +
( )
( )
)
"
"
"(an
"( + ) = +
n=1
=
=
=
"
"
"
"
(ii) = kA
=
=
"ka =
"
" n
"
n=1
=
=
=
Twierdzenie (Kryterium segmentowe)
" r +
" +s
" +
" +
- �! " > " " " > " " " *" <
- �! " > " " " > " " " *" <
- �! " > " " " > " " " *" <
{ }
{ }
{ }
"a - zbieżny �! "� > 0 "n0 " "r > n0 , r " "s " *"{0} "a < �
" "
" n " n
" "
n=1 n=r
= =
= =
= =
Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)
"
"
"
"
Jeżeli szereg jest zbieżny, to lim an = 0 .
=
=
=
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
n=1
=
=
=
Definicja (minoranty i majoranty)
" "
" "
" "
" "
Szereg , gdzie an e" 0, n = 1,2,... nazywa się minorantą szeregu , gdzie
e" =
e" =
e" =
"a "b
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
bn e" 0, n = 1,2,..., gdy "n0 " "n > n0 an d" bn .
e" = " " " > d"
e" = " " " > d"
e" = " " " > d"
" "
" "
" "
" "
Wtedy szereg nazywa się majorantą szeregu .
"b "a
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
Twierdzenie (Kryterium porównawcze Weierstrassa)
Ze zbieżności majoranty wynika zbieżność minoranty, z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność
majoranty.
Twierdzenie (kryterium porównawcze  wersja limesowa)
" "
" "
" "
" "
Jeżeli , gdzie an e" 0, n = 1,2,... i , gdzie bn > 0, n = 1,2,... oraz
e" = > =
e" = > =
e" = > =
"a "b
" "
" n " n
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
an
lim = g " 0,+" , to dane szeregi są równocześnie zbieżne lub równocześnie rozbieżne.
= " +"
= " +"
= " +"
( )
( )
( )
( )
n"
"
"
"
bn
Twierdzenie (Kryterium pierwiastkowe Cauchy ego)
"
"
"
"
Niech , an e" 0, n = 1,2,...
e" =
e" =
"a e" =
"
" n
"
n=1
=
=
=
"
"
"
"
n
(i) Jeżeli lim an < 1, to jest zbieżny
<
<
<
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
n=1
=
=
=
"
"
"
"
n
(ii) Jeżeli lim an > 1, to jest rozbieżny
>
>
>
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
n=1
=
=
=
"
"
"
"
n
(iii) Jeżeli lim an = 1, to jest zbieżny lub rozbieżny
=
=
=
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
n=1
=
=
=
Twierdzenie (Kryterium d Alemberta)
"
"
"
"
Niech , an > 0, n = 1,2,...
> =
> =
"a > =
"
" n
"
n=1
=
=
=
"
"
"
"
an+1
+
+
+
(i) Jeżeli lim < 1, to jest zbieżny
<
<
<
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
an
n=1
=
=
=
"
"
"
"
an+1
+
+
+
(ii) Jeżeli lim > 1, to jest rozbieżny
>
>
>
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
an
n=1
=
=
=
"
"
"
"
an+1
+
+
+
(iii) Jeżeli lim = 1, to jest zbieżny lub rozbieżny
=
=
=
"a
"
" n
"
n"
"
"
"
an
n=1
=
=
=
Definicja (bezwzględnej zbieżności)
" "
" "
" "
" "
Mówimy, że jest bezwzględnie zbieżny, gdy an jest zbieżny.
"a "
" "
" n "
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =
Twierdzenie
Z bezwzględnej zbieżności szeregu wynika jego zbieżność.
Definicja (szeregu przemiennego)
"
"
"
"
n+1
+
+
+
Szereg postaci
"(-1) an , gdzie
"(- )
"(- )
"(- )
n=1
=
=
=
(i) an > 0, n = 1,2,...
> =
> =
> =
"
"
"
"
(ii) an n=1 jest malejący
{ }
{ }
{ }
{ }
=
=
=
(iii) lim an = 0
=
=
=
n"
"
"
"
nazywa się szeregiem naprzemiennym.
Twierdzenie (Kryterium Leibniza)
Każdy szereg naprzemienny jest zbieżny.
Definicja (zbieżności warunkowej)
" "
" "
" "
" "
Mówimy, że jest zbieżny warunkowo, gdy jest zbieżny, ale an jest rozbieżny .
"a "
" "
" n "
" "
n=1 n=1
= =
= =
= =